弹性力学第二章ppt课件.ppt

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1、弹性力学讲课教师：讲课教师：刘章军刘章军Tel: 153374168012013-092013-09前一节讲授的主要内容：前一节讲授的主要内容：1 1、弹性力学的基本内容弹性力学的基本内容 2 2、弹性力学的基本概念弹性力学的基本概念 3 3、弹性力学的基本假定弹性力学的基本假定 4 4、弹性力学的基本物理量弹性力学的基本物理量 5 5、弹性力学的研究方法弹性力学的研究方法弹性力学的基本内容弹性力学的基本内容 研究弹性体由于受研究弹性体由于受外力外力、边界约束边界约束或或温度改变温度改变等原因而发生的等原因而发生的应力应力、应变应变和和位移位移。从而解。从而解决工程中的决工程中的强度强度、刚度

2、刚度和和稳定性稳定性问题。问题。 弹性力学完整地体现了弹性力学完整地体现了变形体力学模型变形体力学模型中的中的弹性建弹性建模问题模问题，建立弹性力学的，建立弹性力学的基本方程基本方程和和边界条件边界条件，并对，并对一些简单问题进行一些简单问题进行解析求解解析求解。同时，对于复杂问题进。同时，对于复杂问题进行行数值求解数值求解（如变分法、有限单元法）。（如变分法、有限单元法）。弹性力学的基本概念弹性力学的基本概念 其他物体对研究对象（弹性体）的作用其他物体对研究对象（弹性体）的作用 力，包括力，包括体力体力和和面力面力。 符号：符号：坐标正向为正，负向为负。坐标正向为正，负向为负。定义：定义：作

3、用在物体表面上的力作用在物体表面上的力 ，其，其 量纲为量纲为 ，如压力和接触力。，如压力和接触力。0limSS Ff12L MT符号：符号：坐标正向为正，负向为负。坐标正向为正，负向为负。定义：定义：分布在物体体积内的力分布在物体体积内的力 ，其，其 量纲为量纲为 ，如重力、惯性力。，如重力、惯性力。 22L MT0limVV Ff表示：表示：矢量矢量 在坐标轴上的投影在坐标轴上的投影 。 ,xyzffff表示：表示：矢量矢量 在坐标轴上的投影在坐标轴上的投影 。 ,xyzffff符号：符号：正面正向为正，负面负向为正。正面正向为正，负面负向为正。 物体本身不同部分之间相互作用的力。物体本身

4、不同部分之间相互作用的力。斜截面上的应力：斜截面上的应力：过任一点的任一斜过任一点的任一斜截面上单截面上单位面积的内力位面积的内力 ，其量纲为，其量纲为 。 12L MT0limAA Fp弹性力学的基本概念弹性力学的基本概念表示：表示：正应力正应力 切应力切应力或或投影分量投影分量,xyzppp正截面（或坐标面）上的应力：正截面（或坐标面）上的应力：过任一点的三过任一点的三个坐标面个坐标面上单位面积的内力值。上单位面积的内力值。 xxy： 面上沿面上沿 向正应力向正应力xx： 面上沿面上沿 向切应力向切应力yx表示：表示： 应力分量应力分量定义：定义：形状（形状（长度长度和和角度角度）的改变。

5、以过任一）的改变。以过任一 点的点的沿坐标正向三个微分线段沿坐标正向三个微分线段的改变。的改变。正应变（或线应变）：正应变（或线应变）：,xyz切应变（或剪应变）：切应变（或剪应变）：,xyyzzx表示：表示：正应变：正应变：伸长伸长时为时为正正，缩短时为负，缩短时为负切应变：切应变：直角变小直角变小时为时为正正，变大时为负，变大时为负符号：符号：弹性力学的基本概念弹性力学的基本概念定义：定义：位置位置的移动。位移是矢量，其量纲为的移动。位移是矢量，其量纲为L。在坐标轴上的投影分量：在坐标轴上的投影分量：, ,u v w表示：表示：沿坐标轴正向为正，负向为负沿坐标轴正向为正，负向为负符号：符号

