2022年高中数学椭圆题型归纳2 .pdf

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1、Fpg Fpg 高中数学椭圆题型归纳一椭圆标准方程及定义1已知椭圆+=1 上一点 P到椭圆一个焦点距离为3，则点 P到另一个焦点距离为（）A2 B3 C 5 D7 2、已知椭圆标准方程为，并且焦距为6，则实数 m值为3求满足下列条件椭圆标准方程（1）焦点分别为（ 0，2） ， （0，2） ，经过点（ 4，）（2）经过两点（ 2，） ， （）4求满足下列条件椭圆方程：（1）长轴在 x 轴上，长轴长等于12，离心率等于；（2）椭圆经过点（ 6，0）和（0，8） ；（3）椭圆一个焦点到长轴两端点距离分别为10 和 45设 F1，F2分别是椭圆+=1左，右焦点， P为椭圆上任一点，点 M坐标为（ 6，

2、4） ，则|PM|+|PF1| 最大值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页Fpg Fpg 二、离心率1、已知 F1、F2是椭圆两个焦点， P是椭圆上一点， F1PF2=90，则椭圆离心率取值范围是2设 F1、F2是椭圆 E：+=1（ab0）左右焦点， P 是直线x= a 上一点， F2PF1是底角为 30等腰三角形，则椭圆E离心率为（）ABC D3已知点 F1、F2是双曲线 C：=1（a0，b0）左、右焦点，O为坐标原点，点 P在双曲线 C右支上，且满足 |F1F2|=2|OP| ，|PF1| 3|PF2| ，则双

3、曲线 C离心率取值范围为（）A （1，+）B，+） C （1， D （1， 三、焦点三角形1、已知椭圆+=1左，右焦点分别为F1，F2，点 P是椭圆上一点，且F1PF2=60求 PF1F2周长求 PF1F2面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页Fpg Fpg 2已知点（0，）是中心在原点，长轴在x 轴上椭圆一个顶点，离心率为，椭圆左右焦点分别为F1和 F2（1）求椭圆方程；（2）点 M在椭圆上，求 MF1F2面积最大值；（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使?=0，若存在，请求出点 P坐标；若不存在，请说明理由四、弦

4、长问题1、已知椭圆 4x2+y2=1及直线 y=x+m （1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m取值范围（2）求被椭圆截得最长弦长度2、设 F1，F2分别是椭圆左、右焦点，过F1斜率为 1 直线 ? 与 E相交于 A，B两点，且|AF2| ，|AB| ，|BF2| 成等差数列（1）求 E离心率；（2）设点 P（0，1）满足 |PA|=|PB| ，求 E方程五、中点弦问题1、已知椭圆+=1 弦 AB中点 M坐标为（ 2，1） ，求直线AB方程，并求 AB长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页Fpg Fpg 六、定值、定点

5、问题1、已知椭圆 C：9x2+y2=m2（m 0） ，直线 l 不过原点 O且不平行于坐标轴， l 与 C有两个交点 A，B，线段 AB中点为 M （1）证明：直线 OM 斜率与 l 斜率乘积为定值；（2）若 l 过点（，m ） ，延长线段 OM 与 C交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 斜率；若不能，说明理由七、对称问题1已知椭圆方程为，试确定 m范围，使得椭圆上有不同两点关于直线 y=4x+m对称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页Fpg Fpg 高中数学椭圆题型归纳参考答案与试题解析

6、一选择题（共 3 小题）1 （2016 春?马山县期末）已知椭圆+=1 上一点 P到椭圆一个焦点距离为 3，则点 P到另一个焦点距离为（）A2 B3 C 5 D7 【分析】 先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d等式即可得到结论【解答】 解：设所求距离为d，由题得： a=5根据椭圆定义得： 2a=3+d? d=2a3=7故选 D 【点评】本题主要考查椭圆定义 在解决涉及到圆锥曲线上点与焦点之间关系问题中，圆锥曲线定义往往是解题突破口2 （2015 秋?友谊县校级期末）设F1、F2是椭圆 E：+=1（ab0）左右焦点， P 是直线 x= a 上一点， F2PF1是底角为 30等腰

