人教A版 2020届高考数学一轮专题复习之创新型问题（含解析）.docx

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1、创新型问题A组一、选择题1. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当时，；当时，。则函数的最大值等于（ ）（“”和“”仍为通常的乘法和减法）A. B. 1C. 6D. 12解析： A中121不是自然数，即自然数集不满足条件；B中120.5不是整数，即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C。2.对于函数f(x)，若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)f(2ax)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是()Af(x) Bf(x)x2 Cf(x)tan x Df(x)cos(x1)解析：对于函数f（x），

2、若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a-x），则称f（x）为准偶函数，函数的对称轴是x=a，a0，选项A函数没有对称轴；选项B、函数的对称轴是x=0，选项C，函数没有对称轴函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项D正确故选： D3、给出函数的一条性质：“存在常数M，使得对于定义域中的一切实数均成立。”则下列函数中具有这条性质的函数是（ ）ABCD解析：看函数是否有最大值，只有D正确4、设，都是定义在实数集上的函数，定义函数：，若，则ABCD解析：对于A，因为，所以当x0时，f（f（x）=f（x）=x；当x0时，f（x）=x20，特别的，x=

3、0时x=x2，此时f（x2）=x2，所以，故A正确；对于B，由已知得（fg）（x）=f（g（x）=，0x显然不等于f（x），故B错误；对于C，由已知得（gf）（x）=g（f（x）=，显然不等于g（x），故C错误；对于D，由已知得（gg）（x）=，显然不等于g（x），故D错误故选A5、x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数f(x)xx在R上为()A奇函数 B偶函数C增函数 D周期函数解析：本题主要考查函数的图像和性质当x0,1)时，画出函数图像(图略)，再左右扩展知f(x)为周期函数故选D.二、填空题6、现定义一种运算“”： 对任意实数， 。设，若函数的图象与轴恰有三个公共点，则实数的取值范

4、围是_【解析】=，函数f(x)的图象与轴恰有三个交点，的图像与y=-k的图像有三个交点，的图像如图所示， 根据图像得：，.实数的取值范围是7、若直线l与曲线C满足下列两个条件：(i)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(ii)曲线C在点P附近位于直线l的两侧则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)直线l：y0在点P(0，0)处“切过”曲线C：yx3；直线l：x1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y(x1)2；直线l：yx在点P(0，0)处“切过”曲线C：ysin x；直线l：yx在点P(0，0)处“切过”曲线C：ytan x；直线l：yx1在点P(1

5、，0)处“切过”曲线C：yln x.解析：对于，由，得则y|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，又当x0时y0，当x0时y0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，命题正确；对于，由，得，则y|x=-1=0，而直线l：x=-1的斜率不存在，在点P（-1，0）处不与曲线C相切，命题错误；对于，由y=sinx，得y=cosx，则y|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，又时xsinx，时xsinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，命题正确；对于，由y=tanx，得y1cos2x，则y|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线

6、，又时tanxx，时tanxx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，命题正确；对于，由y=lnx，得，则y|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x-1，由g（x）=x-1-lnx，得，当x（0，1）时，g（x）0，当x（1，+）时，g（x）0g（x）在（0，+）上有极小值也是最小值，为g（1）=0y=x-1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，命题错误正确的命题是8. 对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就

7、是对称中心。给定函数，请你根据上面探究结果，计算试题分析：由题意，所以，令，解得，又所以函数的对称中心为，所以三、解答题9、先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题： 已知，求证， 证明：构造函数 因为对一切xR，恒有0，所以0, 从而得， （1）若，请写出上述结论的推广式； （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。解：（1）若，求证： (4)（2）证明：构造函数 (6) (9) (11) 因为对一切xR，都有0，所以=0, 从而证得：. (14)10、设函数 a 为 常数且a(0,1).(1)当a=时,求f(f(13); (2)若x0满足f(f(x0)= x0,但f(x0)x0,则称x0

