D1-1函数.ppt

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1、 第一章 二、区间与邻域二、区间与邻域 三、函数的概念三、函数的概念一、集合一、集合第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 函 数一、集一、集 合合1. 定义及表示法定义及表示法具有某种特定性质的事物的总体称为一个具有某种特定性质的事物的总体称为一个集合集合.组成集合的事物称为组成集合的事物称为元素元素.注注1:集合通常用大写的英文字母集合通常用大写的英文字母ABC ， ， ，表示表示 其元素则用小写的英文字母其元素则用小写的英文字母 abc ， ， ，表示表示 注注2:元素元素 a 属于集合属于集合 A , 记作记作元素元素 a 不属于集合不属于集合 A , 记作记作.aA注注3: 含有有

2、限个元素的集合称为含有有限个元素的集合称为有限集；有限集； 不是有限集的集合称为不是有限集的集合称为无限集无限集.Ma( 或Ma) .机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注4: 不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集， 注注5:对于数集，习惯上有如下记号对于数集，习惯上有如下记号全体自然数的集合记作全体自然数的集合记作 N全体整数的集合记作全体整数的集合记作 Z全体有理数的集合记作全体有理数的集合记作 Q全体实数的集合记作全体实数的集合记作 R注注6: M 为数集为数集 *M表示 M 中排除 0 的集 ;M表示 M 中排除 0 与负数的集 .记作 . 机动 目录 上页 下页 返

3、回 结束 表示法表示法：(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .例例: 有限集合naaaA,21niia1自然数集,2,1,0Nnn(2) 描述法： xM x 所具有的特征所具有的特征例例: 整数集合整数集合 ZxNx或Nx实数集合 Rx x 为有理数或无理数为有理数或无理数机动 目录 上页 下页 返回 结束 是是 B 的的子集子集 , 或称或称 B 包含包含 A ,2. 集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义定义2 .则称 A.BA若BA,AB 且则称则称 A 与与 B 相等相等,.BA 例如 ,ZNQZRQ显然有下列关系 :;) 1 (AA;AA BA)2(CB 且CA ,

4、 ,A若Ax,Bx设有集合,BA记作记作必有机动 目录 上页 下页 返回 结束 ICAA定义定义 3 . 给定两个集合给定两个集合 A, B, 并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 A BABxAxBx且定义下列运算:A余集或补集CAIAABABBABA机动 目录 上页 下页 返回 结束 Bx或其中集合其中集合I 称为称为全集全集或或基本集基本集二、二、 区间与邻域区间与邻域机动 目录 上页 下页 返回 结束 区间区间: : 是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数. .这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点. .,baRba且bxax称为开区间称为开区

5、间, ,),(babxax称为闭区间称为闭区间, ,baoxaboxab记作记作记作记作(,) bx机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),xbabxa ,(xbabxa无限区间 ),xaxa ),(xRx半开区间),babxax =;xOba,(babxax =;xOba),a xax =;xOa),(b bxx =.xOb ),( R=;xO注注: :两端点间的距离称为区间的长度两端点间的距离称为区间的长度. .xb x机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(aa ),(Uxa点点a的的 邻域邻域aaxa xaxax0其中其中, a 称为邻域中心称为邻域中心 , 称为邻域半径称为邻域半径

6、.去心去心 邻域邻域左左 邻域邻域 :, ),(aa右右 邻域邻域 :. ),(aa邻域邻域: :以 为中心的任何开区间均是点 的邻域,aa记为记为).(aU(,)aa( ,)a机动 目录 上页 下页 返回 结束 51x 5 a(4,6).例例1 1 表示以点为中心，为半径的邻域， 也就是开区间例例2 2012,x以点1a 以2 2为半径的去心邻域为( 1,1)(1,3).即以1为中心，定义域三、函数的概念三、函数的概念定义定义 记为Dxxfy, )(机动 目录 上页 下页 返回 结束 自变量因变量设x和y是两个变量,D是一个给定的数集.如果对于每个数,Dx变量y按照一定的法则 f 总有确定的

