海水淡化.doc

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除论文题目：海水淡化摘要本文通过对逆渗透的物理过程的相关分析，运用方向场、Euler方法、分离变量法、控制变量法和非线性规划等方法建立有效的数学模型，通过对数学模型的分析及相关matlab，lingo等软件的应用，对题目提出的三个问题作出了解答。针对问题一，考虑到溶液体积随时间的变化而改变，导致渗透压的变化，当渗透压与外界压力平衡时实验停止。由于时间变化使渗透压变化的不规律性，建立极小时间的Euler法的迭代方程。根据微分方程和题目给出的公式，作出方向场的图像并画出对应的淡水生成量X与时间t的函数图像，根据函数图像求解题目提出的问题，从4L海水中大

2、约可提取出3.3400L淡水，提取2L淡水大约需要29小时。针对问题二，明确设计参数对淡水性能的影响应该使用控制变量法，考虑到要刻画生成淡水的性能，又由给出的微分方程的性质，由分离变量法可以对微分方程进行求解，并由控制变量法来刻画不同的设计参数的影响关系，求解微分方程后，使用matlab软件对四种设计参数分别作图，根据函数图像研究影响关系，具体的影响关系为：t与、A成反比例函数关系；t随着V、的增大，提取相同体积的淡水所耗用的时间逐渐减少，所耗时间的变化速率逐渐降低，只是由于限制取值的条件的不同，t与V随着增大趋近于1.7d（t=x/p/A/），t随着的增大趋近于0d。针对问题三，由于问题二中

3、就是借助得到相同体积的淡水来间接刻画不同的设计参数的影响关系，在本题中就是固定溶液体积为2L时的时间变化，所以影响关系与问题二相似。根据题目给出的限制条件和目标函数的性质建立非线性规划的最优化模型，利用lingo软件进行求解，得到题目中要求的最佳参数：=30bar，A=1.2dm2，V=8L ；在体积为2L时达到最优条件，即所需时间近似为0.7673天，约为18.4个小时。利用在最佳参数的微小变化对时间t的影响不大（变化范围5%-10%）的性质，说明该数据具有一定的容错率，并由此撰写给企业的相关数据及报告。关键词：海水淡化；Eluer方法；控制变量法；非线性规划；灵敏度分析一、问题重述11问题

4、的背景当两种浓度不同的水溶液被半透膜隔开时，水会从浓度低的一侧流向浓度高的一侧，此过程称为渗透。在高浓度的一侧施加外部压力，溶液的流动会停止，甚至逆转，这一过程称为逆渗透。渗透压力由Vant Hoff 方程建立的渗透模型确定，如下(1)式所示: (1)其中。考虑逆渗透模型，外部压力作用在膜的高溶质浓度溶液的一侧，产生的通过膜的流量正比于外部压力与渗透压力之差。若用表示溶液中被提取的水的体积，那么 （2）由方程(1)和(2)即可推得淡化的微分方程。从淡化微分方程可以看出，渗透率、膜的面积、外部压力都会影响提取的水的体积。12需要解决的问题问题一：用方向场和Euler方法大致刻画微分方程的解。用以

5、下数据计算，物理常数：c=0.103 mol/L，R=0.082 Lbar/moloK，T=293 oK，设计参数：=0.1 dm/(dmdbar)， dm2，bar，L。并求解从4L海水中可提取多少淡水？提取2L淡水大约需要多少时间？问题二：分析淡化的性能是如何依赖于设计参数？问题三：某一海水淡化公司计划建设一种新的可移动水净化器将海水中的盐提取出来。他们已经设计了一台机器，图示见附件。该公司的市场人员报告，若要在市场上有竞争力，一天至少能生产2L淡水。若机器是可移动的，它一次最多可处理8L海水。因为压力容器的壁相当薄，施加的压力最大值为30 bar。此机器的过滤器很贵，所以过滤器的面积不得

6、超过1.2dm2。最后，最佳的适用过滤器的渗透常数。在他们花钱制造一个模型之前，希望你们准备一份报告。重要的事项是及其生产2L水需要多长时间。报告中应分析此时间如何依赖于设计参数。用“最佳”机器的设计参数值的建议来结束你们的报告。“最佳”机器应该具有某种容错性，因而若有可能，选取你们的参数具有一定的上下变化范围(5%-10%)。二、问题分析21问题一的分析针对问题一，题目要求运用方向场和Euler方法大致刻画提取出的淡水量与提取所用时间的微分方程。由题目背景可知，两种浓度不同的溶液被半透膜隔开时，自然环境下会发生渗透现象（低浓度溶液中的水流向高浓度溶液），产生该现象的原因是因为不同浓度之间产生

