中考专题存在性问题解题策略 角的存在性处理策略.doc

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1、第 1 页第第 1 讲讲 角的存在性处理策略角的存在性处理策略知识必备 一、一线三等角一、一线三等角 1.如图 1-1-1，且，此o90EDACB045CABCBEACD为“一线三直角”全等，又称“K 字型”全等;图 1-1-1 图 1-1-2 图 1-1-3 图 1-1-42.如图 1-1-2，此为“一线三直角”o90EDACBCBEACD相似，又称“K 字型”相似;3.如图 1-1-3，此为更一般的“一线o90EDACBCBEACD 三等角”. 二、相似三角形的性质二、相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比；相似三角形的对应线段成比例. 3、正切的定义如图 1-1-4，

2、在中，即的正切值等于的对边与的ABCRtbaA tanAAA邻边之比；同理，则，即互余两角的正切值互为倒数.abB tan1tantanBA方法提炼方法提炼 1、基本策略：联想构造基本策略：联想构造 2、构造路线构造路线方式方式(一一)：构造：构造“一线三等角一线三等角”1.45o角构等腰直角三角形造“一线三直角”全等，如图 1-2-1；图 1-2-12.30o角构直角三角形造“一线三直角”相似，如图 1-2-2；图 1-2-23.tan=k构直角三角形造“一线三直角”相似，如图 1-2-3；4.“一线三等角”的应用分三重境界；一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题

3、，如图 1-2-4 所示的“同侧型一线三等角”及图 1-2-5 所示的“异侧型一线三等角”；二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题；三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图 1-2-6及图 1-2-7 所示；方式（二）：构造“母子型相似”“角处理”，还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对此角结构，然后在这条线上图 1-2-3图 1-2-4图 1-2-5图 1-2-6图 1-2-7第 2 页补出一个与此角相等的角，构造出“母子型相似”，其核心结构如图 1-2-8 所示.方式（三）：整体旋转法（*）前两种构造属静

4、态构造方式，再介绍一种动态构造方式，即整体旋转法，其核心思想是“图形的旋转（运动）本质是图形上点旋转（运动） ；反过来，点的旋转（运动）可以看成该点所在图形的旋转（运动） ”.下面以三个问题说明此法：问题 1 已知点 A（3，4） ，将点 A 绕原点 O 顺时针方向旋转 45 角，求其对应点 A的坐标.简析 第一步 （“整体旋转”）：如图 1-2-9，作 ABy 轴于点 B，则 AB=3，OB=4，点A 绕原点 O 顺时针方向旋转 45 得到点 A，可看成 RtOAB 绕原点 O 顺时针方向旋转 45得到 RtOAB，则 AB=8，OB=4，且BOB=45； 第二步（造“一线三直角” ）：如图

5、 1-2-10,依托旋转后的 Rt,作系列“水平OA B 竖直辅助线” ，构造“一线三直角” ，即 RtRt；OCBB DA事实上,Rt与 Rt都是等腰直角三角形,于是有=,OCBB DAOCB C2 2=,故点的坐标为B DA D23 2A；7 22(,)22 问题 2 已知点,将点绕原(4,6)AA点顺时针方向旋转角,其中Oa=,求其对应点的坐标.tana12A简析 第一步（“整体旋转” ）：如图 1-2-11,作 ABy 轴于点 B,则 AB=4,OB=6,将 RtOAB 绕原点 O 顺时针方向旋转角得到 Rt,则=4,=6,aOA B A B OB且=； tanBOBtana12 第二

6、步（造“一线三直角” ）：如图 1-2-12,依托旋转后的 Rt,作系列“水平OA B 竖直辅助线” ，构造“一线三直角” ，即 RtRt，OCBB DA于是有=,=,=,=,故点的坐标为.B C565OC5125A D545B D585A55(,)55148问题 3 已知点,将点绕原点顺时针方向旋转角,求其对应点的坐标.( , )A a bAOaA简析 不是一般性，不妨都在第一象限内思考问题： 第一步（“整体旋转” ）：如图 1-2-13,作 ABy 轴于点 B,则 AB=,OB=,将 Rtab OAB 绕原点 O 顺时针方向旋转角得到 Rt,则=,=,且=； aOA B A B aOBbB