7、数值和它对应,则称 是 的函数,yx000 ,() .xDf xx当 时 称 为函数在点 处的函数值 ()( ),.ff DRy yf xxD函数值全体组成的数集称为函数的值域 注注: : 构成函数的要素为构成函数的要素为: : 定义域定义域与与对应法则对应法则两函数相等两函数相等它们的定义域和对应法则均相同它们的定义域和对应法则均相同. .DxfDxxfyyDfy),()(对应法则)(值域)(定义域) 定义域定义域 函数函数的表示方法的表示方法: 解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.xyo例如例如, 绝对值函数绝对值函数定义域值 域),0)(Df机动 目录 上页 下

8、页 返回 结束 RD ( )f xx,0 xx ,0 xxyx分段函数分段函数:符号函数符号函数xysgn当 x 0,1当 x = 0,0当 x 0,1xyo11取整函数取整函数xy 当Znnxn,1,nxyo134212机动 目录 上页 下页 返回 结束 在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, ,对应法则用对应法则用不同的式子来表示的函数不同的式子来表示的函数. .表示不超过表示不超过 x 的最大整数。的最大整数。阶梯曲线阶梯曲线, (sgn)xRxxx 1xxx1 xxx 注：注：例例3 3判断下面函数是否相同判断下面函数是否相同, ,并说明理由并说明理由. .(1)1y 与与

9、22sincos;yxx(2)21yx与与21.uv解解: :(1)虽然这两个函数的表现形式不同虽然这两个函数的表现形式不同, ,但它们但它们的定义域的定义域(,) 与对应法则均相同与对应法则均相同, , 所以这所以这两个函数相同两个函数相同. .(2)虽然它们的自变量与因变量所用的字母不同虽然它们的自变量与因变量所用的字母不同, ,但但其定义域其定义域(,) 和对应法则均相同和对应法则均相同, ,所以所以这两个函数相同这两个函数相同. .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4 判断下列函数是否为相同的函数判断下列函数是否为相同的函数. .12sin(3)tan ,.cosxyx yx

10、不是不是是是;, 1)1(21xxyy ;,)2(221xyxy 不是不是机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个函数是否相同，仅取决于两个函数是否相同，仅取决于D 和和 f，而，而与与f 的表达形式无关，也与变量的记号无关的表达形式无关，也与变量的记号无关!例例5 5 求函数求函数义域义域. .解：解：要使要使( )f x有意义有意义, , 显然显然x要满足要满足: :230sin0540 xxxx即即315xxkx (k为整数为整数) )2lg(3)( )54sinxf xxxx的定的定所以所以( )fx的定义域为的定义域为 | 13,0fDxxx 1,0)(0,3). 机动 目录 上页

11、下页 返回 结束 例例6 6设设1, 01( ),2, 12xf xx定义域定义域. .解：解：1,01( )2,12xf xx1, 031(3)2, 132xf xx1, 322, 21 xx求函数求函数(3)f x 的的故函数故函数(3)fx 的定义域的定义域: :31,.机动 目录 上页 下页 返回 结束 四四. 函数的几种特性函数的几种特性设函数, )(Dxxfy且有区间.DI (1) 单调性单调性,21Ixx21xx 时, )()(21xfxf若称 )(xf为 I 上的, )()(21xfxf若称 )(xf为 I 上的单调增函数单调增函数 ;单调减函数单调减函数 .xy1x2x机动

12、目录 上页 下页 返回 结束 单调增加或单调减少的函数单调增加或单调减少的函数 统称为统称为单调函数单调函数.注注 函数单调与否同所论区间有关函数单调与否同所论区间有关.设函数, )(Dxxfy机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 奇偶性奇偶性,Dx且有,Dx若, )()(xfxf则称则称 f (x) 为为偶函数偶函数;若, )()(xfxf则称则称 f (x) 为为奇函数奇函数. 说明说明: 若若)(xf在 x = 0 有定义 , 则当. 0)0(f)(xf为奇函数奇函数时, 必有xyoxxyx)(xf )(xfy Ox-x)(xf偶函数的图形关于偶函数的图形关于y 轴对称轴对称奇函数