6、： 物体是物体是 因此，应力与应变的关系可用因此，应力与应变的关系可用胡克定律胡克定律表示（物理线性）表示（物理线性）1 1、完全弹性、完全弹性2 2、线性弹性、线性弹性 物体是连续的。因此，各物理量（如应物体是连续的。因此，各物理量（如应 力、应变、位移等）可用连续函数表示。力、应变、位移等）可用连续函数表示。 材料性质采用的材料性质采用的基本假定基本假定及其在建立弹性力学基本及其在建立弹性力学基本理论中的作用：理论中的作用： 物体是由同一材料组成的。因此，物体物体是由同一材料组成的。因此，物体 的弹性的弹性E、等与位置坐标等与位置坐标 无关。无关。( , , )x y z弹性力学的基本假定

7、弹性力学的基本假定 物体的弹性在所有各个方向都相同。因物体的弹性在所有各个方向都相同。因此，弹性此，弹性E、等与方向无关，且可看作常数。等与方向无关，且可看作常数。 位移和变形是微小的。应用：位移和变形是微小的。应用： 1 1、简化平衡条件简化平衡条件；2 2、简化几何方程简化几何方程 弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围范围: :理想弹性体的小变形问题。理想弹性体的小变形问题。弹性力学的基本假定弹性力学的基本假定符合上述四个假定的物体，称为符合上述四个假定的物体，称为理想弹性体。理想弹性体。 6 6个独立的应力分量个独立的应力分量xyzxyxzyz

8、 6 6个独立的应变分量个独立的应变分量,xyzxyxzyz弹性力学的基本物理量弹性力学的基本物理量 3 3个位移分量个位移分量,u v w基本已知量：基本已知量：基本未知量：基本未知量：物体的物体的形状形状和和尺寸尺寸、物体所受的、物体所受的外力外力（体力体力和和面力面力）、）、边界上的约束边界上的约束、物体的、物体的弹性常数弹性常数。注注：基本基本未知未知量都量都是是位位置坐置坐标的标的函数函数微分体的微分体的平衡条件平衡条件微分线段上应变与位移的微分线段上应变与位移的几何关系几何关系应力与应变之间的应力与应变之间的物理关系物理关系在弹性体的边界在弹性体的边界S面上面上: : 最后，在最后

9、，在边界条件边界条件下求解下求解基本方程基本方程，得出，得出应力应力、形变形变和和位移位移。在给定在给定面力面力的边界上，根据的边界上，根据平衡平衡条件条件来建立来建立在给定在给定约束约束的边界上，根据的边界上，根据约束约束条件条件来建立来建立在弹性体区域在弹性体区域V内：内：弹性力学的研究方法弹性力学的研究方法什么是平面问题？什么是平面问题？基本理论是什么？基本理论是什么？ 弹性力学平面问题应看作弹性力学平面问题应看作是空间问题的简化，共有是空间问题的简化，共有3个应个应力分量、力分量、3个应变分量、个应变分量、2个位个位移分量，共计移分量，共计8个未知函数个未知函数，且且均为均为 。,f

10、x y这种简化：这种简化：分析和计算量减小、结果满足工程分析和计算量减小、结果满足工程 精度要求、但简化有条件！精度要求、但简化有条件！2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题1.1.几何形状：几何形状：物体是很薄物体是很薄的等厚度板，即：的等厚度板，即：z 向尺向尺寸远小于板面尺寸。寸远小于板面尺寸。 2.2.外力特点外力特点: :体力和面力体力和面力均平行于均平行于xoy 面作用，且面作用，且沿板厚均匀分布。沿板厚均匀分布。 注：注：(1)(1)力学中的力学中的“薄薄”往往意味着力学量不沿厚度变化。往往意味着力学量不沿厚度变化。 (2)(2)加上外力垂直厚度方向

11、、且不沿厚度变化，使这种加上外力垂直厚度方向、且不沿厚度变化，使这种 不变性更合理。不变性更合理。3.3.应力特点：应力特点：薄板的前后自由面：薄板的前后自由面： 0zzxzy体力和面力沿板厚体力和面力沿板厚均匀分布；均匀分布；等厚度薄板；等厚度薄板；在薄板内的任一点处在薄板内的任一点处 ，因此只，因此只有三个平面应力分量有三个平面应力分量 ；0zzxzy,xyxy 三个平面应力分量三个平面应力分量 沿沿z 轴没有变化，轴没有变化，即应力只是即应力只是 x, y 的的函数。函数。,xyxy 3 3、各点沿、各点沿z 向的位移、应变一般并不等于零。向的位移、应变一般并不等于零。2 2、应力分量只

