2020年中考专题复习---相似三角形 讲义 （无答案）.docx

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1、相似三角形知识结构模块一：比例线段知识精讲一、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为）；如果（或），那么就说、成比例二、 比例的性质（1） 基本性质：如果，那么；如果，那么，（2） 合比性质：如果，那么；如果，那么（3） 等比性质：如果，那么三、 比例线段的概念 对于四条线段、，如果（或表示为），那么、叫做成比例线段，简称比例线段四、 黄金分割如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点其中，称为黄金分割数，简称黄金数APB五、 三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线

2、，截得的对应线段成比例lABCDEABCDEABCDEll如图，已知，直线l / BC，且与AB、AC所在直线交于点D和点E，那么六、 三角形一边的平行线性质定理推论ABCDE平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例如图，点、分别在的边、上，如果DE / BC，那么七、 三角形的重心 定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心 性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍八、 三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边九、 三角形一边的平行线判

3、定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边ABCDEABCDEABCDE如图，在中，直线与、所在直线交于点和点，如果，那么/十、 平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例如图，直线/，直线与直线被直线、所截，那么BCDEFG十一、 平行线等分线段定理 两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等例题解析ABCDE【例1】 如图，点D、E分别在的边AB和BC上下列所给的四个条件中，不一定能得到DE / AC的条件是（ ）ABCD【

4、例2】 在比例尺为1 : 40000的一张地图上，量得A、B两地的距离是37 cm，那么A、B两地的实际距离是_kmFEDABC【例3】 （2015学年普陀区二模第5题）如图，已知/，DE = 4，DF = 6，那么下列结论正确的是（ ）ABC : EF = 1 : 1BBC : AB = 1 : 2CAD : EF = 2 : 3DBE : CF = 2 : 3【例4】 如果线段a = 4 cm，b = 9 cm，那么它们的比例中项是_cmBCDEFGA【例5】 四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交边AD于点F，交对角线BD于点G求证：CG是EG与FG的比例中项【例6】

5、 已知线段AB = 10，P是线段AB的黄金分割点（AP PB），则AP =_【例7】 已知，求的值【例8】 如果直角三角形的斜边长为18，那么这个三角形的重心到直角顶点的距离为_ABCDEF【例9】 如图，已知AD / EF / BC，AE = 3BE，AD = 2，EF = 5，那么BC =_【例10】 如图，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，EF与对角线BD交于点G，如果BE = 5，BF = 3，那么FG : EF的比值是_ABCDEFG【例11】 如图，BD是的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE / AB，（1）求证：BE = AF；（2）设BD与EF交于点M，

6、联结AE，交BD于点N，求证：MAFBECD【例12】 如图，在直角梯形ABCD中，AD / BC，E为CD的中点，联结AE并延长交BC的延长线于F；（1）联结BE，求证BE = EF（2）联结BD交AE于M，当AD = 1，AB =2，AM = EM时，求CD的长ABCDEFM模块二：相似三角形知识精讲一、 相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形DABCE如图，是的中位线，那么在与中， ， ，；由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似用符号来表示，记作，其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点；符号“”

7、读作“相似于”用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“”后相应的位置上根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似二、 相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似如图，已知直线与的两边、所在直线分别交于点和点，则ABCDEABCDEABCDE三、 相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似可简述为：两角对应相等

8、，两个三角形相似如图，在与中，如果、，那么ABCA1B1C1常见模型如下：四、 相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似ABCA1B1C1如图，在与中，那么五、 相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似如图，在与中，如果，那么ABCA1B1C1六、 直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似可简述

9、为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似ABCA1B1C1如图，在和中，如果，那么七、 相似三角形性质定理 相似三角形性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方例题解析【例13】 在下列的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么与图1中相似的三角形所在的网格图是（ ）图1 A B C D【例14】 已知，且相似比为3 : 4，cm2，则_ cm2ABCDEF【例15】 如图，已知点D是中的边BC上的一点，的平分线交边

10、AC于点E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（ ）ABCDABCD【例16】 如图，已知点D在的边AB上，且，求的值ABCDEF【例17】 如图，已知点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，BE = 3 cm，AB = 6 cm，矩形ABCD的周长为28 cm，求CF的长ABCDE【例18】 如图，已知点D、E分别在边AB、AC上，DE / BC，BD = 2AD，那么等于（ ）A1 : 2B1 : 3C1 : 4D2 : 3ABCDMG【例19】 如图，中，如果AB = AC，ADBC于点D，M为AC中点，AD与BM交于点G，那么的值为_ABCDEF【例20】 如图，已知中，AB =

