2022年高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差课时提升作业（十六）新人教A版选修2-3.doc

《2022年高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差课时提升作业（十六）新人教A版选修2-3.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差课时提升作业（十六）新人教A版选修2-3.doc（10页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、课时提升作业(十六)离散型随机变量的方差一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014广州高二检测)在某电视台举办的“麦霸”歌手大奖赛上,五位歌手的分数如下:9.4,9.4,9.6,9.4,9.7,则五位歌手得分的期望与方差分别为()A.9.4,0.484B.9.4,0.016C.9.5,0.04D.9.5,0.016【解题指南】先求出五位歌手的平均得分,得到五位歌手得分的期望;再由方差计算公式求解五位歌手得分的方差.【解析】选D.五位歌手得分的期望=(9.4+9.4+9.6+9.4+9.7)=9.5.五位歌手得分的方差=(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2+(9

2、.4-9.5)2+(9.7-9.5)2=0.016.2.某厂一批产品的合格率是98%,检验单位从中有放回地随机抽取10件,则计算抽出的10件产品中正品数的方差是()A.0.89B.0.121C.0.169D.0.196【解析】选D.用X表示抽得的正品数,由于是有放回地随机抽取,所以X服从二项分布B(10,0.98),所以方差D(X)=100.980.02=0.196.3.设服从二项分布B(n,p)的随机变量X的期望和方差分别是2.4与1.44,则二项分布的参数n,p的值为()A.n=4,p=0.6B.n=6,p=0.4C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.1【解析】选B.XB(n,p),

3、则E(X)=np.D(X)=np(1-p).即np=2.4,np(1-p)=1.44,则解出p=0.4,n=6,故选B.4.(2014石家庄高二检测)已知随机变量的分布列如表,则随机变量的方差D()的最大值为()012Py0.4xA.0.72B.0.6C.0.24D.0.48【解题指南】根据三个变量对应的概率之和是1,写出y与x之间的关系,写出变量的期望和变量平方的期望,写出方差的表示式,表示式是一个关于x的二次函数,根据二次函数求最值可得答案.【解析】选B.由题意知y=0.6-x,因为E()=0.4+2x,所以E(2)=0.4+4x,D()=E(2)-(E()2=0.4+4x-(0.4+2x

4、)2=-4x2+2.4x+0.24,当x=0.3时,D()max=0.6.故选B.5.设一随机试验的结果只有A和,且P(A)=m,令随机变量X=则X的方差D(X)=()A.mB.2m(1-m)C.1-mD.m(1-m)【解题指南】根据随机试验的结果只有A和,P(A)=m,随机变量X=得到随机变量符合两点分布,根据两点分布的方差公式得到结果.【解析】选D.因为由题意知一随机试验的结果只有A和,且P(A)=m,随机变量X=所以X服从两点分布,所以D(X)=m(1-m).故选D.6.(2014大连高二检测)2014年元旦联欢会上有四位同学分别写了一张贺年卡,先集中起来,然后每人任意去拿一张,记自己拿

5、到自己写的贺年卡的人数为X,则随机变量X的方差D(X)为()A.3B.2C.1D.【解题指南】由题意可得:X可能取到的数值为0,1,2,4,分别计算出其发生的概率,进而可得X的分布列.根据X的分布列与期望、方差的公式可得答案.【解析】选C.由题意可得:X可能取到的数值为0,1,2,4.四张贺卡四人来取,总的取法有4321=24种,四人所抽取的都不是自己所写的贺卡的种数为3(111+211)=9,四人所抽取的都不是自己所写的贺卡的概率是=,所以P(X=0)=,同理P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=4)=.所有X的分布列为:X0124P由表可得:E()=0+1+2+4=1,所以D()=(1-