8、为f(x)的二阶周期点,证明函数有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;(3)对于(2)中x1,x2,设A(x1,f(f(x1),B(x2,f(f(x2),C(a2,0),记ABC的面积为s(a),求s(a)在区间13 , 12上的最大值和最小值.【答案】解:(1)当时, ( 当时,由解得x=0,由于f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点; 当时由解得因 故是f(x)的二阶周期点;当时,由解得 因故不是f(x)的二阶周期点; 当时,解得 因 故是f(x)的二阶周期点. 因此,函数有且仅有两个二阶周期点,. (3)由(2)得 则 因为a在13 , 12内,故,则 故 B组一、选

9、择题1、对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为ABCD解析：选项A中，区间都可以是“等可域区间”；选项C，D中，函数均为增函数且与不可能有两个交点；选项B中，“等可域区间”为故选B.2、定义集合A、B的一种运算：，若，则中的所有元素数字之和为（ ）A9 B14 C18 D21解析; 中的元素数为2,3,4,5, 则中的所有元素数字之和为14 . 选B3、(2015届湖北省黄冈中学等八校高三第二次模拟考试）对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”下列函数中存

10、在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为ABCD【答案】B解析：选项A中，区间都可以是“等可域区间”；选项C，D中，函数均为增函数且与不可能有两个交点；选项B中，“等可域区间”为故选B.4、若函数在实数集上的图象是连续不断的，且对任意实数存在常数使得恒成立，则称是一个“关于函数”现有下列“关于函数”的结论：常数函数是“关于函数”；“关于2函数”至少有一个零点；是一个“关于函数”其中正确结论的个数是 ( ).A1 B2 C3 D0【答案】B解析：对任一常数函数，存在,有所以有，所以常数函数是“关于函数”“关于2函数”为，当函数不恒为0时有与同号定义在实数集上的函数的图象是连续不断的，图象与轴无交点

11、，即无零点。对于设存在使得，即存在使得，也就是存在使得，也就是存在使得，此方程有解，所以正确。故正确是，故选：B5、某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yx(x表示不大于x的最大整数)可以表示为()AyByCy Dy解析：当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系，用取整函数yx(x表示不大于x的最大整数)可以表示为y答案：B

12、二、填空题6、若集合具有以下性质：，；若，则；且时，则称集合是“完美集”给出以下结论：集合是“完美集”；有理数集是“完美集”；设集合是“完美集”，若,，则；设集合是“完美集”，若,，则必有；对任意的一个“完美集”，若，且，则必有其中正确结论的序号是【答案】解析：1，1，但是，不是“完美集”；有理数集肯定满足“完美集”的定义；0，0=，那么；对任意一个“完美集”A，任取，若中有0或1时，显然；下设均不为0，1，而，那么，所以，进而，结合前面的算式，；，若，那么，那么由(4)得到：故答案为。7、给定min= ，已知函数f(x) = min+ 4，若动直线y=与函数y= f(x)的图象有3个交点，它

13、们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1+x2+x3的范围为（4,5）8、已知（1）, 求的最小值（2）P、Q关于点（1，2）对称，若点P在曲线C上移动时，点Q的轨迹是函数的图象，求曲线C的轨迹方程。（3）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从可抽象出的性质，试分别写出一个具体的函数，抽象出下列相应的性质由 可抽象出由 可抽象出解析：(1) 等号当x=2时成立， (2)设P(x,y)则Q(2-x,4-y)由4y=lg(2x)可得：y=4lg(2x)(3) h(x)=_y=2x等_, (x)=_y=lgx等_11三、解答题9、将连续正整数1，2，n(nN*)从小到大排

14、列构成一个数123n，F(n)为这个数的位数(如n12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率(1)求p(100)；(2)当n2014时，求F(n)的表达式；(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)f(n)g(n)，Sn|h(n)1，n100，nN*，求当nS时p(n)的最大值解：(1)当n100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p(100).(2)F(n)(3)当nb(1b9，bN*)，g(n)0；当n10kb(1k9，

