【课堂新坐标】2021年高考数学二轮热点专题突破讲练 第十九讲 概率、随机变量及其分布列 理（含解析）.doc

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1、第十九讲概率、随机变量及其分布列1(古典概型)(2013课标全国卷)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A.B.C.D.【解析】从1,2,3,4中任取2个不同的数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种情形，而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1,3)，(2,4)，(3,1)，(4,2)，共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为.【答案】B2(数学期望)(2013广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的

2、数学期望E(X)()A. B2 C. D3【解析】E(X)123，选A.【答案】A3(几何概型)(2013陕西高考) 如图621，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基战，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()图621A1 B.1C2 D.【解析】取面积为测度，则所求概率为P1.【答案】A4(正态分布)已知随机变量N(u，2)，且P(2)p，则P(01)_.【解析】由P(2)p，易得P(01)P(1)P(0)p.【答案】p5(随机变量的方差)(2013上海高考)设非零

3、常数d是等差数列x1，x2，x3，x19的公差，随机变量等可能地取值x1，x2，x3，x19，则方差D_.【解析】由等差数列的性质，x10.D(x1)2(x2)2(x19)2d2(12223292)30d2.【答案】30d2古典概型与几何概型 (1)(2013广州质检)从个位数与十位数的数字之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是()A.B.C.D.(2)(2013湖南高考)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使APB的最大边是AB”发生的概率为，则()A. B. C. D.【思路点拨】(1)按个位数为偶数或奇数分两类，求基本事件总数，找出个位数为0的基本事件数，利用古典

4、概型求其概率(2)由几何图形的对称性，要使PAB中的边AB是最大边，则点P在线段P1P3上(其中ABBP1或ABAP3)，如图所示，由已知概率定点P1的位置，进而求的值【自主解答】(1)个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必一个奇数一个偶数，所以可以分两类当个位为奇数时，有5420(个)符合条件的两位数当个位为偶数时，有5525(个)符合条件的两位数因此共有202545(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P.(2)当PAB中边AB最大，则点P在线段P1P3上(其中ABBP1或ABAP3)，如图所示又事件发生的概率P，则P1P3CD，根据对称性知，DP1C

5、D，PC1CDAB，此时ABBP1，则AB2AD22，AD2AB2，则.【答案】(1)D(2)D1(1)本题(1)在计数时用了分类讨论的思想，其分类标准是个位数字是否为奇数(2)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识2(1)第(2)小题求解的关键：点P1、P3位置的探求；等量关系ABBP1的确定(2)几何概型中的基本事件是无限的，但其构成的区域却是有限的，因此可用“比例解法”求概率在利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的大小确定变式训练1(1)(2013上海高考)盒子中装有编号为1,2

6、,3,4,5,6,7,8,9的九个小球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是_(结果用最简分数表示)(2)(2013四川高考)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A.B.C.D.【解析】(1)从9个小球中任取两个，有nC36种取法设“两个球的编号之积为偶数”为事件A，则表示“两球的编号之积为奇数”，且发生时，从编号为1,3,5,7,9中取出两个不同小球，有mC10种取法P(A)1P()1.(2)设两串彩灯

7、同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x，y，则0x4,0y4，而事件A“它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒”，即|xy|2，可行域如图阴影部分所示由几何概型概率公式得P(A).【答案】(1)(2)C互斥事件与相互独立事件的概率 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率【思路点拨】(1)利用对立事件的概率求p的值；(2)转化为两个互斥事件的概率和：3次检测中仅发生一次故障，3次检测中均没发生故障【

8、自主解答】(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1P()1p，解得p.(2)设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D.“系统A在3次相互独立的检测中发生k次故障”为事件Dk.则DD0D1，且D0、D1互斥依题意，P(D0)C3，P(D1)C2，所以P(D)P(D0)P(D1).所以系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障次数的概率为.1一个复杂事件若正面情况较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解尤其是涉及到“至多”、“至少”等问题常常用这种方法求解(如本题第(1)问)2求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件

9、能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解(如本题第(2)问)变式训练2(2013陕西高考改编)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求P(X2)的值【解】(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事

10、件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)，P(B).事件A与B相互独立，A与相互独立则A表示“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”P(A)P(A)P()P(A)1P(B).(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)，依题意，A，B，C相互独立，相互独立且AB，AC，BC，ABC彼此互斥又P(X2)P(AB)P(AC)P(BC)，P(X3)P(ABC)，P(X2)P(X2)P(X3).独立重复试验与二项分布 (2013山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立(1)分别求