12、是、应力分量只是x、y的函数；的函数；平面应力问题的平面应力问题的本质特征：本质特征：1 1、只有三个平面应力分量：、只有三个平面应力分量： ； ,xyxy例如：沿例如：沿x 或或y 向拉伸时，沿向拉伸时，沿z 向会收缩向会收缩工程中的平面应力问题工程中的平面应力问题yfyfxy深深 梁梁平面应变问题的平面应变问题的基本特征：基本特征： 1.1.几何形状几何形状: : z向尺寸远大于向尺寸远大于xoy面的尺寸，为等截面面的尺寸，为等截面 的长柱体的长柱体( (理论上无限长）。理论上无限长）。 2.2.外力特点：外力特点：外力（体力和面力）均平行于外力（体力和面力）均平行于xoy 面，面， 且沿

13、且沿z 轴无变化。轴无变化。xyz3 3变形特点：变形特点： 图中当柱体无限长时，图中当柱体无限长时，任意任意垂直于垂直于z 轴的横截面都轴的横截面都是无限长柱体和载荷的是无限长柱体和载荷的对称面对称面, ,因此有因此有xyz对称面对称面( , )( , )0uu x yvv x yw平面位移问题平面位移问题0zxzy0zxzy, , , xxyyyzzzxuvuxxyvwvyyzwuwzzx0( , )( , )( , )zzxzyxxyxxyxyx yx yx y空间问题的几何方程空间问题的几何方程代入代入( , )( , )0uu x yvv x yw注意：注意：一般来讲一般来讲0z平面

14、应变问题平面应变问题（平面位移问题）的（平面位移问题）的本质特征本质特征且应变分量只是且应变分量只是x、y的函数。的函数。只有三个平面应变分量只有三个平面应变分量 ， ,xyxy0zyzxz),(),(),(yxyxyxxyxyxyxx本质特征本质特征隧隧 道道yox工程中的工程中的平面应变问题平面应变问题oyx挡土墙挡土墙判断平面应力问题和平面应变问题的关键是判断平面应力问题和平面应变问题的关键是它们它们的本质的本质特征特征oxyz符合平面应变问题的本质特征符合平面应变问题的本质特征例（例（P32习题习题2-4）( , )( , )0uu x yvv x yw),(),(),(yxyxyxx

15、yxyxyxx等厚度薄板等厚度薄板左右左右边缘上边缘上无无z z 向向位移位移在弹性体区域在弹性体区域V内：内：2-2 2-2 平面问题的基本方程平面问题的基本方程微分体的微分体的平衡条件平衡条件应力与应变之间的应力与应变之间的物理关系物理关系微分线段上应变与位移的微分线段上应变与位移的几何关系几何关系ifiu面力面力体力体力给定的给定的位移值位移值域内的域内的位移位移边界上边界上的位移的位移边界上边界上的应力的应力域内的域内的应力应力域内的域内的应变应变外力外力位移位移静力平衡静力平衡几何协调几何协调应力应力物理方程物理方程应力应力边界边界条件条件平衡平衡微分微分方程方程几何几何方程方程位移

16、位移边界边界条件条件如图从平面应力（变）物体内任取一如图从平面应力（变）物体内任取一微分体微分体, ,其中平面问其中平面问题的厚度取为题的厚度取为1 1，长为，长为d dx，宽为，宽为d dy。 表示物体内任一点的微分体的表示物体内任一点的微分体的平衡条件平衡条件。平衡微分方程平衡微分方程边界上的边界上的平衡条件平衡条件如何建立？如何建立？xyxyyxxyyxyxxfyffxyousS体力：体力： 。应力：应力：作用于各边上，作用于各边上， 并表示出正面上并表示出正面上 由坐标增量引起由坐标增量引起 的的应力增量。应力增量。,xyff平衡微分方程平衡微分方程问：问：在一点的应力状态分在一点的应

17、力状态分析中，单元体正面为什么析中，单元体正面为什么没有考虑应力增量没有考虑应力增量？答：答：前者考虑的是一微分体，前者考虑的是一微分体，后者考虑的是一个点。后者考虑的是一个点。xyxyyxxyyxyxxfyf微分体的平衡微分体的平衡yxxyxxyyxyx点的单元体点的单元体xo应用应用连续性连续性和和小变形小变形假定：假定：222( , )( , )1(d , )( , )d(d )2( , )( , )ddxxxxxxxxxx yx yxx yx yxxxxx yx yxxxx dyyyyy dxyxyxyxx dyxyxyxyy 类似地，有：类似地，有：xyxyyxxyyxyxxfyf因

