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1、2.3 幂 函 数一、幂函数的概念1、幂函数的概念:一般地,函数f(x)叫做幂函数,其中x是自变量, 是常数。注意:(1)系数为1;(2)底数是自变量x;(3)指数为常数。例1:判断下列函数哪些是幂函数:y4x yx4 y4x yyx y y(21)x (且1)【解析】:(2)(3)(5)例2:已知幂函数f(x)的图象经过点(2,),则f(4)的值为()A:16 B: C: D:2【解析】:C变式练习:幂函数f(x)的图象过点(4,),且f(x)8,则x( )A: B:64 C: D:【解析】:D2、幂函数的图象在同一平面直角坐标系内的幂函数f(x) 当3,2,1,1,2的图象幂函数在第一象限
2、的图象特征:(1)1,图象过(0,0),(1,1),下凸递增。(2)01,图象过(0,0),(1,1),上凸递增。(3)0,图象过点(1,1),下凸递减,且向两坐标轴无限逼近。例3:指出下列函数的定义域、值域、奇偶性、单调性。(1)f(x) (2)g(x) (3)h(x) (4)r(x)变式练习:函数g(x)的定义域为( )A:(,) B:(,0)(0,) C:(,0) D:(0,)【解析】:B例4:比较下列各组数的大小(1) , (2),【解析】: 变式练习1:实数,的大小关系用“”顺次连接是_。【解析】: 变式练习2:设(1,0),则下列不等式中正确的是( )A: B: C: D:【解析】
3、:B 例5:当x(1,)时,幂函数y的图象恒在yx的下方,则的取值范围是( )A:01 B:1 C:0 D:0【解析】:B变式练习1:函数f(x)(nN,n2)的图象只可能是( )【解析】:C变式练习2:幂函数y,y,y的图象如下图所示,则( )A:mnp B:mpn C:npm D:pnm【解析】:A变式练习3:幂函数y(m、nN,且m、n互质)的图象如下图所示则( )A:m为奇数,n为偶数,1B:m、n均为奇数,1C:m为奇数,n为偶数,1D:m为偶数,n为奇数,1【解析】:A例6:已知幂函数f(x) (mN)(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;(2)若该函数还经
4、过点(2,),试确定m的值,并求满足条件f(2)f(1)的实数的取值范围。【解析】:(1)m2mm(m1),则m与(m1)中必有一个为偶数,则m2m为偶数,故定义域,在定义域内为增函数;(2)若该函数还经过点(2,),则m2m2 ,m1 或m2,mN,m1,f(x),函数f(x)在是增函数,故 1变式练习1:已知函数f(x) (mN)的图象关于y轴对称,且在(0,)上函数值随x的增大而减小,求满足的的范围。【解析】:函数f(x) 在(0,)减函数,故3m90,m3,mN,m可取1、2、3,又因为f(x)偶函数,故m1;,则。则(1)(32)0或(32)(1)0,得或1课 后 综 合 练 习1、
5、下列函数中,是幂函数的是( )A:B:C:D:【解析】:D2、在函数y,y3x3,yx22x,yx1,yx2中,幂函数有 ( )A:1个 B:2个 C:3个 D:4个【解析】:B3、若幂函数在第一象限内的图象如图所示,则的取值可能为 ()A:1 B:2 C:3 D:【解析】:D4、幂函数 在第一象限的图象如图所示,则,b,c,d 的大小关系是 ( ) A:bcd B:dbc C:dcb D:bcd【解析】:D5、已知幂函数yf(x)的图象经过点(2,),则f(4)的值为 ( )A:16 B:2 C: D:【解析】:C6、函数的图象是 ( )A: B: C: D:【解析】:A7、函数和图象满足
6、( )A:关于原点对称 B:关于轴对称 C:关于轴对称 D:关于直线对称【解析】:D8、 函数,满足( )A:是奇函数、减函数 B:是偶函数、增函数 C:是奇函数、增函数 D:是偶函数、减函数【解析】:C9、写出下列函数的定义域,判断其奇偶性 (1)的定义域_,奇偶性为_(2)的定义域 _,奇偶性为_(3)的定义域_,奇偶性为_ (4)的定义域_,奇偶性为_ (5)的定义域_,奇偶性为_ 【解析】:(1)R 偶 (2)R 奇 (3) 非 (4)R 奇 (5)x0 奇10、设,如果f(x)是正比例函数,则m_,如果f(x)是反比例函数,则m_,如果f(x)是幂函数,则m_。【解析】: 1 211
7、、若一个幂函数的图象过点,则的解析式为_。【解析】:12、比较下列各组数的大小(1) (2) (3)【解析】: 13、已知函数在区间上是增函数,求实数的取值范围为 。【解析】:m14、已知函数f(x)是幂函数,求实数的值为 。【解析】:m0或m115、已知幂函数f(x) (pN)的图象关于y轴对称,且在(0,)上是减函数,求满足 的 的取值范围。【解析】:p30,p3,函数是偶函数,则p1,(1)(32),416、已知幂函数f(x)在(0,)上是增函数,函数g(x)。求(1)求实数m的值;(2)当x1,2时,设f(x)的值域为A,g(x)的值域为B,若ABA,求实数k的取值范围。【解析】:(m1)21,则m2或m0,函数在(0,)上是增函数,故m0。(2)由(1)当x1,2时f(x) 1,4,而g(x) 2k,4k,ABA,故BA,则则0k16