11、甲队以30,31,32胜利的概率；(2)若比赛结果为30或31，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分，对方得1分求乙队得分X的分布列及数学期望【思路点拨】(1)甲队30获胜，相当于成功概率为的三次独立重复试验三次成功，31获胜，则前三局甲队胜两局且第四局甲队获胜；32获胜，则前四局甲队胜两局且第五局甲队获胜(2)乙队得分X0,1，根据(1)的结果和对立事件概率之间的关系求出其概率分布，根据数学期望的公式计算其数学期望【自主解答】(1)记“甲队以30胜利”为事件A1，“甲队以31胜利”为事件A2，“甲队以32胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A1)3，

12、P(A2)C2，P(A3)C22.所以甲队以30胜利，以31胜利的概率都为，以32胜利的概率为.(2)设“乙队以32胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)C22.由题意，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2).又P(X1)P(A3)，P(X2)P(A4)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)，故X的分布列为X0123P所以E(X)0123.1(1)本题最易出现的错误是不能理解问题的实际意义，弄错事件之间的关系(2)求解的关键是理解“五局三胜制”的含义，从而理清事件之间的关系2解决概率分布，应先明确

13、是哪种类型的分布，然后代入公式，若随机变量X服从二项分布，可直接代入二项分布的期望公式变式训练3(2013福建高考)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【解】(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互

14、不影响记“这2人的累计得分X3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X5”因为P(X5)，所以P(A)1P(X5)1，即这2人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)由已知可得，X1B(2，)，X2B(2，)，所以E(X1)2，E(X2)2，从而E(2X1)2E(X1)，E(3X2)3E(X2).因为E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.离散型随机变量的均值与方差 (2013辽宁高考)现

15、有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望【思路点拨】(1)先求“张同学所取的3道题都是甲类题”的概率，利用对立事件求解(2)易知随机变量X取值为0,1,2,3，由相互独立事件的概率公式求Xi(i0,1,2,3)的概率【自主解答】(1)设事件A“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有“张同学所取的3道题都是甲类题”因为P()，所以P(A)1P().(2

16、)X所有的可能取值为0,1,2,3.P(X0)C02；P(X1)C11C02；P(X2)C20C11；P(X3)C20.所以X的分布列为：X0123P所以E(X)01232.1解题要注意两点：(1)随机变量X取每一个值表示的具体事件的含义，(2)正确利用独立事件、互斥事件进行概率的正确计算2求随机变量的期望和方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解变式训练4某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、

17、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)【解】设Ai(i0,1,2,3)表示摸到i个红球，Bj(j0,1)表示摸到j个蓝球，则Ai与Bj相互独立(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1).(2)X的所有可能值为：0,10,50,200，且P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1)，P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0)，P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)，P(X0)1.综

18、上可知，获奖金额X的分布列为X01050200P 从而有E(X)010502004(元)从近两年的高考试题看，离散型随机变量的分布列、均值与方差是高考的热点，题型齐全，难度中等，不仅考查学生的理解能力与数学计算能力，而且不断创新问题情境，突出学生运用概率、期望与方差解决实际问题的能力巧用概率公式求解期望问题 (12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验

19、假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望【规范解答】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有AA1B1A2B2，且A1B1与A2B2互斥.2分P(A1B1)P(A1)P(B1|A1)C44.P(A2B

20、2)P(A2)P(B2|A2)4，P(A)P(A1B1)P(A2B2).6分(2)X的可能值为400,500,800.且P(X500)C4，P(X800)C3，P(X400)1.随机变量X的分布列为X400500800P10分E(X)400500800506.25. 12分【阅卷心语】易错提示(1)题意不清，不能将事件A转化为条件概率与互斥事件概率，错求P(A)(2)忽视X400这一情形，或即使考虑X400，却不能利用对立事件求P(X400)，进而错求X的分布列与均值防范措施(1)求某事件概率，首先理解题意，分清概率模型，恰当选择概率计算公式本题是条件概率，应利用条件概率公式计算(2)弄清X取

21、每一个数值时事件的含义，这是正确求解的关键；活用概率分布的性质，可简化求P(X400)的思维过程1(2013济南模拟)在区间2,4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_.【解析】由|x|m，知mxm.P(|x|m)，且x2,4，可知，m2，m2，从而P(|x|m)，m3.【答案】32假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X.(1)求X的分布列；(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望【解】(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4，XB(4,0.5)，P(X0)C()4，P(X1)C()4，P(X2)C()4，P(X3)C()4，P(X4)C()4，X的分布列为X01234P(2)Y的所有可能取值为3,4，则P(Y3)P(X3)，P(Y4)1P(Y3)，Y的期望值E(Y)34.14