18、为单元体是微小的，所以因为单元体是微小的，所以作用于各边上的作用于各边上的应力可以认应力可以认为是均匀的为是均匀的，由单元体的平，由单元体的平衡条件：衡条件：0 xF (d )d1d1(d )d1d1dd10yxxxxyxyxxxyyyxxyxfxy xyxyyxdyyyydxxxxdxyxyxxdyxyxyyxfyf化简后，两边除以化简后，两边除以d dxd dy：0 xyxxfyx同理，同理， ： 0yF 0yxyyfxy最后，最后， ： 0CMyxxy平衡微分方程：平衡微分方程：00 xyxxxyyyfxyfxy用矩阵形式表达：用矩阵形式表达：00 xxxxyxyyyyff 代表弹性体区

19、域内任意点的代表弹性体区域内任意点的平衡条件平衡条件； 适用的条件适用的条件连续性、小变形；连续性、小变形； 应力不能直接求出；应力不能直接求出； 体现体力分量与应力分量之间的关系；体现体力分量与应力分量之间的关系； 对于两类平面问题都适用。对于两类平面问题都适用。对平衡微分方程的说明：对平衡微分方程的说明：考虑考虑有限体有限体 的平衡（近似）。的平衡（近似）。V考虑考虑微分体微分体 的平衡（精确）。的平衡（精确）。Vd考虑考虑整体整体 的平衡（只决定整体的运动的平衡（只决定整体的运动状态）。状态）。V三门力学中平衡条件的比较三门力学中平衡条件的比较： 当当 均平衡时，保证均平衡时，保证 、

20、平衡；反之则不平衡；反之则不然。因此，弹性力学的平衡条件是严格的、精确的。然。因此，弹性力学的平衡条件是严格的、精确的。 VdVV理力（理力（ V ）材力（材力（ ）dVhx b弹力（弹力（ ）dd d1VxyhV dxdy dx三门力学中平衡条件的比较三门力学中平衡条件的比较：几何方程几何方程 表示弹性体内任一点的微分线段上应变表示弹性体内任一点的微分线段上应变与位移之间的关系。与位移之间的关系。过点过点P(x, y)作两条沿坐标正向的微分线段：作两条沿坐标正向的微分线段：d , dPAxPBy变形前变形前的位置的位置: : :( , ):(d , ):( , d )Px yAxx yBx

21、yyd ,duvux vxxxd ,duvuy vyyy设设P点的位移点的位移: : ( , ), ( , )u x yv x y变形后，变形后，, , PAB变形后的位置：变形后的位置：A点的位移：点的位移：(d , ), (d , )u xx yv xx yB点的位移：点的位移：( ,d ), ( ,d )u x yyv x yy变形前变形前与与变形后变形后的位置：的位置：dddd:(, ):(d, ):(, d)PuvuvPxyAxxyBxyAuxvxxxuvByyyuvyy沿沿x方向方向的正应变的正应变: :(d )dxuuxuuxxxdduxxx注：相对于是高阶小量(d )dyvvy

22、vvyyy切切应变（应变（ ）: :ddddddxyuvyxuvyxuvyxxxyyxy沿沿y方向的正应变方向的正应变: : 适用于区域内任一点适用于区域内任一点；说明：说明：, , xyxyuvvuxyxy于是，平面问题的于是，平面问题的几何方程：几何方程： 适用条件：适用条件：a.连续性；连续性；b.小变形。小变形。 应用应用小变形假定，略去了高阶小量小变形假定，略去了高阶小量 线性的几何方程；线性的几何方程； 几何几何方程是变形后物体连续性方程是变形后物体连续性条件的反映条件的反映 和和必然结果。必然结果。应变应变和位移之间的关系和位移之间的关系：从从物理概念物理概念看，各点的位置确定，

23、则微分线看，各点的位置确定，则微分线段上的应变确定。段上的应变确定。 从从数学推导数学推导看，位移函数确定，则其导数看，位移函数确定，则其导数（应变）确定（应变）确定 。应变确定，位移不完全确定应变确定，位移不完全确定： 从从物理概念物理概念看，看， 确定，物体还可作刚体位移。确定，物体还可作刚体位移。 、位移确定，应变完全确定：位移确定，应变完全确定：从从数学推导数学推导看，看， 确定，求位移是积分运算，确定，求位移是积分运算，出现待定函数。出现待定函数。、00, uuy vvx 几几何何方方程程1( , )( )u x yf y0 xxu0yyv2( , )( )v x yfx刚体位移：刚