7、三角形，则椭圆E离心率为（）ABC D【分析】利用 F2PF1是底角为 30等腰三角形， 可得|PF2|=|F2F1| ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页Fpg Fpg 根据 P为直线 x= a 上一点，可建立方程，由此可求椭圆离心率【解答】 解： F2PF1是底角为 30等腰三角形，|PF2|=|F2F1| P为直线 x= a 上一点2（ac）=2c e= =故选： B【点评】本题考查椭圆几何性质， 解题关键是确定几何量之间关系，属于基础题3 （2016?衡水模拟）已知点F1、F2是双曲线 C：=1（a0，b0

8、）左、右焦点， O为坐标原点，点P 在双曲线 C 右支上，且满足|F1F2|=2|OP| ，|PF1| 3|PF2| ，则双曲线 C离心率取值范围为（）A （1，+）B，+） C （1， D （1， 【分析】 由直角三角形判定定理可得PF1F2为直角三角形，且PF1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页Fpg Fpg PF2，运用双曲线定义，可得|PF1| |PF2|=2a，又|PF1| 3|PF2| ，可得|PF2| a，再由勾股定理， 即可得到 ca，运用离心率公式，即可得到所求范围【解答】 解：由 |F1F2|=

9、2|OP| ，可得 |OP|=c，即有 PF1F2为直角三角形，且PF1PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，由双曲线定义可得 |PF1| |PF2|=2a，又|PF1| 3|PF2| ，可得 |PF2| a，即有（ |PF2|+2a）2+|PF2|2=4c2，化为（ |PF2|+a ）2=2c2a2，即有 2c2a24a2，可得 ca，由 e= 可得1e，故选： C【点评】本题考查双曲线离心率范围，注意运用双曲线定义和直角三角形性质，考查运算能力，属于中档题二填空题（共 3 小题）4已知椭圆标准方程为，并且焦距为6，则实数 m值为4 或【分析】由题设条件， 分椭圆焦点在 x

10、 轴上和椭圆焦点在y 轴上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页Fpg Fpg 两种情况进行讨论，结合椭圆中a2b2=c2进行求解【解答】 解：椭圆标准方程为，椭圆焦距为 2c=6，c=3，当椭圆焦点在x 轴上时， 25m2=9，解得 m=4 ；当椭圆焦点在 y 轴上时， m225=9，解得 m=综上所述， m取值是 4 或故答案为： 4 或【点评】 本题考查椭圆简单性质，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想合理运用5 （2016?漳州一模）设 F1，F2分别是椭圆+=1左，右焦点， P为椭圆上任一点，

11、点M坐标为（ 6，4） ，则|PM|+|PF1| 最大值为15 【分析】由椭圆定义可得， |PM|+|PF1|=2a+|PM| |PF2| 2a+|MF2| ，由此可得结论【解答】 解：由题意 F2（3，0） ，|MF2|=5，由椭圆定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM| |PF2|=10+|PM| |PF2| 10+|MF2|=15，当且仅当 P，F2，M三点共线时取等号，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页Fpg Fpg 故答案为： 15【点评】本题考查椭圆定义，考查学生分析解决问题能力，属于基础题6已知

12、 F1、F2是椭圆两个焦点， P是椭圆上一点， F1PF2=90，则椭圆离心率取值范围是【分析】 根据题意， 点 P即在已知椭圆上，又在以 F1F2为直径圆上因此以 F1F2为直径圆与椭圆有公式点， 所以该圆半径c 大于或等于短半轴 b 长度，由此建立关于a、c 不等式，即可求得椭圆离心率取值范围【解答】 解P点满足 F1PF2=90，点 P在以 F1F2为直径圆上又P是椭圆上一点，以 F1F2为直径圆与椭圆有公共点，F1、F2是椭圆焦点以 F1F2为直径圆半径r 满足： r=c b，两边平方，得 c2b2即 c2a2c2? 2c2a2两边都除以 a2，得 2e21，e，结合 0e1，e1，即

13、椭圆离心率取值范围是，1） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页Fpg Fpg 故答案为： ，1） 【点评】本题在已知椭圆上一点对两个焦点张角等于90 度情况下，求椭圆离心率，着重考查了椭圆基本概念和解不等式基本知识，属于中档题三解答题（共 9 小题）7 （2013秋?琼海校级月考） 已知椭圆+=1左，右焦点分别为 F1，F2，点 P是椭圆上一点，且 F1PF2=60求 PF1F2周长求 PF1F2面积【分析】 根据椭圆方程求得c，利用 PF1F2周长 L=2a+2c，即可得出结论；设出 |PF1|=t1，|PF2|