13、的图形关于原点对称奇函数的图形关于原点对称例例 判断下列函数的奇偶性:(1);xyxe 2(3)ln(1);yxx42(2)2;yxx 1 0(4) ( )1 0;xxexg xex （非奇非偶）（非奇非偶）（偶函数）（偶函数）（奇函数）（奇函数）（奇函数）（奇函数）机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,xX 对有 0M常数，使得,)(Mxf 则称则称 )(xf( )f x则称在在X上有界上有界.为为有界函数有界函数. M-MyxOy = f (x)X(3) 有界性有界性机动 目录 上页 下页 返回 结束 否则称为否则称为无界无界. .设函数设函数)(xf的定义域为的定义域为,D数集数集,DX

14、 若若 )(xf在在D上有界上有界,设函数设函数)(xf的定义域为的定义域为,D数集数集,DX 若若,1M使得使得Xx恒有恒有1)(Mxf成立成立, , 则称则称函数函数)(xf在在 上有上有上界上界X;1M若若,2M使得使得Xx恒有恒有2)(Mxf成立成立, ,则称则称函数函数)(xf在在 上有上有下界下界X;2M由上述定义易见有下列结论由上述定义易见有下列结论: :机动 目录 上页 下页 返回 结束 M2Oyxy = f (x)XM1有下界有下界. .)(xf在在 上有界上有界X)(xf在在 上既有上界又上既有上界又X上界上界下界下界例如例如, , 在在),( 内内, , 恒有恒有1|si

15、n| x或或, 1sin1 x故函数故函数 有界有界, ,xsin且且 是它的上界是它的上界, ,1是它的下界是它的下界. .1 (2)lg(1)(2,3)yx在在上上1 (1)(1,2)yx例例如如在在上上注意注意: :有界有界, ,无界是相对于区间而言的无界是相对于区间而言的. .(0,1)而而在在上上(1,)在在上上(1,2)在在上上机动 目录 上页 下页 返回 结束 ;是是有有界界的的是无界的。是无界的。有界；有界；无界；无界；无界。无界。(,) 2211111yxx 证明证明211xy 的定义域为的定义域为211,x机动 目录 上页 下页 返回 结束 故故 取取 M=1，则对则对(,

16、),x 都有都有1y (4) 周期性周期性,0, TDx常常数数且且,DTx )()(xfTxf 则称则称)(xf为为周期函数周期函数 ,to)(tf22 xo2y2若若称称 T 为为周期周期.周期为周期为 周期为周期为2( 通常说周期函数的周期是指其通常说周期函数的周期是指其最小正周期最小正周期 ).机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如: 常量函数常量函数，Cxf )(注注 并非任何一个周期函数都有最小正周期并非任何一个周期函数都有最小正周期.每一个正数都是其周期每一个正数都是其周期.但这个函数无最小正周期但这个函数无最小正周期!机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地，函数的周期

17、性主要是指三角函数，如y=sinx，y=cosx 的最小正周期是2，y=tanx, y=cotx 的最小正周期是(1) ( )sintan;2(2) ( )sincos.2xf xxxf xx 注意：注意：两个周期函数的和或积是不是周期函数，取两个周期函数的和或积是不是周期函数，取决于这两个周期函数的周期之比是否是有理数决于这两个周期函数的周期之比是否是有理数.例例 下列函数是不是周期函数下列函数是不是周期函数. .是是不是不是2T 机动 目录 上页 下页 返回 结束 12(,2 )TT 12(2 ,4)TT 定义定义: 设函数设函数 y=f (x)的定义域为的定义域为D，值域是值域是f (

