全国通用2017版高考数学一轮复习第八章立体几何第7讲立体几何中的向量方法二__求空间角练习理新人教A版.doc

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1、第八章 立体几何 第7讲 立体几何中的向量方法(二)求空间角练习 理 新人教A版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016秦皇岛模拟)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，E(1，0，1)，D1(0，0，2).所以(0，1，1)，(0，1，2)，所以cos，.答案C2.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且1，N为B1B的中点，则|为()A.a

2、 B.a C.a D.a解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A( a，0，0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，点M在AC1上且1，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.得M，| a.答案A3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B. C. D.解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，(0，1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，所以有即解得n1(1，2，2).平面ABCD的一个法向量为n

3、2(0，0，1)， cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.答案B4.在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且 SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是()A.30 B.45 C.60 D.90解析如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa.则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(a，0，0)，P.则(2a，0，0)，(a，a，0)，设平面PAC的一个法向量为n，设n(x，y，z)，则解得可取n(0，1，1)，则 cos，n，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案A5.设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2

4、，则点D1到平面A1BD的距离是()A. B. C. D.解析如图建立坐标系.则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，设平面A1BD的法向量n(x，y，z)，则令z1，得n(1，1，1).D1到平面A1BD的距离d.答案D二、填空题6.(2016郑州模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_.解析以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设n(x，y，z)为平面A1BC1的法向量.则n0，n0，即令z2，则y1，x2，于是n(2，1，2)，(0，2，

5、0)设所求线面角为，则sin | cosn，|.答案7.正ABC与正BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为_.解析取BC中点O，连接AO，DO.建立如图所示坐标系，设BC1，则A，B，D.，.设平面ABD的法向量为n(x0，y0，z0)，则n0，且n0，z00，且x00，因此取x01，得平面ABD的一个法向量n(1，1)，由于为平面BCD的一个法向量， cosn， sinn，.答案 8.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_.解析以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立

6、空间直角坐标系.设ABBCAA12，则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，则(0，1，1)，(2，0，2)，2，cos，EF和BC1所成的角为60.答案60三、解答题9.(2015安徽卷)如图所示，在多面体A1B1D1DCBA，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.(1)证明：EFB1C.(2)求二面角EA1DB1的余弦值.(1)证明由正方形的性质可知A1B1ABDC，且A1B1ABDC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1CA1D，又A1D面A1DE，B1C面A1DE，于是B1C面A1DE.又B

7、1C面B1CD1.面A1DE面B1CD1EF，所以EFB1C.(2)解因为四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，所以AA1AB，AA1AD，ABAD且AA1ABAD.以A为原点，分别以，为x轴，y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，而E点为B1D1的中点，所以E点的坐标为.设面A1DE的法向量n1(r1，s1，t1)，而该面上向量，(0，1，1)，由n1.n1得r1，s1，t1应满足的方程组(1，1，1)为其一组解，所以可取n1(1，1，1)

8、.设面A1B1CD的法向量n2(r2，s2，t2)，而该面上向量(1，0，0)，(0，1，1)，由此同理可得n2(0，1，1).所以结合图形知二面角EA1DB1的余弦值为.10.如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC平面BCDE，CDEBED90，ABCD2，DEBE1，AC.(1)证明：DE平面ACD；(2)求二面角BADE的大小.(1)证明在直角梯形BCDE中，由DEBE1，CD2，得BDBC，由AC，AB2，得AB2AC2BC2，即ACBC，又平面ABC平面BCDE，平面ABC平面BCDEBC，AC平面ABC，从而AC平面BCDE，又DE平面BCDE，所以ACDE.又DEDC，DCACC

9、，从而DE平面ACD.(2)解以D为原点，分别以射线DE，DC为x轴，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示.由题意知各点坐标如下：D(0，0，0)，E(1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，2，)，B(1，1，0).设平面ADE的法向量为m(x1，y1，z1), 平面ABD的法向量为n(x2，y2，z2)，可算得(0，2，)，(1，2，)，(1，1，0)，由即可取m(0，1，).由即可取n (1，1，).于是|cosm，n|，由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角BADE的大小是.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2016西安质检)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱

10、ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B. C. D.解析不妨令CB1，则CACC12，可得O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，(0，2，1)，(2，2，1)，cos，0.与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.答案A12.在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，ABAC1，PA2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为()A. B. C. D.解析以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴

11、，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由ABAC1，PA2，得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，D，E，F.(0，0，2)，.设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，则由得取z1，则n(2，0，1)，设直线PA与平面DEF所成的角为，则sin ，直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.答案C13.如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为_.解析，|2.| cos，24. cos，.又所求二面角与，互补，所求的二面角为60 .答案60 14.(2015

12、广东卷)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF2FB，CG2GB.(1)证明：PEFG；(2)求二面角PADC的正切值；(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.解在PCD中，E为CD的中点，且PCPD，PECD.又平面PCD平面ABCD，且平面PCD平面ABCDCD，PE平面PCD，PE平面ABCD，取AB的中点H，连接EH，四边形ABCD是长方形，则EHCD，如图所示，以E为原点，EH，EC，EP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，PDPC4，AB6，BC3，AF2FB，CG2GB，E(0，0，0)，P(0，0，)，F(3，1，0)，G(2，3，0)，A(3，3，0)，D(0，3，0)，C(0，3，0).(1)证明(0，0，)，(1，2，0)，且(0，0，)(1，2，0)0，即EPFG.(2)PE平面ABCD，平面ABCD的法向量为(0，0，).设平面ADP的一个法向量为n(x1，y1，z1)，(3，3，)，(0，3，)，由于即令z13，则x10，y1，n(0，3).由图可知二面角PADC是锐角，设为，则cos ，sin ，tan .(3)(3，3，)，(1，2，0)，设直线PA与直线FG所成角为，则cos ，直线PA与FG所成角的余弦值为.9