6、0)2+(1-1)2+(1-2)2+(1-4)2=1.故选C.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2013上海高考)设非零常数d是等差数列x1,x2,x3,x19的公差,随机变量等可能地取值x1,x2,x3,x19,则方差D()=.【解析】E()=x10,D()=(92+82+12+02+12+92)=30d2.答案:30d28.已知随机变量X的分布列如下表所示:X-102Pabc若E(X)=0,D(X)=1,则abc=.【解题指南】根据所给的离散型随机变量的分布列,利用三个概率之和等于1,期望值和方差,得到三个方程,解方程组求出a,b,c,即可求出abc的值.【解析】由分布列得a+b+c

7、=1,由期望E(X)=0得-a+2c=0,由D(X)=1得a(-1-0)2+b(0-0)2+c(2-0)2=1,即a+4c=1,由得a=,b=,c=,所以abc=.答案:9.(2014扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验,当p=时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为.【解析】由独立重复试验的方差公式可以得到D()=np(1-p)n=,等号在p=q=时成立,所以D()max=100=25,=5.答案:5三、解答题(每小题10分,共20分)10.某学校为高二年级开展第二外语选修课,要求每位同学最多可以选报两门课程.已知有75%的同学选报法语课,有60%的同学选报日语课

8、.假设每个人对课程的选报是相互独立的,且各人的选报相互之间没有影响.(1)任选1名同学,求其选报过第二外语的概率.(2)任选3名同学,记为3人中选报过第二外语的人数,求的分布列、期望和方差.【解析】设事件A:选报法语课;事件B:选报日语课.由题设知,事件A与B相互独立,且P(A)=0.75,P(B)=0.6.(1)方法一:任选1名同学,该同学一门课程都没选报的概率是P1=P()=P()P()=0.250.4=0.1.所以该人选报过第二外语的概率是P2=1-P1=1-0.1=0.9.方法二:任选1名同学,该同学只选报一门课程的概率是P3=P(A)+P(B)=0.750.4+0.250.6=0.4

9、5,该人选报两门课程的概率是P4=P(AB)=0.750.6=0.45.所以该同学选报过第二外语的概率是P5=P3+P4=0.45+0.45=0.9.(2)因为每个人的选报是相互独立的,所以3人中选报过第二外语的人数服从二项分布B(3,0.9),P(=k)=0.9k0.13-k,k=0,1,2,3,即的分布列是0123P0.0010.0270.2430.729的期望是E()=10.027+20.243+30.729=2.7(或的期望是E()=30.9=2.7),的方差是D()=30.9(1-0.9)=0.27.【变式训练】把4个球随机地投入4个盒子中去,设表示空盒子的个数,求E(),D().【

10、解析】每个球投入到每个盒子的可能性是相等的.总的投球方法数为44,空盒子的个数可能为0个,此时投球方法数为=4!,所以P(=0)=;空盒子的个数为1时,此时投球方法数为,所以P(=1)=.同样可分析P(=2)=,P(=3)=.所以的分布列为0123P所以E()=,D()=.11.(2014惠州高二检测)一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球.(1)采取放回抽样方式,从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率.(2)采取不放回抽样方式,从中摸出两个球,求摸得白球的个数的期望和方差.【解析】(1)“有放回摸球”可看作独立重复试验,因为每次摸出一球得白球的概率为p=.所以“有放回摸两次,颜色不同”

11、的概率为=.(2)设摸得白球的个数为,依题意得:P(=0)=,P(=1)=+=,P(=2)=,所以E()=0+1+2=,D()=+=.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014烟台高二检测)设导弹发射的事故率为0.01,若发射10次,其出事故的次数为,则下列结论正确的是()A.E()=0.1B.D()=0.1C.P(=k)=0.01k0.9910-kD.P(=k)=0.99k0.0110-k【解析】选A.由题意知本题是在相同的条件下发生的试验,发射的事故率都为0.01,故本题符合独立重复试验,即B(10,0.01),所以E()=100.01=0.1.故选A.2.设10x1x2x3D(2)

12、B.D(1)=D(2)C.D(1)D(2).3.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,则D(6X+5)等于()A.9B.4C.29D.24【解题指南】由P(X=k)=,k=1,2,3,知E(X)=(1+2+3)=2,由此求出D(X).然后由D(6X+5)=36D(X),能求出最终结果.【解析】选D.因为P(X=k)=,k=1,2,3,所以E(X)=(1+2+3)=2,D(X)=(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2=.所以D(6X+5)=36D(X)=24.故选D.【变式训练】设随机变量满足E()=-1,D()=3,则E3(2-2)=()A.9B.6C.30D.36【解题指

