高一空间中的垂直关系.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高一空间中的垂直关系（请重新设计） 年级高一学科数学内容标题空间中的垂直关系编稿老师丁学锋一、学习目标1. 掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2. 掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；3. 在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与

2、垂直关系的转化，使问题获得解决.二、重点、难点重点：对直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理和性质定理的理解难点：对直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理和性质定理的运用三、考点分析对直线与平面、平面与平面垂直关系的考查是立体几何的必考内容.高考中仍以特殊集合体为载体，综合考查线线、线面、面面的垂直关系. 一、直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义1. 直线与平面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线与平面互相垂直，记作.2. 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.3. 平面与平面垂直的定义二面角：从一条直线出发的

3、两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.这两个平面叫做二面角的面.如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作.二、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理 定理表示线面垂直的判定定理面面垂直的判定定理文字叙述一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号表示图形表示三、线面垂直、面面垂直的性质定理 定理表示线面垂直的性质定理面面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行.两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.符号语言图形语言作用线面垂直线

4、线平行作平行线面面垂直线面垂直作面的垂线 知识点一：线面垂直、面面垂直的判定及应用例1. 如图，已知所在的平面，AB为圆O的直径，C是圆周上任意一点，过点A作AEPC于点E.求证：AE平面PBC.题意分析：AB为圆O的直径.进一步证BC平面PAC，由此得出BCAE，由已知得AE平面PBC.证明过程： AB为圆O的直径，.PA平面ABC，PABC，又ACPAA，BC平面PAC，AE平面PAC. BCAE. AEPC，PCBCC， AE平面PBC.【题后思考】解决此题的关键有二：一是圆的性质的运用；二是善于进行线线、线面垂直关系的转化.例2. 如图，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、

5、PC的中点.求证：MNCD.题意分析：将MN平移到平面PAD中去，然后证明CD平面PAD得线线垂直，从而得证.证明过程：如图取PD的中点E，连接NE，AE. N是PC的中点，E为PD的中点，NE/ CD且NECD.而AM/ CD且AMABCD，NE/AM且NEAM， 四边形AMNE为平行四边形.MN/AE，PA平面ABCD，PACD.又ABCD为矩形，CDAD，而ADPAA，CD平面PAD，CDAE，MNCD.【题后思考】实质上本题的证明方法很多，希望同学们认真思考一下；垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思

6、考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的方法结合起来使用.例3. 如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且求证：平面ABC平面BSC.题意分析：可证二面角的平面角为90.证明过程：如图，取BC的中点D，由SASBSC，ABACSA.连接SD、AD，则ADBC，SDBC是二面角ABCS的平面角.又，令SA1，则SD，AD，.平面ABC平面BSC.【题后思考】利用定义证明两平面垂直的基本思路是作出二面角的平面角，再计算二面角的平面角为90，此法较适合由等腰或等边三角形构成的几何体.知识点二：线面垂直、面面垂直的性质及应用例4. 已知如图，直线，直线，且，平面.求证：AB/c.题

7、意分析：线面垂直线线垂直线面垂直线线平行证明过程：过点B引直线确定的平面设为，因为，又.因为 因为 由可得.【题后思考】利用线面垂直的性质定理把证线线平行转化为证线面垂直.例5. 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是且边长为的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD.题意分析：解答本题可先由面面垂直得线面垂直，再进一步得出线线垂直.证明过程：连接PG，由题知PAD为正三角形，G是AD的中点，AD，又平面PAD平面ABCD，平面ABCD，BG，又四边形ABCD是菱形且，ABD是正三角形，平面PAD.【题后思考】若所给题

8、目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.应用面面垂直的性质定理时应注意三点：（1）两个平面垂直是前提；（2）直线必须在其中的一个平面内；（3）直线必须垂直于它们的交线.知识点三：二面角大小的求解例6. 如图，在四面体ABCD中，ABD、ACD、DBC、ABC都全等，且ABAC，BC2，求以BC为棱，以面BCD和面BCA为面的二面角的大小.题意分析：二面角的两个面都是以棱BC为底边的等腰三角形，因此可考虑利用底边的中线也是底边的高线作二面角的平面角.解题过程：取BC的中点E，连接AE、DE.ABAC，.又ABDACD，ABAC，DBDC.为二面角ABCD的

