中考数学专题存在性问题解题策略《角的存在性处理策略》教学内容.doc

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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流中考数学专题存在性问题解题策略角的存在性处理策略【精品文档】第 11 页第1讲 角的存在性处理策略 知识必备一、一线三等角 1.如图1-1-1，且，此为“一线三直角”全等，又称“K字型”全等; 图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3 图1-1-4 2.如图1-1-2，此为“一线三直角”相似，又称“K字型”相似; 3.如图1-1-3，此为更一般的“一线三等角”.二、相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比； 相似三角形的对应线段成比例.三、 正切的定义 如图1-1-4，在中，即的正切值等于的对边与的邻边之比；同理，则，即互余两角的正切

2、值互为倒数.方法提炼一、 基本策略：联想构造二、 构造路线 方式(一)：构造“一线三等角” 1.45o角构等腰直角三角形造“一线三直角”全等，如图1-2-1； 图1-2-1 2.30o角构直角三角形造“一线三直角”相似，如图1-2-2； 图1-2-23.tan=k构直角三角形造“一线三直角”相似，如图1-2-3；图1-2-34.“一线三等角”的应用分三重境界；一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图1-2-4所示的“同侧型一线三等角”及图1-2-5所示的“异侧型一线三等角”；二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题；三重境：当一条线上只

3、有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图1-2-6及图1-2-7所示；图1-2-7图1-2-6图1-2-5图1-2-4方式（二）：构造“母子型相似”“角处理”，还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对此角结构，然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出“母子型相似”，其核心结构如图1-2-8所示.图1-2-8方式（三）：整体旋转法（*）前两种构造属静态构造方式，再介绍一种动态构造方式，即整体旋转法，其核心思想是“图形的旋转（运动）本质是图形上点旋转（运动）；反过来，点的旋转（运动）可以看成该点所在图形的旋转（运动）”.下面以三个问题说明此法：问题1 已知点

4、A（3，4），将点A绕原点O顺时针方向旋转45角，求其对应点A的坐标.简析 第一步 （“整体旋转”）：如图1-2-9，作ABy轴于点B，则AB=3，OB=4，点A绕原点O顺时针方向旋转45得到点A，可看成RtOAB绕原点O顺时针方向旋转45得到RtOAB，则AB=8，OB=4，且BOB=45； 图1-2-9第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-10,依托旋转后的Rt,作系列“水平竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即RtRt；事实上,Rt与Rt都是等腰直角三角形,于是有=,=,故点的坐标为；问题2 已知点,将点绕原点顺时针方向旋转角,其中=,求其对应点的坐标.简析 第一步（“整体旋转”）：如图

5、1-2-11,作ABy轴于点B,则AB=4,OB=6,将RtOAB绕原点O顺时针方向旋转角得到Rt,则=4,=6,且=； 第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-12,依托旋转后的Rt,作系列“水平竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即RtRt，于是有=,=,=,=,故点的坐标为.问题3 已知点,将点绕原点顺时针方向旋转角,求其对应点的坐标.简析 不是一般性，不妨都在第一象限内思考问题：第一步（“整体旋转”）：如图1-2-13,作ABy轴于点B,则AB=,OB=,将RtOAB绕原点O顺时针方向旋转角得到Rt,则=,=,且=； 第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-14,依托旋转后的Rt,作系列

6、“水平竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即RtRt，于是有=,=,=,=,故点的坐标为.例1(2017日照)如图1-3-1，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，AOB=OBA=45，则k的值为_。简析由题可知，OAB为等腰直角三角形；如图1-3-2，构造“一线三直角”结构，即RtOADRtABC；设OD=AC=t，则A(，t)，B(，)，从而有t=()()，解得；因此有。反思：见等腰直角三角形，造“一线三直角”，即“K字型”全等。例2如图1-3-3，已知反比例函数的图像经过点A(3，4)，在该图像上找一点P，使POA=45，则点P的坐标为_。简

7、析1（构造“一线三直角”）：如图1-3-4，作ABOA交OP于点B，则OAB为等腰直角三角形；再造“一线三直角”结构，即RtOADRtABC，由A(3,4)，可得OD=AC=4，AD=BC=3，则B(7,1)，故直线OP的解析式为，且反比例函数的解析式为，联立得，解得（负值舍去），故点P的坐标为(，)。简析2（构造“一线三等角”）：如图1-3-5，分别过点A、P作y轴的垂线，垂足依次为点D、E，再在y轴上分别找点B、C，使BD=AD，CE=PE，则ABO=PCO=45；由POA=45，易证ABOOCP，则，即ABCP=BOOC；由A(3，4)，可得，BO=BD+OD=7，k=12，再设点P(t