14、=t2，利用余弦定理可求得t1t2值，最后利用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页Fpg Fpg 三角形面积公式求解【解答】 解： a=5，b=3，c=4 PF1F2周长 L=2a+2c=18 ；设|PF1|=t1，|PF2|=t2，则由椭圆定义可得： t1+t2=10 在F1PF2中F1PF2=60，t12+t222t1t2?cos60=28，可得 t1t2=12，=3【点评】解决此类问题关键是熟练掌握椭圆标准方程、椭圆定义，熟练利用解三角形一个知识求解问题8 （2015 秋?揭阳月考）已知点（ 0，）是中心在原

15、点，长轴在x轴上椭圆一个顶点，离心率为，椭圆左右焦点分别为F1和F2（1）求椭圆方程；（2）点 M在椭圆上，求 MF1F2面积最大值；（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使?=0，若存在，请求出点 P坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）由题意设出椭圆标准方程，根据顶点坐标和离心率得b=，根据 a2=b2+c2求出 a 值，即求出椭圆标准方程；（2）根据（1）求出椭圆标准方程，求出点M纵坐标范围，即求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页Fpg Fpg 出三角形面积最大值；（3）先假设存在点 P满足条件，根据向量数

16、量积得?，根据椭圆焦距和椭圆定义列出两个方程， 求出 S值， 结合 （2）中三角形面积最大值，判断出是否存在点P【解答】 解： （1）由题意设椭圆标准方程为+=1，由已知得， b= （2 分）则 e2=1= ，解得 a2=6（4 分）所求椭圆方程为+=1（5 分）（2）令 M （x1，y1） ，则 S= |F1F2| ?|y1|=?2?|y1|=|y1| （7 分）点 M在椭圆上，y1，故|y1| 最大值为， （8 分）当 y1=时，S最大值为 （9 分）（3）假设存在一点 P，使?=0， ， ， （10 分）PF1F2为直角三角形， |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 （11分）

17、又|PF1|+|PF2|=2a=2（12分）2，得 2|PF1| ?|PF2|=20，|PF1| ?|PF2|=5 ， （13 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页Fpg Fpg 即 S=5，由（1）得 S最大值为，故矛盾，不存在一点 P，使?=0 （14 分）【点评】本题考查了椭圆方程求法以及椭圆性质、向量数量积几何意义，利用 a、b、c、e 几何意义和 a2=b2+c2求出 a 和 b 值，根据椭圆上点坐标范围求出相应三角形面积最值，即根据此范围判断点 P是否存在，此题综合性强，涉及知识多，考查了分析问题和

18、解决问题能力9 （2015 秋?葫芦岛校级月考）求满足下列条件椭圆标准方程（1）焦点分别为（ 0，2） ， （0，2） ，经过点（ 4，）（2）经过两点（ 2，） ， （）【分析】 （1）设出椭圆标准方程，代入点坐标，结合c=2，即可求得椭圆标准方程；（2）设出椭圆标准方程，代入点坐标，即可求得椭圆标准方程【解答】 解： （1）依题意，设所求椭圆方程为=1（ab0）因为点（ 4，3） ，在椭圆上，又 c=2，得，解得 a=6，b=4（ 10分）故所求椭圆方程是=1；（2）设椭圆方程为 mx2+ny2=1，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

19、-第 13 页，共 23 页Fpg Fpg 经过两点（ 2，） ， （） ，n= ，椭圆方程为=1【点评】本题考查椭圆标准方程，考查学生计算能力，属于基础题10 （2012 秋?西安期末）求满足下列条件椭圆方程：（1）长轴在 x 轴上，长轴长等于12，离心率等于；（2）椭圆经过点（ 6，0）和（0，8） ；（3）椭圆一个焦点到长轴两端点距离分别为10 和 4【分析】 （1）设椭圆方程为+=1（ab0） ，运用离心率公式和a，b，c 关系，解得 a，b，即可得到椭圆方程；（2）设椭圆方程为 mx2+ny2=1， （m ，n0） ，由题意代入点（ 6，0）和（0，8） ，解方程即可得到椭圆方程；（

