2021_2021学年高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课时素养评价含解析新人教A版必修.doc

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1、向量数乘运算及其几何意义 (20分钟35分)1.(2020梅州高一检测)已知m,n是实数,a,b是向量,则下列结论中正确的为()m(a-b)=ma-mb;(m-n)a=ma-na;若ma=mb,则a=b;若ma=na,则m=n.A.B.C.D.【解析】选B.由向量数乘的运算律可知正确;中,若m=0,则不能推出a=b,错误;中,若a=0,则m,n不一定相等,错误.2.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则=()A.(+),(0,1)B.(+),C.(-),(0,1)D.(-),【解析】选A.设P是对角线AC上的一点(不含A,C),设=,则(0,1),于是=(+),(

2、0,1).3.已知向量a,b,若=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D【解析】选A.因为+=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2(a+2b)=2,即=2,所以.又因为,有公共点B,所以A,B,D三点共线.4.在ABC中,点D在CB的延长线上,且=4=r-s,则s+r=()A.0B.C.D.3【解析】选C. 由题意得,=4,所以=,因为=-,所以=(-)=-,所以r=s=,所以s+r=.【补偿练习】 如图所示,向量,的终点A,B,C在一条直线上,且=-3.设=p,=q,=r,则以下等式中成立的是()A.r=-p

3、+qB.r=-p+2qC.r=p-qD.r=-q+2p【解析】选A.因为=+,=-=3,所以=,所以=+=+(-).所以r=q+(r-p),所以r=-p+q.5.(2020保定高一检测)已知e1,e2是两个不共线的向量,而a=k2e1+e2与b=2e1+3e2是两个共线向量,则实数k=.【解析】由题设知=,所以3k2+5k-2=0,解得k=-2或.答案:-2或6.设两个不共线的向量e1、e2,若向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数,使向量d=a+b与向量c共线?【解析】因为d=(2e1-3e2)+(2e1+3e2)=(2+2)e1+(3-3)

4、e2,要使d与c共线,则存在实数k使d=kc,即:(2+2)e1+(-3+3)e2=2ke1-9ke2.由得=-2,故存在这样的实数和,只要=-2,就能使d与c共线. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,其中a,b不共线,则四边形ABCD为()A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形【解析】选A.=a+2b,=-5a-3b,因为a与b不共线,所以与不共线.所以AB与CD不平行.又=+=-8a-2b,显然=2.所以ADBC.所以四边形ABCD为梯形.2.已知ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,满足+=,则点P与

5、ABC的关系为()A. P在ABC内部B. P在ABC外部C. P在AB边所在直线上D. P是AC边的三等分点【解析】选D.因为=-,所以+=-,即2+=0,即=2,故=,所以P是AC边的一个三等分点.3.已知a,b是不共线的向量,=a+b,=2a-b,=a-2b,若A,B,C三点共线,则,满足()A.=-3B.=+3C.=+2D.=-2【解析】选B.由A,B,C三点共线,得=t+(1-t)=(1+t)a+(t-2)b,因为a,b是不共线的向量,所以=t+1,=t-2,所以=+3.4.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+,(0,+),则P点的轨迹所在直线一定通过A

6、BC的()A.外心B. 内心C. 重心D. 垂心【解析】选C.设BC中点为M,则=,则有=+,即=,即点A,P,M共线,所以P点的轨迹所在直线一定通过ABC的重心.5.已知ABC和点M,且有+ +=0.若存在实数m使得+=m成立,则m=()A.2B.3C.4D.5【解析】选B.如图,在ABC中,以BM,CM为邻边作平行四边形MBDC,依据平行四边形法则可得+=,又+=0,则=,两向量有公共点M,则A,M,D三点共线,设BCMD=E,结合MD是平行四边形MBDC的对角线可知,AE是ABC的中线,同理可证BM,CM也是ABC的中线,即M是ABC的重心.以AB,AC为邻边作平行四边形ABFC,依据向

7、量加法的平行四边形法则可得+=2=2=3,则+=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若5+3=0,且|=|,则四边形ABCD的形状为.【解析】由于5+3=0知,且|,所以此四边形为梯形.又|=|,所以梯形ABCD为等腰梯形.答案:等腰梯形7.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则=.【解析】因为-3+2=0,所以-=2(-),所以=2,所以=2.答案:28.如图,在ABC中,延长CB到D,使BD=BC,当点E在线段AD上移动时,若=+,则t=-的最大值是.【解析】设=k,0k1,则=k(+2)=k+2(-)=2k -k,因为=+,所以所以t=-=3k.又0k1,所以当k

8、=1时,t取最大值3.故t=-的最大值为3.答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)9.过ABC的重心G任作一条直线分别交AB,AC于点D,E,若=x,=y且xy0,试求+的值.【解析】如图,设=a,=b,则=(a+b).所以=-=a-b.=-=xa-yb.因为与共线,所以=,即a-b=xa-yb,所以消去得=,即+=3.10.已知O,A,M,B为平面上四点,且=+(1-) (R,0且1).(1)求证:A,B,M三点共线.(2)若点B在线段AM上,求实数的取值范围.【解析】(1)因为=+(1-) ,所以=+-,-=-,所以= (R,0且1).又与有公共点A,所以A,B,M三点共线.(2)由

9、(1)知=,若点B在线段AM上,则与同向且| |(如图所示).所以1.1.如图所示,两射线OA与OB交于O,则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界)()+2;+;+;+.A.B. C.D.【解析】选A.依题意,在题图中的阴影区域内任取点E,连接OE交AB于点F,则有=x+(1-x) =x+(1-x),其中0x1,注意到x+(1-x)=1;注意到1+2=31,+=1,+=1,+=1.2.如图所示,点O是梯形ABCD对角线的交点,|=4,|=6,|=2.设与同向的单位向量为a0,与同向的单位向量为b0.(1)用a0和b0表 示,和.(2)若点P在梯形ABCD所在的平面上运动,且|=2,求|的最大值和最小值.【解析】(1)由题意知=6a0,=2b0,所以=-=6a0- 2b0;因为,所以=4a0,则=+=2b0-6a0+4a0=2b0-2a0;因为ADBC,所以|OA|OC|=|AD|BC|=23,则=-=-(6a0-2b0)=-a0+b0.(2)知点P是在以点C为圆心,2为半径的圆周上运动,所以由几何意义即得|的最大值和最小值分别为8和4.