2022版高考数学一轮复习第八章立体几何8.5空间向量及其运算练习苏教版.doc

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1、8.5 空间向量及其运算考点一空间向量的线性运算1.在空间四边形ABCD中,若=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为()A.(2,3,3)B.(-2,-3,-3) C.(5,-2,1)D.(-5,2,-1)2.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是_.3.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.用,表示,则=_.4.如图所示,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别为OA,BC的中点,点G在线段MN上,且=2,若=x+y+z,

2、则x,y,z的值分别为_.【解析】1.选B.因为点E,F分别为线段BC,AD的中点,设O为坐标原点,所以=-,=(+),=(+).所以=(+)-(+)=(+)=(3,-5,-2)+(-7,-1,-4)=(-4,-6,-6)=(-2,-3,-3).2.设M(0,y,0),则=(1,-y,2),=(1,-3-y,1),由题意知|=|,所以12+y2+22=12+(-3-y)2+12,解得y=-1,故M(0,-1,0).答案:(0,-1,0)3.因为=(+),所以=+=(+)+=+.答案:+4.因为=+=+=+( -)=+-= +(+)- =+ +,所以x,y,z的值分别为,.答案:,(1)选定空间

3、不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求.(2)解题时应结合已知和所求观察图形,正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,灵活运用三角形法则及四边形法则,就近表示所需向量.考点二共线向量定理、共面向量定理及其应用【典例】1.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若向量a,b,c共面,则实数等于()A.B.C.D.2.如图,已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GMGA=13.求证:B,G,N三点共线.【解题导思】序号联想解题1因为a,b,c共面,想到c=xa+yb,列出方程组可

4、求参数值.2要证B,G,N三点共线,只要证=即可,想到选择恰当的基向量分别表示和. 【解析】1.选D.因为向量a,b,c共面,所以由共面向量基本定理,存在惟一有序实数对(x,y),使得xa+yb=c,所以,解方程组得=.2.设=a,=b,=c,则=+=+ =-a+(a+b+c)=-a +b +c,=+=+(+)=-a+b+c=.所以,即B,G,N三点共线.证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P,A,B)共线空间四点(M,P,A,B)共面=且同过点P=x+y对空间任一点O,=+t对空间任一点O,=+x+y1.e1,e2是平面内不共线两向量,已知=e1-ke2,=2e1+e2,=3e1-e2

5、,若A,B,D三点共线,则k的值是()A.2B.-3C.-2D.3【解析】选A.=-=e1-2e2,又A,B,D三点共线,设=,所以,所以k=2.2.如图,已知平行六面体ABCD-ABCD,E,F,G,H分别是棱AD,DC,CC和AB的中点,求证E,F,G,H四点共面.【证明】取=a,=b,=c,则=+=b-a+2a+( + )=b+a+(b-a-c-a)=b-c,所以与b,c共面.即E,F,G,H四点共面.考点三空间向量的数量积及其应用 命题精解读考什么:(1)考查空间向量的数量积运算、利用数量积求线段长度、夹角大小以及证明垂直问题.(2)考查直观想象与数学运算的核心素养.怎么考:常见命题方

6、向:证明线线垂直,求空间角.新趋势:以柱、锥、台体为载体,利用空间向量的数量积运算解决求值问题.学霸好方法1.(1)利用数量积解决问题的两条途径 :一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算;二是利用坐标运算.(2)利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题.a0,b0,abab=0;|a|=;cos=2.交汇问题:与立体几何知识联系,考查证明垂直,求空间角等问题. 空间向量的数量积运算【典例】1.在棱长为1的正四面体ABCD中,E是BC的中点,则=()A.0B.C.-D.-2.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2)且ka+b与2a-b互相垂直,则k=_.【解析】1.选D.= =-.2

7、.由题意得,ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2).所以(ka+b)(2a-b)= 3(k-1)+2k-22=5k-7=0,解得k=.答案:空间向量数量积计算有两种方法:基向量法与坐标法,在具体题目中我们如何选择使用哪种方法?提示:只要能建系写坐标的题目,尽量使用坐标法.数量积的应用【典例】已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以,为边的平行四边形的面积.(2)若|a|=,且a分别与,垂直,求向量a的坐标.【解析】(1)由题意可得:=(-2,-1,3),=(1,-3,2),所以cos=,所以sin=,所以以,为边的平行四边形的面积为S=

8、2|sin=14=7.(2)设a=(x,y,z),由题意得解得或所以向量a的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1).空间向量数量积的基本应用有哪些?提示:(1)求角.(2)求线段长.(3)证明垂直.1.在RtABC中, C=90,AC=4,则等于()A.-16 B.-8 C.8 D.16【解析】选D.=(-)(-)=-+ =16.2.如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60.(1)求AC1的长.(2)求证:AC1BD.(3)求BD1与AC夹角的余弦值.【解析】(1)记=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,=

9、60,所以ab=bc=ca=.|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=1+1+1+2=6,所以|=,即AC1的长为.(2)因为=a+b+c,=b-a,所以=(a+b+c)(b-a)=ab+b2+bc-a2-ab-ac=bc-ac=|b|c|cos 60-|a|c|cos 60=0.所以,所以AC1BD.(3)=b+c-a,=a+b,所以|=,|=,=(b+c-a)(a+b)=b2-a2+ac+bc=1.所以cos =.所以AC与BD1夹角的余弦值为.1.如图,在ABC中,ADAB,=,|=1,则= _.【解析】由题干图可得:=(+)=+=0+=(+)=|2=.答案:2.如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,ACD=90,把ADC沿对角线AC折起,使AB与CD成60角,求BD的长.【解析】因为AB与CD成60角,所以=60或120,又因为AB=AC=CD=1,ACCD,ACAB,所以| |= = ,所以|=2或,所以BD的长为2或.