20、3）讨论椭圆焦点位置，由题意可得ac=4，a+c=10，解方程可得 a，c，再由 a，b，c 关系解得 b，即可得到椭圆方程【解答】 解： （1）设椭圆方程为+=1（ab0） ，由题意可得， 2a=12，e= ，即有 a=6，= ，即有 c=4，b=2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页Fpg Fpg 即有椭圆方程为+=1；（2）设椭圆方程为 mx2+ny2=1， （m ，n0） ，由题意代入点（ 6，0）和（0，8） ，可得36m+0=1 ，且 0+64n=1，解得 m=，n=，即有椭圆方程为+=1；（3）当焦

21、点在 x 轴上时，可设椭圆方程为+=1（ab0） ，由题意可得 ac=4，a+c=10，解得 a=7，c=3，b=2，即有椭圆方程为+=1；同理，当焦点在 y 轴上时，可得椭圆方程为+=1即有椭圆方程为+=1 或+=1【点评】 本题考查椭圆方程和性质，主要考查椭圆方程求法，注意运用椭圆方程正确设法， 以及椭圆性质运用， 属于基础题11 （2010?宁夏）设 F1，F2分别是椭圆左、右焦点，过 F1斜率为 1 直线 ? 与 E相交于 A，B两点，且|AF2| ，|AB| ，|BF2| 成等差数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页

22、，共 23 页Fpg Fpg （1）求 E离心率；（2）设点 P（0，1）满足 |PA|=|PB| ，求 E方程【分析】（I ）根据椭圆定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a ，进而根据|AF2| ，|AB| ，|BF2| 成等差数表示出 |AB| ，进而可知直线l 方程，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出 x1+x2和 x1x2进而根据， 求得 a 和 b 关系，进而求得 a 和 c 关系，离心率可得（II ）设 AB中点为 N （x0，y0） ，根据（1）则可分别表示出 x0和 y0，根据|PA|=|PB| ，推知直线 P

23、N斜率，根据求得 c，进而求得 a 和 b，椭圆方程可得【 解 答 】 解 ：（ I ） 由 椭 圆 定 义 知 |AF2|+|BF2|+|AB|=4a ， 又2|AB|=|AF2|+|BF2| ，得，l 方程为 y=x+c，其中设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 A、B两点坐标满足方程组化简（ a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2b2）=0 则因为直线 AB斜率为 1，|AB|=|x1x2|=，得，故 a2=2b2所以 E离心率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页Fpg Fpg （II ）设 AB

24、中点为 N （x0，y0） ，由（I ）知，由|PA|=|PB| ，得 kPN=1，即得 c=3，从而故椭圆 E方程为【点评】本题主要考查圆锥曲线中椭圆性质以及直线与椭圆位置关系，涉及等差数列知识， 考查利用方程思想解决几何问题能力及运算能力12 （2014 春?广水市校级月考）已知椭圆+=1 弦 AB中点 M坐标为（ 2，1） ，求直线 AB方程，并求 AB长【分析】首先，根据椭圆对称轴，得到该直线斜率存在，设其方程为 y1=k（x2） ，然后联立方程组，利用一元二次方程根与系数关系，并且借助于中点坐标公式，确定斜率k 值，然后，利用两点间距离公式或弦长公式，求解AB长【解答】 解：当直线

25、AB斜率不存在时，不成立，故直线 AB斜率存在，设其方程为 y1=k（x2） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页Fpg Fpg 联立方程组，消去 y 并整理，得（1+4k2）x2+8k（12k）x+4（12k）216=0，x1+x2=，2k（2k1）=1+4k2，k=，直线 AB方程： x+2y4=0将 k= 代人（ 1+4k2）x2+8k（12k）x+4（12k）216=0，得 x24x=0，解得 x=0，x=4，A（0， ） ，B（4，） ，|AB|=AB长 2【点评】本题属于中档题， 重点考查了椭圆简单几

26、何性质、直线与椭圆位置关系、弦长公式、两点间距离公式等知识，属于高考热点和重点问题13 （2015?新课标）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m 0） ，直线 l 不过原点 O且不平行于坐标轴， l 与 C有两个交点 A，B，线段 AB中点为M （1）证明：直线 OM 斜率与 l 斜率乘积为定值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页Fpg Fpg （2）若 l 过点（，m ） ，延长线段 OM 与 C交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 斜率；若不能，说明理由【分析】 （1）联立直线方程和椭