7、了渗透压（）；渗透压受到溶质浓度（c）、万有气体常数（R）、绝对温度（T）的影响。此时为了达到提取淡水的目的，给高浓度溶液的一侧施加外部压力（P），当外部压力大于渗透压时，溶液的流动就会发生逆转，这一现象被称为逆渗透。由Vant Hoff 方程建立的渗透模型可以确定渗透压=cRT，在外部压力作用发生逆渗透现象时，高浓度溶液体积（V）不断减小，此时因为溶质浓度所以可以知道溶质浓度在增大，进一步可以得出渗透压也在增大；这时假设渗透出的淡水量为x，可以得到一个描述渗透压变化规律的方程。将该方程带入题目中的常微分方程后便可以推导出淡化的微分方程。当渗透压的值增大到与外部压力相同时逆渗透现象将不再继续，

8、实验过程结束。分析淡化的常微分方程可以发现，在除过时间与渗透出的淡水量x以外的变量都为定值的情况下，渗透出的淡水量x是一个变化规律不确定的变量，这种情况下假设时间t趋于无穷小时可以得到在那一时刻x的值，想要得到一系列x的值则需要引入欧拉方法通过迭代算出在一段时间内x的所有值；在作图过程中利用方向场对常微分方程斜率和对函数曲线趋势的体现可以有效地刻画出渗透的淡水微分方程的解。问题一接下来的两个小问题但便可以由常微分方程的解来解答。22问题二的分析针对问题二，题目要求分析淡化海水的性能，也就是淡化一定量海水时各个设计参数对时间的影响；为体现不同设计参数对性能的不同影响，采用的解题思路为控制变量法，

9、也就是每次从设计参数中给出一个变量（其余变量假设成定值）求其与时间的关系，因此需要做出四个设计参数分别于时间的对应关系。在建立模型前，首先应当明确设计参数有：是水的渗透率常数，A是膜垂直于流动的面积，V是溶液的体积和外部压力四个。在明确设计参数后，根据控制变量法的原理，依次把，A，V，设为变量，将设为变量的设计参数外的其余三个设计参数同常量x，c，R，T设为定值。然后根据题目中给的微分方程，以及由Vant Hoff方程建立的渗透模型和溶质浓度计算公式，假设渗透出的淡水量是x，由于随着淡水的流出使V减少，即Vi;=V-xi。联立方程组并化简，根据常微分方程的分离变量法解出微分方程的解，即t=f（

10、x）。最后根据解出的微分方程，借助软件分别将t=f（）；t=f（A）；t=f（V）；t=f（）的图像描绘出来，根据画出图像的趋势，斜率变化和相关数据等函数信息，便可以分析出淡化的性能是如何依赖于设计参数的。23问题三的分析针对问题三，题目要求我们根据问题二的结果来综合考虑，当多个设计参数共同作用时，如何调整设计参数的值，使提取相同量的淡水所用的时间最短。首先将题干中的对于海水淡化机的相关限制条件转化为数学语言，由于要设计海水淡化机确定其相关最佳的设计参数，并在报告中分析产生2L淡水的时间是如何依赖于设计参数的，可以使用问题二中微分方程的解进行进一步的计算，可以得到从溶液中提取恒定体积的淡水所需

11、要的时间。因为要寻找最佳设计参数，即是寻找使得t最小的同时满足各限制条件的设计参数，也就是最优化的求解问题。根据目标函数和限制函数的函数性质可知，应当建立非线性规划的最优化问题，利用相关软件可求解出最佳的设计海水淡化机的相关设计参数，为了使海水淡化机具有某种容错性，参数应当具有一定的上下变化范围（5%10%）以此来提高容错率，这一点也可以利用相关软件的灵敏性分析对该问题进行求解，最终完成写给该公司的报告。三、模型假设1、假设海水中可以通过半透膜的成分只有水（H20）。2、假设实验过程只受到渗透压和外部压力的影响。3、假设实验过程中成分都没有任何形式的额外消耗。四、符号说明符号符号意义渗透压力C

12、溶质浓度R万有气体常数T绝对温度溶质的摩尔数溶液的体积水的渗透率常数膜垂直于流动的面积外部压力五、模型的建立与求解51问题一的模型建立与求解由题目一的分析可知，渗透压力由Vant Hoff 方程建立的渗透模型确定，如下(a)式所示: (a)溶液浓度计算公式，如下（b）式所示 （b）根据逆渗透模型，可得微分方程公式，如下（c）式所示 （c）在实验过程中高浓度溶液的体积随提取出的淡水量x的增大而减小，所以高浓度溶液在t时刻溶液的体积可表示，如下（d）式所示Vi=V-xi （d）联立四组方程可得到，如下（e）式所示dx/dt=A(-(n R T)/(V-X) (e)由问题一分析可得解析（e）式需要采