7、OBa 第二步（造“一线三直角” ）：如图 1-2-14,依托旋转后的 Rt,作系列“水平OA B 竖直辅助线” ，构造“一线三直角” ，即 RtRt，OCBB DA 于是有=,=,=,=,B CsinbaOCcosbaA DsinaaB Dcosaa 故点的坐标为.A(,)cossincossinaaba baaa例例 1 1(2019日照)如图 1-3-1，在平面直角坐标系中，经过点 A 的双曲线同时经 = (0) 过点 B，且点 A 在点 B 的左侧，点 A 的横坐标为，AOB=OBA=45，则 k 的值为2_。 简析简析由题可知，OAB 为等腰直角三角形；图 1-2-8图 1-2-9第

8、 3 页如图 1-3-2，构造“一线三直角”结构，即 RtOADRtABC； 设 OD=AC=t，则 A(，t)，B(，)，从而有t=()()，解得2 + 2 22 + 2 2； =2 + 102( =2 102舍去)因此有。 = 2 = 1 + 5反思：见等腰直角三角形，造反思：见等腰直角三角形，造“一线三直角一线三直角” ，即，即“K“K 字型字型”全等。全等。例例 2 2 如图 1-3-3，已知反比例函数的图像经过点 A(3，4)，在该图像上找一点 = (0) P，使POA=45，则点 P 的坐标为_。 简析简析 1 1（构造“一线三直角” ）：如图 1-3-4，作 ABOA 交 OP

9、于点 B，则OAB 为等腰直角 三角形； 再造“一线三直角”结构，即 RtOADRtABC，由 A(3,4)，可得 OD=AC=4，AD=BC=3，则 B(7,1)，故直线 OP 的解析式为，且反比例函数的解析式为，联立得 =1 7 =12 ，解得（负值舍去） ，故点 P 的坐标为(，)。 =1 7 =12 ? = 2 21 =2 217?2 212 217 简析简析 2 2（构造“一线三等角” ）：如图 1-3-5，分别过点 A、P 作 y 轴的垂线，垂足依次为点 D、E，再在 y 轴上分别找点 B、C，使 BD=AD，CE=PE，则ABO=PCO=45；由POA=45，易证ABOOCP，则

10、，即 ABCP=BOOC；由 A(3，4)，可得 = ，BO=BD+OD=7，k=12，再设点 P(t，)，则 CP=，OC=CE-OE=PE-OE=，AB = 3 212 2 12 从而有，解得，故点3 2 2 = 7( 12 ) = 2 21( = 2 21舍去)P 的坐标为()。2 21，2 217450是一个神奇美妙、让人浮想联翩的角。依托 450角，自然联想到构造等腰直角三角形。然后依托等腰直角三角形，再造“一线三直角” ，这是处理 450角的基本策略之一。如图 1-3-6，若C=450，一般有四种方式构造直角三角形，但建议将已知点作为直角顶点，相对而言会更简单。这也体现出了“以不变

11、应万变”的解题策略。解法 1，从头到尾几乎口算，不需要设元，原因在于构造等腰直角三角形时。将已知点 A 作为直角顶点，否则需要设元求解，很是麻烦。解法 2，将 y 轴看成所谓“一线” 。利用一个 450角，再补两个“450”角，构造“一线三等角” ，设出坐标，巧妙解题，这是角的存在性问题另一种重要处理策略。如图 1-3-7，已知抛物线与轴交于 A、B 两点，且经过点、27 2yxxc x0 2C，点 P 是直线 CD 上方抛物线上一动点，当时，求点 P 的坐标。732D，0=45PCDxy图 1-3-5CEPBDAO第 4 页策略一：450 构等腰直角三角形造“一线三直角”.简析：易求抛物线的

12、解析式为，直线 CD 的解析式为2722yxx 122yx如图 1-3-8，过点 D 作 DQCQ，交 CP 的延长线于点 Q，过点 D 作平行于 y 轴 的直线，并分别过点 C、Q 向该直线上作垂线，垂足依次为点 E、F，则CDQ 为等腰直角三角形，CEDDFQ，DF=CE=3,QF=DE=,故 Q 点坐标为3 13 22，利用 C、Q 两点，可以求出直线 CP 的解析式，在与抛物线联立得32yx，解得（舍去） ，或 ，因此点 P 坐标为232722yxyxx =0 2x y1=2 7 2xy 1 7 2 2，类似的，也可以过点 P 作垂线等。但不推荐，否则直角顶点未知。需要设元求解，而简析