8、，)，则CP=，OC=CE-OE=PE-OE=，从而有，解得，故点P的坐标为()。450是一个神奇美妙、让人浮想联翩的角。依托450角，自然联想到构造等腰直角三角形。然后依托等腰直角三角形，再造“一线三直角”，这是处理450角的基本策略之一。如图1-3-6，若C=450，一般有四种方式构造直角三角形，但建议将已知点作为直角顶点，相对而言会更简单。这也体现出了“以不变应万变”的解题策略。解法1，从头到尾几乎口算，不需要设元，原因在于构造等腰直角三角形时。将已知点A作为直角顶点，否则需要设元求解，很是麻烦。解法2，将y轴看成所谓“一线”。利用一个450角，再补两个“450”角，构造“一线三等角”，

9、设出坐标，巧妙解题，这是角的存在性问题另一种重要处理策略。如图1-3-7，已知抛物线与轴交于A、B两点，且经过点、，点P是直线CD上方抛物线上一动点，当时，求点P的坐标。图1-3-9图1-3-8图1-3-7策略一：450 构等腰直角三角形造“一线三直角”.简析：易求抛物线的解析式为，直线CD的解析式为如图1-3-8，过点D作DQCQ，交CP的延长线于点Q，过点D作平行于y轴 的直线，并分别过点C、Q向该直线上作垂线，垂足依次为点E、F，则CDQ为等腰直角三角形，CEDDFQ，DF=CE=3,QF=DE=,故Q点坐标为利用C、Q两点，可以求出直线CP的解析式，在与抛物线联立得 ，解得（舍去），或

10、 ，因此点P坐标为类似的，也可以过点P作垂线等。但不推荐，否则直角顶点未知。需要设元求解，而简析1直角顶点D已知，故而顺风顺雨。理论上，在直线CD上任取一个已知点，将之做为等腰直角三角形的直角顶点，都可顺利解决，如图1-3-9所示，可自行探究。对比例2，还可以发现，双曲线与抛物线都是“幌子”，借助450角的处理策略，他们仅仅起到最后联立解方程组求交点的作用。练就“慧眼”，便可以“识珠”，很多题目的命制套路就是如此.策略二：一个45补两个45造“一线三等角” 如图1310，过点P、D向轴上做垂线，补出两个45角，构出“一线三等角”结构，即PCECDF，则有，即PEDF=CECF；由题可设P(t，

11、-t+t+2),易得PE=t，DF=3,CE=-t+t+2+t-2=-t+t,CF=2-(-3)=,因此有t3=(-t+t)，解得t=（t=0舍去），故点坐标为（，）因本题数据的特殊性，最后可以看出，点P、D的纵坐标相等，故过点P、D向y轴做垂线，垂足重合，即图中的G点，其实巧合与否，对解题并无影响；此外，所谓“一线”，也可以做成“水平线，甚至于“斜线”，可自行探究，一般选择现有的“一线”比较合适。策略三：一个45再补一个45造“母子型相似”如图1-3-11，过点D作y轴的平行线交CP的延长线于点Q，交x轴于点G，再作CEQG于点E，构造等腰RTCEF，则F=45,EF=CE=3,DE=由PC

12、D=45，可得QCDQFC，易证QC=QDQF；设QD=t，则QC=QE+CE=(t+)+9，故有(t+)+9=t(t+)，解得t=，故点的坐标为(3,11)再利用C、Q两点，可求出直线的解析式为y=3x+2，与抛物线联立得y=3x=2、y=-x+x+2解得x=0、y=2，（舍去）或x=、y=，故点坐标为（，）。“母子型相似”与“一线三等角”是极其重要的基本相似形，上述解法都将是将其视为“工具”，结合这些基本图形的结构特征，缺啥补啥，巧妙构造，顺利求解.策略四：45“整体旋转”+“矩形大法”第一步（“整体旋转”）：如图1-3-12，过两点作相应“水平竖直辅助线”，构造RTCDE，再将RTCDE

13、绕点C逆时针旋转45至RTCDE，则CE=CE=3,DE=DE=，且ECE=45第二步（“矩形大法”）：如图1-3-13，依托旋转后的RtCDE，作系列“水平竖直辅助线”，构造矩形CGHK，则RtCGERtEHD，事实上，RtCGE与RtEHD都是等腰直角三角形，于是有CG=EG=，DH=EH=，则DK=-=，OK=OC+CK=2+，故点D的坐标为（，2+），下略.图1-3-13 反思 这里运用动态视角，借助旋转的眼光看问题，将点的旋转看成该点所在的直角三角形的旋转，巧思妙构，利用系列“水平竖直辅助线”，达到“改斜规正，化斜为直”之效，虽然最后的数据稍显“丑陋”，但并不影响此法的通用性与普适性