13、南】利用D()=E(2)-(E()2,E(k)=kE(),E(X+Y)=E(X)+E(Y),结合条件,即可求得E3(2-2)的值.【解析】选B.因为D()=E(2)-(E()2,E()=-1,D()=3,所以E(2)=3+(-1)2=4.再由性质:E(k)=kE(),E(X+Y)=E(X)+E(Y)得E3(2-2)=3E(2-2)=3E(2)+E(-2)=3(4-2)=6.故选B.4.(2014承德高二检测)某种种子每粒发芽的概率是90%,现播种该种子1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望与方差分别是()A.100,90B.100,180C.200

14、,180D.200,360【解题指南】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒,即不发芽率为0.1,故没有发芽的种子数服从二项分布,即B(1000,0.1).又没发芽的补种2个,故补种的种子数记为X=2,根据二项分布的期望公式、方差公式,即可求出结果.【解析】选D.由题意可知播种了1000粒,没有发芽的种子数服从二项分布,即B(1000,0.1).而每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,故X=2,则E(X)=2E()=210000.1=200,故方差为D(X)=D(2)=22D()=4npq=410000.10.9=360.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(20

15、14哈尔滨高二检测)已知随机变量所有的取值为1,2,3,对应的概率依次为p1,p2,p1,若随机变量的方差D()=,则p1+p2的值是.【解析】由分布列的性质可得2p1+p2=1,(*)由数学期望的计算公式可得E()=1p1+2p2+3p1=2(2p1+p2)=2.由方差的计算公式可得D()=(1-2)2p1+(2-2)2p2+(3-2)2p1=2p1=,解得p1=.把p1=代入(*)得2+p2=1,解得p2=.所以p1+p2=+=.答案:6.某班从5名班干部(其中男生3人,女生2人)中选3人参加学校学生会的干部竞选.设所选3人中女生人数为,则随机变量的方差D()=.【解题指南】的所有可能取值

16、为0,1,2,再根据题意分别求出其概率即可得到其分布列,进而求出其期望和方差.【解析】的所有可能取值为0,1,2,所以依题意得:P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,所以的分布列为012P所以E()=0+1+2=.D()=+=.答案:三、解答题(每小题13分,共26分)7.有A,B两种钢筋,从中取等量样品检查它们的抗拉强度,指标如下:A110120125130135P0.10.20.40.10.2B100115125130145P0.10.20.40.10.2其中A,B分别表示A,B两种钢筋的抗拉强度.在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120,试比较A,B两种钢筋哪一种质量较好.【解析】先比

17、较A与B的期望值,因为E(A)=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125,E(B)=1000.1+1150.2+1250.4+1300.1+1450.2=125.所以,它们的期望相同.再比较它们的方差.因为D(A)=(110-125)20.1+(120-125)20.2+(130-125)20.1+(135-125)20.2=50,D(B)=(100-125)20.1+(115-125)20.2+(130-125)20.1+(145-125)20.2=165.所以,D(A)D(B).因此,A种钢筋质量较好.8.(2013浙江高考)设袋子中装有a个红球,b个黄

18、球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量为取出此2球所得分数之和,求的分布列.(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量为取出此球所得分数.若E()=,D()=,求abc.【解题指南】(1)在分析取到两球的颜色时,要注意是有放回地抽取,即同一个球可能两次都能抽到.(2)根据计算数学期望与方差的公式计算,寻找a,b,c之间的关系.【解析】(1)由题意得,=2,3,4,5,6,故P(=2)=,P(=3)=,P(=4)=,P(=5)=,P(=6)=,所以的分布列为23456P(2)由题意知的分布列为123P所以E()=+=,D()=+=,化简得解得a=3c,b=2c,所以abc=321.- 10 -