18、D)如果如果对于每一个对于每一个 yf ( D) 都有惟一确定的且满足都有惟一确定的且满足 y =f (x) 的的 x D与之对应与之对应，从而得到一个以从而得到一个以y 为自变量，为自变量，x为因变量的函数，我们称此函数为为因变量的函数，我们称此函数为 y =f (x)的反函数，的反函数，记作记作 Dxxfy, )(习惯上习惯上,的反函数记成的反函数记成)(,)(1Dfxxfy1( ),xfy ()yf D 机动 目录 上页 下页 返回 结束 五五. . 反函数与复合函数反函数与复合函数例如例如, 函数函数, 0,(,2 xxy其反函数为其反函数为,xy ),0 x性质性质: )(1xfy1

19、) yf (x) 单调递增单调递增其反函数其反函数(减减),存在，且也单调递增存在，且也单调递增 (减减) .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 函数)(xfy 与其反函数)(1xfy的图形关于直线xy 对称 .)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baPxyo3）互为反函数的两个函数，如果原函数为奇函数，则反函数也是奇函数 .例例),(,xeyx对数函数),0(,lnxxy互为反函数 ,它们都单调递增,机动 目录 上页 下页 返回 结束 指数函数xyOxey xyln 其图形关于直线对称 .yx4) 互为反互为反函数的两个函数 及 有)(xfy 1( ),yfx1( ( ),

20、 , ( ) ffff xxxDDf x为函数 的定义域；1( ), , R( ) fff fxxxRf x为函数 的值域 .ln ,0 xex xln , xex xR例例解解:3,1,12,.3 ,2,xxxyxxx求 的反函数 分段函数的反函数应当逐段求：分段函数的反函数应当逐段求：1 x 当 时，解得解得, yx );1,(, xxy反函数为反函数为12 x当 时，解得解得,3yx 反函数为反函数为,3xy ，xy ，3xy 又对于直接函数又对于直接函数 y = x 3 来说其值域为来说其值域为 1, 8 ，故反函数故反函数 的定义域为的定义域为 1, 8 ; x 1, 8 ;机动 目

21、录 上页 下页 返回 结束 2 x 当 时，解得解得,log3yx 反函数为反函数为,log3xy )., 9( x综上所述，所求反函数为综上所述，所求反函数为 . 9,log, 81 , 1 ,33xxxxxxy，xy3 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反三角函数反三角函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyarcsin反正弦函数xyarcsin 2 2 2,2,1 , 1fRD它是奇的增函数它是奇的增函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyarccos反余弦函数xyarccos 2 ,0,1 , 1fRD它是减函数它是减函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyarctan反

22、正切函数xyarctan 2 2 )2,2(,fRRD它是奇的增函数它是奇的增函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 xarcycot反余切函数xycot arc ),0(,fRRD它是减函数它是减函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 一些恒等式一些恒等式sin(arcsin ), 1,1cos(arccos ), 1,1tan(arctan ),(,)cot(cot ),(,)xx xxx xxx xarcxx x arcsin(sin),22arccos(cos),0,xx xxx x arcsinarccos, 1,12arctancot,(,)2xxxxarcxx 机动 目录 上页

23、下页 返回 结束 arcsin()arcsin,arccos()arccos,xxxx arctan()arctanarccot()arccotxxxx (2) 复合函数 1),(Duufy,),(Dxxgu1)(DDg且则Dxxgfy, )(设有函数链称为由称为由, 确定的确定的复合函数复合函数 。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意: 构成复合函数的条件构成复合函数的条件 1)(DDg不可少. 例如例如, 函数链函数链 :,arcsinuy ,122xu函数,12arcsin2xyDx,1231,23但函数链22,arcsinxuuy不能构成复合函数 .可定义复合,自变量x,中间