13、 1 直角顶点 D 已知，故而顺风顺雨。理论上，在直线 CD 上任取一个已知点，将之做为等腰直角三角形的直角顶点，都可顺利解决，如图 1-3-9 所示，可自行探究。对比例 2，还可以发现，双曲线与抛物线都是“幌子” ，借助 450角的处理策略，他们仅仅起到最后联立解方程组求交点的作用。练就“慧眼” ，便可以“识珠” ，很多题目的命制套路就是如此.策略二：一个 45补两个 45造“一线三等角”如图 1310，过点 P、D 向轴上做垂线，补出两个 45角，构出“一线三等角”结构，即PCECDF，则有，即 PEDF=CECF；DFCE CFPE由题可设 P(t，-t+t+2),易得 PE=t，DF=

14、3,CE=-t+t+2272227+t-2=-t+t,CF=2-(-3)=,因此有t3=(-t+t)，解得 t=（t=0 舍去） ，29 27 232223 29 21图 1-3-7图 1-3-9图 1-3-8第 5 页故点坐标为（，）21 27因本题数据的特殊性，最后可以看出，点因本题数据的特殊性，最后可以看出，点 P、D 的纵坐标相等，故过点的纵坐标相等，故过点 P、D 向向 y 轴做轴做 垂线，垂足重合，即图中的垂线，垂足重合，即图中的 G 点，其实巧合与否，对解题并无影响；点，其实巧合与否，对解题并无影响； 此外，所谓此外，所谓“一线一线” ，也可以做成，也可以做成“水平线，甚至于水平

15、线，甚至于“斜线斜线” ，可自行探究，一般选择，可自行探究，一般选择 现有的现有的“一线一线”比较合适。比较合适。 策略三：一个 45再补一个 45造“母子型相似” 如图 1-3-11，过点 D 作 y 轴的平行线交 CP 的延长线于点 Q， 交 x 轴于点 G，再作 CEQG 于点 E，构造等腰 RTCEF，则F=45,EF=CE=3,DE=23由PCD=45，可得QCDQFC，易证 QC=QDQF；设 QD=t，则 QC=QE+CE=(t+)+9，故有(t+)+9=t(t+23 23)，解得 t=，故点的坐标为(3,11)29 215再利用 C、Q 两点，可求出直线的解析式为 y=3x+2

16、，与抛物线联立得 y=3x=2、y=-x+x+2 解得 x=0、y=2， （舍去）或27x=、y=，故点坐标为（，） 。21 27 21 27“母子型相似母子型相似”与与“一线三等角一线三等角”是极其重要的基本相似形，上述解法都将是将其视是极其重要的基本相似形，上述解法都将是将其视 为为“工具工具” ，结合这些基本图形的结构特征，缺啥补啥，巧妙构造，顺利求解，结合这些基本图形的结构特征，缺啥补啥，巧妙构造，顺利求解. 策略四：45“整体旋转”+“矩形大法” 第一步（“整体旋转” ）：如图 1-3-12，过两点作相应“水平竖直辅助线” ，构造 RTCDE，再将 RTCDE 绕点 C 逆时针旋转

17、45至 RTCDE，则 CE=CE=3,DE=DE=，且ECE=4523第二步（“矩形大法” ）：如图1-3-13，依托旋转后 的 RtCDE，作系列“水平竖直辅助线” ，构造矩 形 CGHK，则 RtCGERtEHD， 事实上，RtCGE与RtEHD都是等腰直角三角形，于是有 CG=EG=，DH=EH=，223 423则 DK=-=，OK=OC+CK=2+，故点 D的坐标为（，2+） ，下223 423 423 429 423 429第 6 页略. 图 1-3-13反思 这里运用动态视角，借助旋转的眼光看问题，将点的旋转看成该点所在的直角三角 形的旋转，巧思妙构，利用系列“水平竖直辅助线”