13、用Eluer方法(euler方程由下（f）式所示)x(0)=0t(n)=nt （f） x(n+1)=x(n)+tf(t(n),x(n)其中f(t(n),x(n)=dx/dt。利用matlab软件对（e）式进行求解并刻画出（e）式的方向场（源代码见附录，程序1）得到t与x的函数关系图，如下图1.1所示（方向场图片）（1.1）通过Eluer方法的迭代思想利用matble可解出某一时刻t所对应的提取出的淡水量x的具体数值，为更准确测量提取出的淡水量对应的时间，计算过程中将时间单位由天转化为小时。（源代码见附录，程序2），对应关系图，如下图1.2所示（迭代图）（1.2）终上所述，可得4L海水中，最多可

14、以提取出大约3.3400L淡水，提取2L海水时需要的时间大约为29小时。（数据来源详见附录，数据1）52问题二的模型建立与求以问题一中的（e）式为基础，由问题二分析可知521与t的关系以水的渗透率常数为变量，求与时间t的关系。经过化简可得到与t的关系式为：xxxxxxxxxxxxx利用matlab可作出与t之间的函数关系图（源代码见附录，程序3），如下图2.1所示（-t关系图）2.1由公式以及所得出的函数图可知，t=f1()成反比例函数关系，随着的增大提取相同体积的淡水所耗用的时间逐渐减少并趋近于0.2d，所耗时间的变化速率逐渐降低。522A与t的关系以膜垂直于流动的面积A为变量，求A与时间t

15、的关系。经过化简可得到A与t的关系式为：xxxxxxxxxxxxx利用matlab可作出A与t之间的函数关系图（源代码见附录，程序4），如下图2.1所示（A-t关系图）2.2由公式以及所得出的函数图可知，t=f2(A)成反比例函数关系，随着A的增大提取相同体积的淡水所耗用的时间逐渐减少并趋近于0d，所耗时间的变化速率逐渐降低。523V与t的关系以溶液的体积V为变量，求V与时间t的关系。经过化简可得到V与t的关系式为：xxxxxxxxxxxxx利用matlab可作出V与t之间的函数关系图（源代码见附录，程序5），如下图2.3所示（V-t关系图）2.3由公式以及所得出的函数图可知，t=f3(V)成

16、如图所示的函数关系，随着V的增大提取相同体积的淡水所耗用的时间逐渐减少并趋近于1.7d（t=x/p/A/），所耗时间的变化速率逐渐降低。由问题分析（1）的平衡关系得限制条件为V=X+cVRT/。524与t的关系以外部压力为变量，求与时间t的关系。经过化简可得到与t的关系式为：xxxxxxxxxxxxx利用matlab可作出与t之间的函数关系图（源代码见附录，程序6），如下图2.4所示（-t关系图）2.4由公式以及所得出的函数图可知，t=f4()成如图所示的函数关系，随着的增大提取相同体积的淡水所耗用的时间逐渐减少并趋近于0d，所耗时间的变化速率逐渐降低。由问题分析（1）的平衡关系得限制条件为=

17、9.89(=Cvrt/(V-x)。综上所述是淡化的性能对设计参数、A、V、的依赖关系。53问题三的模型建立与求解根据问题三分析，可以将题目中所给的相关限制条件转化为数学语言，具体公式如下式所示：V=8=30A=2t=1由问题一分析可知，当外界压力等于渗透压时，即（=cRT），达到平衡状态，实验过程停止，此时得到的淡水量x如下所示：x=V-cVRT/根据问题二解出的微分方程的解和问题三分析可知，为了得到最佳参数，应当建立解最优化问题的非线性规划模型，针对得到相同体积的淡水所需时间长短来刻画提取淡水的性能，具体函数表达如下式所示：Min t=(x+2.474678Vln(V-2.474678V)/

18、(V-x-2.474678V)/)/(0.08A);V=8=30A=2t=X+cVRT/。随着的增大提取相同体积的淡水所耗用的时间逐渐减少并趋近于0d，所耗时间的变化速率逐渐降低。由问题分析（1）的平衡关系得限制条件为=9.89(=Cvrt/(V-x)。六、模型的评价61模型的优点（1）模型相对简介容易理解（2）对时间进行细化，由相对明确的数据输出，不仅限于图像数据的发现61模型的缺点（1）欧拉方法的精度较低迭代出的结果具有一定误差（2）假设条件过于理想化，在实际情况下有很多外在因素会干扰实验七、模型的推广依据题目中提供的数据、模型以及海水淡化机的原理，建立了提取时间于各个设计参数的模型，并利用Eluer方法与隐函数的相关知识，确定了水的渗透率常数（），膜垂直于流动的面积（A），海水溶液的体积（V）和外部压力（）分别于所需时间（t）的函数关系，对海水淡化机的设计参数有一定的参考价值。模型中分析问题、解决问题的一些方法，Eluer方法迭代求值，方向场体现变化趋势，非线性关系求最优解这些思想，对其它的数学问题及一般模型仍可使用。除此之外，针对于海水淡化机某一设计参数发生变动或加入新参数的情况，我们的方法依旧可以作为分析解决问题的一种参考。八、参考文献（描述）附录【精品文档】第 11 页