11、AC，CD是边AB上的高，且CD = 2，AD = 1，四边形BDEF是正方形和相似吗？试证明你的结论EADACBA【例21】 已知：如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且（1）求证：；（2）求证：【例22】 如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，ABCDEF（1）求证：；（2）若DF = AF，求AC : BC的值【例23】 如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，若，于E，于F，DE与BF相交于H，BF与AD的延长线相交于GABCDEFGH求证：（1）CD = BH； （2）AB是AG和HE的比例中项CBADEF【例24】 如图，已知等

12、腰中，AB = AC，ADBC，CEAB，垂足分别为D、E.（1）求证：；（2）点F是AC的中点，联结DF，求证：ABCDEF【例25】 如图，已知在梯形ABCD中，AD / BC，AB = AD点E在边AB上，且，DF平分，交BC于点F，联结CE、EF（1）求证：DE = DC；（2）如果，求证：ABCDEFG【例26】 已知：如图，在中，AB = AC，点D、E分别是边AC、AB的中点，DFAC，DF与CE相交于点F，AF的延长线与BD相交于点G（1）求证：；（2）联结CG，求证：【例27】 如图，直角梯形ABCD中，AD / BC，BC = 2AD，点E为边BC的中点（1）求证：四边形A

13、ECD为平行四边形；（2）在CD边上取一点F，联结AF、AC、EF，设AC与EF交于点G，且求证：；（3）在（2）的条件下，当时，求：FG : EG的比值ABCDEFG【例28】 如图，已知在中，P是边BC上的一个动点，PQ / AC，PQ与边AB相交于点Q，AB = AC = 10，BC = 16，BP = x，的面积为y（1）求y关于x的函数解析式；ABCPQ（2）试探索：与能否相似？如果能相似，请求出x的值，如果不能相似，请说明理由随堂检测【习题1】 如果两个相似三角形的面积的比为4 : 9，那么它们对应的角平分线的比是_ABCMN【习题2】 如图，和都是等边三角形，点M是的重心，那么的

14、值为（ ）ABCDABCDFE【习题3】 如图，AB / DC，DE = 2AE，CF = 2BF，且DC = 5，AB = 8，则EF =_ABCDEFOP【习题4】 已知，如图，D、E、F分别是的边BC、AB、AC的中点，AD与EF相交于点O，线段CO的延长线交AB于点P，求证：AB = 3AP【习题5】 如图，在平行四边形ABCD中，AEBC于E，AFCD于F（1）求证：；（2）若M、N分别是AB、AD中点，且，求证：EM / FNABCDEF【习题6】 如图，中，D是边BC上一点，点E、F分别是线段AB、AD中点，联结CE、CF、EF.ABCDEF（1）求证：；（2）联结DE，当BD

15、= 2CD时，求证：DE = AF.ABCDPGOFHE【习题7】 已知正方形ABCD的对角线相交于点O，的平分线分别交BD、BC于点E、F，作，垂足为H ，BH的延长线分别交AC、CD于点G、P（1）求证：AE = BG；（2）求证：课后作业【作业1】 若（其中点A和、B和、C和分别对应），且AB = 4， = 6，则的周长和的周长之比是（ ）A9 : 4B4 : 9C2 : 3D3 : 2ABCDEF【作业2】 已知，如图，在中，点D为AB的中点，垂足为点F，BE交AC于点E，CE = 1cm，AE = 3 cm求证：（1）；（2）求斜边AB的长【作业3】 已知：如图，线段AB / CD，

16、AC、BD相交于点P，E、F分别是线段BP和DP的中点（1）求证：AE / CF；（2）如果AE和DC的延长线相交于点Q，M、N分别是线段AP和DQ的中点，ABCDEFP求证：MN = CE【作业4】 如图，已知在四边形ABCD中，AD / BC，对角线AC、BD相交于点O，BD平分，过点D作DF / AB，分别交AC、BC于点E、F（1）求证：四边形ABFD是菱形；（2）设，求证：EDCGFAB【作业5】 已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF = DE，AE的延长线与DF相交于点G（1）求证：；（2）如果DE = CE，求证：AE = 3EG【作业6】 已知：如图，在正方形ABCD中，点E是边AD的中点，联结BE，过点A作,分别交BE、CD于点H、F，联结BF（1）求证：BE = BF；（2）联结BD，交AF于点O，联结OE求证：