9、平面角.又ABCDBC且ABC是以BC为底的等腰三角形，DBC也是以BC为底的等腰三角形.ABACDBDC.又ABDBDC，ADBC2.在RtBDE中，同理.在AED中，AEDE，AD2.以BC为棱，以面BCD和面BCA为面的二面角的大小为90.【题后思考】求二面角的步骤是：（1）作出二面角的平面角；（2）证明该角的两边都与棱垂直；（3）指出该角就是二面角的平面角；（4）计算该角的大小.简记为作、证、指、算.1. 无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线与线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要

10、证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”.2. 在线面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线”，“一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，所以使用这些定理时，一定要注意体现逻辑推理的规范性.3. 空间中的直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直，最终达到目的，其转化关系为线线垂直线面垂直面面垂直（答题时间：60分钟）一、选择题1. 若表示直线，表示平面，则下列条件中，能使的是（ ）A. B. C. D. 2. 已知与是两条不同的直线，直线

11、平面，若直线，则；若，则；若，则；若，则.上述判断正确的是（ ）A. B. C. D. *3. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是（ ）A. B. C. D. 4. 在直二面角l中，直线a，直线b，a、b与l斜交，则（ ）A. a不和b垂直，但可能abB. a可能和b垂直，也可能abC. a不和b垂直，a也不和b平行D. a不和b平行，但可能ab*5. 如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是（ ）A. BD平面CB1D1 B. AC1BDC. AC1平面CB1D1 D. 异面直线AD与CB1所成的角为60 6.

12、 设a、b为两条直线，、为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A. 若与所成的角相等，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则二、填空题7. 在直四棱柱中，当底面四边形满足条件_时，有（注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情况）*8. 设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下命题：若，则是的垂心若两两互相垂直，则是的垂心若，是的中点，则若，则是的外心其中正确命题的序号是 9. 设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形，使“XZ且YZXY”为真命题的是_（填序号）.X、Y、Z是直线 X、Y是直线，Z是平面 Z是直线，X、Y是平面 X、Y、Z是平面三、解答题*1

13、0. 如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上且满足BFFC13.（1）若M为AB中点，求证：BB1平面EFM；（2）求证：EFBC；11. 如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是菱形且C1CBC1CDBCD，求证：C1CBD；*12. 如图，P 是ABC所在平面外一点，且PA平面ABC.若O和Q分别是ABC和PBC的垂心，试证：OQ平面PBC.一、选择题1. 2. 3. 解析：如图，设A1C1B1D1O1，B1D1A1O1，B1D1AA1，B1D1平面AA1O1，故平面AA1O1面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过

14、A1作A1HAO1于点H，则易知A1H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在RtA1O1A中，A1O1，AO1，由A1O1A1AhAO1，可得A1H.答案：C4. 解析：如图，在l上任取一点P，过P分别在、内作aa，bb，在a上任取一点A，过A作ACl，垂足为C，则AC，过C作CBb交b于B，连AB，由三垂线定理知ABb，APB为直角三角形，故APB为锐角.答案：C5. D6. D二、填空题7. 8. 9. 解析：是假命题，直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时为反例，是真命题，是假命题，平面X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时为反例.答案：三、解答题10. （1）证明：连结EM、MF，M、

15、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，BB1ME，又BB1平面EFM，BB1平面EFM.（2）证明：取BC的中点N，连结AN，由正三棱柱得：ANBC，又BFFC13，F是BN的中点，故MFAN，MFBC，而BCBB1，BB1ME.MEBC，由于MFMEM，BC平面EFM，又EF平面EFM，BCEF.11. 证明：连结A1C1、AC，AC和BD交于点O，连结C1O，四边形ABCD是菱形，ACBD，BCCD又BCC1DCC1，C1C是公共边，C1BCC1DC，C1BC1DDOOB，C1OBD，又ACBD，ACC1OOBD平面AC1，又C1C平面AC1，C1CBD.12. 证明：O是ABC的垂心，BCAE.PA平面ABC，根据三垂线定理得BCPE.BC平面PAE.Q是PBC的垂心，故Q在PE上，则OQ平面PAE，OQBC.PA平面ABC，BF平面ABC，BFPA，又O是ABC的垂心，BFAC，故BF平面PAC.因而FM是BM在平面PAC内的射影.因为BMPC，据三垂线定理的逆定理，FMPC，从而PC平面BFM.又OQ平面BFM，所以OQPC. 综上知 OQBC，OQPC，所以OQ平面PBC.-