15、0b9，kN*，bN)时，g(n)k；当n100时，g(n)11，即g(n)1k9，0b9，kN*，bN，同理有f(n)由h(n)f(n)g(n)1，可知n9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，所以当n100时，S9，19，29，39，49，59，69，79，89，90当n9时，p(9)0.当n90时，p(90).当n10k9(1k8，kN*)时，p(n)，由y关于k单调递增，故当n10k9(1k8，kN*)时，p(n)的最大值为p(89).又f(x3)对任意的x1，x2，x3R恒成立由f(x)1，设ex1m(m1)，则原函数可化为f(m)1(m1)，当t1时，函数f(m)

16、在(1，)上单调递减，所以f(m)(1，t)，此时2f(x1)f(x2)2t,1f(x3)f(x3)对任意的x1，x2，x3R恒成立，需t2，所以1t2；当t1时，f(x)1，显然满足题意；当t1时，函数f(m)在(1，)上单调递增，所以y(t,1)，此时2tf(x1)f(x2)2，tf(x3)f(x3)对任意的x1，x2，x3R恒成立，需满足2t1，所以tg(x)恒成立，则实数b的取值范围是_答案(2，)解析由已知得3xb，所以h(x)6x2b.h(x)g(x)恒成立，即6x2b，3xb恒成立在同一坐标系内，画出直线y3xb及半圆y(如图所示)，可得2，即b2，故答案为(2，)8、以A表示值

17、域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数(x)组成的集合：对于函数(x)，存在一个正数M，使得函数(x)的值域包含于区间M，M例如，当1(x)x3，2(x)sin x时，1(x)A，2(x)B.现有如下命题：设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)A”的充要条件是“bR，aD，f(a)b”；函数f(x)B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)A，g(x)B，则f(x)g(x)B；若函数f(x)aln(x2)(x2，aR)有最大值，则f(x)B.其中的真命题有_(写出所有真命题的序号)解析：对于，根据题中定义，f(x)A函数yf(x)，xD

18、的值域为R，由函数值域的概念知，函数yf(x)，xD的值域为RbR，aD，f(a)b，所以正确；对于，例如函数f(x)|x|的值域(0,1包含于区间1,1，所以f(x)B，但f(x)有最大值1，没有最小值，所以错误；对于，若f(x)g(x)B，则存在一个正数M1，使得函数f(x)g(x)的值域包含于区间M1，M1，所以M1f(x)g(x)M1，由g(x)B知，存在一个正数M2，使得函数g(x)的值域包含于区间M2，M2，所以M2g(x)M2，亦有M2g(x)M2，两式相加得(M1M2)f(x)M1M2，于是f(x)B，与已知“f(x)A”矛盾，故f(x)g(x)B，即正确；对于，如果a0，那么

19、x，f(x)，如果a0，那么x2，f(x)，所以f(x)有最大值，必须a0，此时f(x)在区间(2，)上，有f(x)，所以f(x)B，即正确，故填.答案：三、解答题9、，分别表示实数，中的最小者和最大者（1）作出函数321（R）的图像；（2）在求函数321（R）的最小值时，有如下结论：，4请说明此结论成立的理由；（3）仿照（2）中的结论，讨论当，为实数时，函数R，R的最值解：（1）图略；（2）当（，3）时，是减函数，当3，1）时，是减函数，当1，）时，是增函数，4（3）当0时，；当0时，；当0时，10、已知真命题:“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数 是奇函数”.(1)将函数的

20、图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标;(2)求函数 图像对称中心的坐标;(3)已知命题:“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).【答案】(1)平移后图像对应的函数解析式为, 整理得, 由于函数是奇函数, 由题设真命题知,函数图像对称中心的坐标是. (2)设的对称中心为,由题设知函数是奇函数. 设则,即. 由不等式的解集关于原点对称,得. 此时. 任取,由,得, 所以函数图像对称中心的坐标是. (3)此命题是假命题. 举反例说明:函数的图像关于直线成轴对称图像,但是对任意实数和,函数,即总不是偶函数. 修改后的真命题: 函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”.