2022年导数在研究函数性态中的作用 .pdf

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1、精品资料欢迎下载导数在研究函数性态中的作用-从一道考题看解题分析从一个高考题说起例（2010. 湖北文 21 改编） 设函数321( )32af xxxbxc，其中0a，曲线( )yfx 在点(0,(0)Pf处的切线方程为1y.（）确定,b c的值（） （略）（）若过点(0, 2)可作曲线( )yf x的三条不同切线，求a的取值范围 .问题 1 函数的切线方程如何求？问题 2 切线方程为1y的几何含义？题 1（2009.福建）若曲线3lnfxaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是. 问 题3 三 次 函 数 函 数 图 像 的 形 态 ？ 或 者 说 函 数32(0)yaxbxcxd

2、 a的图像与, , ,a b c d的关系如何？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页精品资料欢迎下载题 2 函数321( )2f xxx的图象大致是问题 4 过点(0, 2)可作曲线( )yf x的三条不同切线，是什么意思？如何下手呢？能不能转化为我们熟悉的情境？曲 线( )yf x的 三 条 不 同 切 线 都 过 点(0,2)， 也 就 是 方 程2( )( )(0)f tftt有三个相异实根，也即方程3221032att有三个相异实根 . x y O （ A）（B）（C）（D）x y O x y O x y O

3、1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页精品资料欢迎下载至此，令322( )132ag ttt， 上述条件等价于g t的图像与t轴有三个交点 . 注意到，三次函数只有两种形态：一是没有极值点，一是有两个极值点 . 于是，这个三次函数的图像应该是：先单调上升经过t轴到达极大值，再单调下降经过t轴到达极小值，而后单调上升第三次经过t轴.这样问题就转化为0,0极小极大tgtg. 2( )22 ()2ag ttatt t，由于0a，故有t,00 0,2a2a,2ag t+ 0 + g t增极大值 1 减极小值3124a增要使(

4、 )0g t有三个相异实根. 须且只需0,0极小极大tgtg. 也即31224aag，从而a的范围由31024a，得到323a. 数学素养的一个重要体现就是对不同数学语言之间关系的自觉的转换， 能有借助数学的符号系统进行思考，这就是所谓地“数学地思考问题” . 高考中题目难度体现之一就是数学语言的抽象，或者考生对数学符号语言的描述不能“数学地思考问题”，不精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页精品资料欢迎下载能很好地转换视角 . 拓展变式 1：已知函数323,fxaxbxx a bR 在点 1,1f处的切线方程为20y求函数 fx 的解析式；若对于区间2,2 上任意两个自变量的值12,x x都有12fxfxc ，求实数 c 的最小值；若过点2,2Mmm可作曲线 yfx 的三条切线， 求实数m的取值范围拓展变式 2（2007 年全国卷理22 题）已知函数3( )f xxx（）求曲线( )yf x在点( ,( )M t f t处的切线方程；（）设0a，如果过点( , )a b可作曲线( )yf x的三条切线，证明：( )abf a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页