14、.因为45的特殊性，本题还可以尝试采用所谓的“半角模型”来求解.策略五： 45正方形中的“半角模型”简析5 如图1-3-14，作正方形CEFG，使CG边在y轴上，且边EF过点D，直线CP与FG交于点Q；图1-3-14 图1-3-15设QG=x，由PCD=45，结合正方形中“半角模型”，可得QD=QG+DE=x+，最后锁定RtQDF，由勾股定理得（3-x）+（）=（x+），解得x=1，故点Q坐标为（1,5），下略.反思：正方形中“半角模型”应用广泛，核心结构如图1-3-15所示，其结论众多，常用的有：EF=AE+CF，EB平分AEF，FB平分CFE等，可通过旋转法加以证明；通过前面的例题探究可以

15、看出：紧抓45角不放手，扣住一条主线，即“45角构造等腰直角三角形造K字形全等”，是处理45角问题的通解通法；当然也可以构造一些常见的几何模型，如“一线三等角”、“母子形相似”、“半角模型”等；其实45角只是一个特例、一个代表而已，若将45改为30等特殊角，甚至改成更一般的已知其三角函数值的确定角，都可以类似解决. 例4（2014年临夏）如图1-3-16，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x-3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在抛物线上，且横坐标为3.（1）求点M 、A 、B坐标；（2）连接AB AM BM ，求ABM的正切值；（3）点P为顶点为M的

16、抛物线上一点，且位于对称轴右侧，设PO与x正半轴的夹角为，当=ABM时，求P点坐标图1-3-16简析：(1)图示抛物线的解析式为，则M(1,-3)，A(0,-2),B(3,1);(2)法1（代数法）：利用两点间距离公式计算。验算，可证,在RtABM中，可得tan=;法2（几何法）：如图1-3-17，分别过点B、M作y轴的垂线，垂足依次为点C、D，由题可得AD=MD=1,AC=BC,=3，则ADM与ABC均为等腰直角三角形，故么DAM=CAB=，AM=，AB=3，从而有么，在RtABM中，可得tan=;(3)由题知tan=tan=，显然符合条件的点P有两个：当点P在x轴上方时，由B(3，1)，易

17、知点P与点B重合，即点P(3，1)；当点P在x轴下方时，如图1-3-18，作PG上x轴于点G，则tan=，可设PG=m(m0)则OG=3m，故点P（3m，-m），代入抛物线得，解得0（舍去），故点P综上所述：点P的坐标为(3，1)或。第(2)小问给我们的解题启示：大胆猜想，小心求证，即为求tan的值，首先从几何直观上猜想，然后利用勾股逆定理验边或几何上导角等加以说理；而第(3)小问属典型的“角处理”问题，其基本的解题之道是“正切处理”，即通过“横平竖直”辅助线，将角问题转化为边问题，再巧设边长，妙写坐标，代入解析式即可；另外，本题简单在么a有一条“水平边”，即平行于坐标轴的边，若无“水平边”或

18、“竖直边”.又如何处理呢？请看下例：如图1-3-19，二次函数的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1.(1)求二次函数的解析式及A、B的坐标；(2)若点P(0，t)（t-1）是y轴上的一点，Q(-5,0)，将点Q绕着点P按顺时针方向旋转得到点E，当点E恰好落在该二次函数的图像上时，求t的值；(3)在(2)的条件下，连接AD、AE，若M是该二次函数图像上的一点，且么DAE=MCB，求点M的坐标。简析:(1)由题易得m=-1，则二次函数的解析式为。且有点A(-1，0)及B(3,0)；(2)如图1-3-20，作“K字型全等”即RtPQRRtEPF，则PF=QR=-t，EF=PR

19、=5，故点E（-t,t+5），代人抛物线得解得t=-1或-2，因为t0）的图像经过A、B两点，若已知A（n，1），则k的值为 .图1412如图142，直线y=3x与双曲线（x0）交于A点，点P是该双曲线第一象限上的一点，且AOP=1+2，则点P的坐标为 .图1423如图143，已知反比例函数（x0）的图像经过点A（4，6），在OA右侧该图像上找一点P，使tanPOA=，则点P的坐标为 .图1434如图144，在矩形ABCD中，E是边AB上的一点，AE=2，BE=4，连接DE，作DEF=45交边BC于点F，若AD=x，BF=y，则y关于x的函数关系式为 .图1445如图145，抛物线经过A（1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B.（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，P为抛物线上一点，且DBP=45，求点P的坐标；变式1：连接BD，P为抛物线上一点，且DBP=135，求点P的坐标；变式2：连接BD，P为抛物线上一点，且tanDBP=2，求点P的坐标.备用图图145