18、，达到“改斜规正，化斜为直”之 效，虽然最后的数据稍显“丑陋” ，但并不影响此法的通用性与普适性. 因为 45的特殊性，本题还可以尝试采用所谓的“半角模型”来求解. 策略五： 45正方形中的“半角模型” 简析 5 如图 1-3-14，作正方形 CEFG，使 CG 边在 y 轴上，且边 EF 过点 D，直线 CP 与 FG 交于点 Q； 图 1-3-14 图 1-3-15设 QG=x，由PCD=45，结合正方形中“半角模型” ，可得 QD=QG+DE=x+，最后23锁定 RtQDF，由勾股定理得（3-x）+（）=（x+），解得 x=1，故点 Q 坐标为23 23（1,5） ，下略. 反思：正方形

19、中“半角模型”应用广泛，核心结构如图 1-3-15 所示，其结论众多，常 用的有：EF=AE+CF，EB 平分AEF，FB 平分CFE 等，可通过旋转法加以证明； 通过前面的例题探究可以看出：紧抓 45角不放手，扣住一条主线，即“45角构 造等腰直角三角形造 K 字形全等” ，是处理 45角问题的通解通法； 当然也可以构造一些常见的几何模型，如“一线三等角” 、 “母子形相似” 、 “半角模型” 等； 其实 45角只是一个特例、一个代表而已，若将 45改为 30等特殊角，甚至改成 更一般的已知其三角函数值的确定角，都可以类似解决.例 4（2019 年临夏）如图 1-3-16，在平面直角坐标系

20、xOy 中，顶点为 M 的抛物线是 由抛物线 y=x-3 向右平移一个单位后得到的，它与 y 轴负半轴交于点 A，点 B 在抛物线上， 且横坐标为 3. （1）求点 M 、A 、B 坐标； （2）连接 AB AM BM ，求ABM 的正切值； （3）点 P 为顶点为 M 的抛物线上一点，且位于对称轴右侧，设 PO 与 x 正半轴的夹角 为 ，当 =ABM 时，求 P 点坐标 图 1-3-16简析：(1)图示抛物线的解析式为，则3) 1(2 xyM(1,-3)，A(0,-2),B(3,1);90MAB(2)法 1（代数法）：利用两点间距离公式计算。验算，可证222MBABAM、222MBABAM

21、,在 RtABM 中，可得 tan=90MABABM;31ABAM法 2（几何法）：如图 1-3-17，分别过点 B、M 作 y 轴的垂线，垂足依次为点 C、D，由题可得第 7 页AD=MD=1,AC=BC,=3，则ADM 与ABC 均为等腰直角三角形，故么DAM=CAB=，AM=，AB=3，从而有么，在 RtABM 中，452290MAB可得 tan=;ABM31ABAM(3)由题知 tan=tan=，显然符合条件的点 P 有两个：当点 P 在 xABM31轴上方时，由 B(3，1)，易知点 P 与点 B 重合，即点 P(3，1)； 当点 P 在 x 轴下方时，如图 1-3-18，作 PG

22、上 x 轴于点 G，则tan=，可设 PG=m(m0)则 OG=3m，故点31OGPGP（3m，-m） ，代入抛物线得，解得3-1)-(3m=m-20）的图像经过 A、B 两点，若已知 A（n，1） ，则 k 的值为 .xky yAOxP2如图 142，直线 y=3x 与双曲线（x0）交于 A 点，点 P 是该双曲线第一象限xy3上的一点，且AOP=1+2，则点 P 的坐标为 .yAOxP 1 23如图 143，已知反比例函数（x0）的图像经过点 A（4，6） ，在 OA 右侧该xky 图像上找一点 P，使 tanPOA=，则点 P 的坐标为 .21yAOxP4如图 144，在矩形 ABCD

23、中，E 是边 AB 上的一点，AE=2，BE=4，连接 DE，作DEF=45交边 BC 于点 F，若 AD=x，BF=y，则 y 关于 x 的函数关系式为 .图 143图 142图 141第 10 页ABCDEFx24y455如图 145，抛物线经过 A（1，0） 、C（0，4）两点，与 x 轴交abxaxy42于另一点 B. （1）求抛物线的解析式； （2）已知点 D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接 BD，P 为抛物线上一点，且DBP=45，求点 P 的坐标； 变式 1：连接 BD，P 为抛物线上一点，且DBP=135，求点 P 的坐标； 变式 2：连接 BD，P 为抛物线上一点，且 tanDBP=2，求点 P 的坐标.ACBxyOACBxyO图 144图 145备用图