24、变量u,因变量y( )ug x ( )yf u 内函数内函数外函数外函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 0,uuy可定义复合函数:,2cotxy ,) 12( ,2(kkxZn02cot,22xkxk时),2, 1, 0(,cotkkvvu),(,2xxv例例 将下列函数分解成基本初等函数的复合将下列函数分解成基本初等函数的复合: :2(1)lnsin;yx2arctan(2);xye22(3)cos ln(21).yx解解: :(1)2lnsinyx是由是由,yu ln ,uv 2,vw sinwx (2)2arctan xye 是由是由四个函数复

25、合而成四个函数复合而成; ;三个函数复合而成三个函数复合而成; ;,uey ,arctanvu 2xv )3(是由是由)12ln(cos22xy 六个函数复合在而成六个函数复合在而成. .,2uy ,cosvu ,lnwv ,2tw ,ht 21xh 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分段函数的复合运算分段函数的复合运算例例设设,1( ),1xexf xx x 22,0( ),1,0 xxxxx 求求 ( ).fx 解解: :( ), ( )1 ( )( ), ( )1xexfxxx (1)当当( )1x 时时, ,( )21xx 1,x 或或0,x 2( )11xx 02;x或或0,x 机

26、动 目录 上页 下页 返回 结束 (2)当当( )1x 时时, ,( )21xx 10,x 或或0,x 2( )11xx 2.x 或或0,x 所以所以10 x 02x 2x 1x .)(xf ,2 xe, 2 x,12 xe, 12 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.1.幂函数幂函数)( 是常数xy oxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 六六. 初等函数初等函数(1) 基本初等函数幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.指数函数指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey

27、 ),0(),(fRD机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.3.对数函数对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( ),(),0(fRD机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 4.4.三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin 1 , 1),(fRD机动 目录 上页 下页 返回 结束 xycos 余弦函数余弦函数xycos 2 23 2 1 , 1),(fRD机动 目录 上页 下页 返回 结束 正切函数正切函数xytan ),(,2|fRZnnxxDxytan 2 2 32 32 机动 目录 上页 下页 返回 结束

28、xycot 余切函数余切函数xycot 2 2),(,|fRZnnxxD机动 目录 上页 下页 返回 结束 正割函数正割函数xxycos1sec xysec 机动 目录 上页 下页 返回 结束 22sec1tanxx xxysin1csc 余割函数余割函数xycsc 机动 目录 上页 下页 返回 结束 22csc1 cotxx (2) 初等函数由常数及基本初等函数否则称为否则称为非初等函数非初等函数 . 例如例如 ,2xy y0,xx0,xx并可用并可用一个式子一个式子表示的函数表示的函数 ,经过经过有限次有限次四则运算和复合步四则运算和复合步骤所构成 ,称为称为初等函数初等函数 .可表为故为

29、初等函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注: :一般地分段函数不是初等函数一般地分段函数不是初等函数, ,形式上分段但形式上分段但可化为一个解析表达式的函数可能是初等函数可化为一个解析表达式的函数可能是初等函数. .内容小结内容小结1. 集合、区间、邻域的概念定义域对应规律3. 函数的特性有界性, 单调性,奇偶性, 周期性4. 初等函数的结构 作业 P10 1 (2), (3) , (6); 2, 152. 函数的定义及函数的二要素第一节 目录 上页 下页 返回 结束 且思考与练习思考与练习0)0(f,)()(1xcxfbxfa,ba 证明)(xf证证: 令令,1xt 则,1tx t

30、ctfbfat)()(1由xcxfbxfa)()(1xcxfbfax)()(1消去),(1xf得)0()(22xxaxbabcxf),()(xfxf显然, 0)0(f又)(xf故0 x时其中a, b, c 为常数, 且为奇函数 .为奇函数 .1. 设设机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求求y的反函数及其定义域.解解:01x当时,2xy 则1,0(,yyx10 x当时,xyln则0,(,yexy21 x当时,12xey则2,2(,ln12eyxy反函数y1,0(,xx0,(,xex2,2(,ln12exx定义域为2,2(1,(e21,210 ,ln01, 12xexxxxx212e21yox1, 1,0(, 0,(, 2,2(e机动 目录 上页 下页 返回 结束