24、体位移：0 xyvuxy12d ( )d ( ) ddf yfxyx物理意义：物理意义：00,u v 表示物体绕原点的刚体转动表示物体绕原点的刚体转动表示表示x, y向的刚体平移向的刚体平移结论：结论：应变确定，则与应变有关的位移可以确定，而与应变无关的刚体位移则未定,须通过边界上的约束条件边界上的约束条件（位移边界条件）（位移边界条件）来确定。00, uuyvvx刚体位移：刚体位移：物理方程（胡克定律）物理方程（胡克定律）2(1)EG E 弹性模量弹性模量表示应力与应变之间的物理关系。表示应力与应变之间的物理关系。11() , 11() , 11() , xxyzxyxyyyzxyzyzzz

25、xyzxzxEGEGEG广广义义胡胡克克定定律律弹弹性性常常数数G 切变模量切变模量 泊松比泊松比注：注：只要两个独立的弹性常数只要两个独立的弹性常数理理想想弹弹性性体体)(xyzE平面平面应力应力问题的物理方程问题的物理方程平平面面应应力力问问题题0, 0zzxzy本本质质特特征征平面应力分量平面应力分量代入代入广义广义胡克胡克定律定律11()()2(1)xxyyyxxyxyEEE，物物理理方方程程22()1()12(1)xxyyyxxyxyEEE用应力表示应变：用应力表示应变：平面平面应力应力问题中物理方程的两种形式：问题中物理方程的两种形式：1()1()2(1)xxyyyxxyxyEEE

26、用应变表示应力：用应变表示应力：两种表达形式两种表达形式在位移解法中在位移解法中在应力解法中在应力解法中两种基本解法两种基本解法()zyx 平面平面应变应变问题的物理方程问题的物理方程平平面面应应变变问问题题0, 0zzxzy本本质质特特征征平面应变分量平面应变分量代入代入广义广义胡克胡克定律定律222(1)()1111()xxyxyxyyyxEEE，物物理理方方程程两类平面问题中两类平面问题中物理方程物理方程的的比较比较两类平面问题的物理方程不同，只需将平面应力问题中两类平面问题的物理方程不同，只需将平面应力问题中21EE换为换为 ，即得平面应变状态的公式。即得平面应变状态的公式。 1换为换

27、为 ，11()()2(1)xxyyyxxyxyEEE，应应力力问问题题222(1)()1111()xxyxyxyyyxEEE，应应变变问问题题归纳与总结：两类平面问题归纳与总结：两类平面问题1()1()2(1)xxyyyxxyxyEEE或或可见，可见，8 8个个基本方程，基本方程，8 8个个基本未知量基本未知量，由于是，由于是偏微分方程偏微分方程，故不能求解，还必须考虑弹性体的故不能求解，还必须考虑弹性体的边界条件边界条件，才能求解。，才能求解。归纳与总结：基本方程归纳与总结：基本方程22()()21(1)111xxyyyxxyxyEEE物物理理方方程程0,0 xyxyyxxyffxyxy平衡

28、微分方程平衡微分方程,xyxyuvuvxyyx几几 何何 方方 程程思考与练习思考与练习1.1.两类平面问题的基本特征与本质特征是什么？两类平面问题的基本特征与本质特征是什么？2.2.平衡微分方程仅体现了物体内的平衡条件，对平衡微分方程仅体现了物体内的平衡条件，对于边界上的平衡条件如何建立？于边界上的平衡条件如何建立？应力边界条件应力边界条件3.3.几何方程体现了物体内的变形规律，对于刚几何方程体现了物体内的变形规律，对于刚体位移应如何来确定？体位移应如何来确定？位移边界条件位移边界条件5.5.如何理解基本方程体现了弹性体内的共性特征，如何理解基本方程体现了弹性体内的共性特征，边界条件体现了弹性体边界上的个性特征。边界条件体现了弹性体边界上的个性特征。4.4.如何理解基本方程（平衡微分方程、几何方如何理解基本方程（平衡微分方程、几何方程、物理方程）都是线性方程？程、物理方程）都是线性方程？