27、圆方程，求出对应直线斜率即可得到结论（2） 四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB与线段 OP互相平分，即 xP=2xM，建立方程关系即可得到结论【解答】 解： （1）设直线 l ：y=kx+b， （k0，b0） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，M （xM，yM） ，将 y=kx+b 代入 9x2+y2=m2（m 0） ，得（k2+9）x2+2kbx+b2m2=0，则判别式 =4k2b24（k2+9） （b2m2）0，则 x1+x2=，则 xM=，yM=kxM+b=，于是直线 OM 斜率 kOM=，即 kOM?k=9，直线 OM 斜率与 l 斜率乘积为定值（2）四边形 OAP

28、B 能为平行四边形直线 l 过点（，m ） ，由判别式 =4k2b24（k2+9） （b2m2）0，即 k2m29b29m2，b=m m ，k2m29（m m ）29m2，即 k2k26k，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页Fpg Fpg 则 k0，l 不过原点且与 C有两个交点充要条件是k0，k3，由（1）知 OM 方程为 y=x，设 P横坐标为 xP，由得，即 xP=，将点（，m ）坐标代入 l 方程得 b=，即 l 方程为 y=kx+，将 y=x，代入 y=kx+，得 kx+=x 解得 xM=，四边形 OA

29、PB 为平行四边形当且仅当线段AB与线段 OP互相平分，即xP=2xM，于是=2，解得 k1=4或 k2=4+，ki0，ki3，i=1 ，2，当 l 斜率为 4或 4+时，四边形 OAPB 能为平行四边形【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线相交问题，联立方程组转化为一元二次方程， 利用根与系数之间关系是解决本题关键综合性较强，难度较大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页Fpg Fpg 14 （2013 秋?阜城县校级月考）已知椭圆4x2+y2=1及直线 y=x+m （1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m取值范围（2）

30、求被椭圆截得最长弦长度【分析】 （1）当直线与椭圆有公共点时，直线方程与椭圆方程构成方程组有解，等价于消掉y 后得到 x 二次方程有解，故0，解出即可；（2）设所截弦两端点为A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由（ 1）及韦达定理可把弦长 |AB| 表示为关于 m函数，根据函数表达式易求弦长最大值；【解答】 解： （1）由得：5x2+2mx+m21=0，当直线与椭圆有公共点时，=4m245（m21）0，即4m2+50，解得m ，所以实数 m取值范围是m ；（2）设所截弦两端点为A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由（1）知， x1+x2=，x1x2=，所以弦长|AB|=|x1x2|=?

31、=?=2，当 m=0时|AB| 最大，最大值为：【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系， 考查函数与方程思想，弦长公式、韦达定理是解决该类题目基础知识，应熟练掌握精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页Fpg Fpg 15 （2012秋?裕华区校级期中）已知椭圆方程为，试确定 m范围，使得椭圆上有不同两点关于直线y=4x+m对称【分析】根据对称性可知线段AB被直线 y=4x+m垂直平分， 从而可得直线 AB斜率 k=，直线 AB与椭圆有两个交点，且AB中点 M在直线 y=4x+m ， 可设直线 AB 方程为 y=， 联

32、立方程整理可得 13x28bx+16（b23）=0 可求中点 M ，由 =64b241316（b23）0 可求 b 范围，由中点 M在直线 y=4x+m可得 m ，b 关系，从而可求m范围【解答】 解：设椭圆上关于直线y=4x+m对称点 A（x1，y1） ，B （x2，y2） ，则根据对称性可知线段AB被直线 y=4x+m垂直平分可得直线 AB斜率 k=，直线 AB与椭圆有两个交点，且AB中点 M （x0，y0）在直线 y=4x+m ，故可设直线 AB 方程为 y=，整理可得 13x28bx+16（b23）=0，所以，由=64b241316（b23）0 可得，所以代入直线 y=4x+m可得 m=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页Fpg Fpg 所以，【点评】本题主要考查了直线与椭圆位置关系应用，解题关键是灵活应用已知中对称性设出直线方程，且由中点在y=4x+m上建立 m ，b 之间关系，还要注意方程根与系数关系应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页