三角函数的图象与性质学案.pdf

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1、学习必备欢迎下载学案 19 三角函数的图象与性质导学目标： 1. 能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、 余弦函数在区间0,2 上的性质 ( 如单调性、 最大值和最小值以及与x轴的交点等 ) ，理解正切函数在区间2，2内的单调性自主梳理1三角函数的图象和性质函数ysin x ycos x ytan x图象定义域值域周期性奇偶性单调性在_上增，在_上减在_上增，在_上减在定义域的每一个区间_内是增函数2. 正弦函数ysin x当 x_时，取最大值1；当 x_ 时，取最小值1. 3余弦函数ycos x当 x_时，取最大值1；当 x_时，取

2、最小值1. 4ysin x、y cos x、 ytan x 的对称中心分别为_、 _、_. 5ysin x、ycos x 的对称轴分别为_和_，ytan x 没有对称轴自我检测1(2010十堰月考) 函数 y Asin(x ) (A， ，为常数， A0， 0)在闭区间 ，0上的图象如图所示，则为 ( ) A1 B 2 C3 D4 2函数ysin2x3图象的对称轴方程可能是( ) Ax6Bx12学习必备欢迎下载Cx6Dx123 (20 10 湖 北 ) 函 数f(x) 3 sinx24， xR的 最 小 正 周 期 为( ) A.2BC2D44(2010北京海淀高三上学期期中考试) 函数 f(x

3、)(sin x cos x)2cos 2x 的最小正周期为( ) A4B 3C2D5 如果函数y3cos(2x )的图象关于点43，0 中心对称，那么 | |的最小值为 ( ) A.6B.4C.3D.2探究点一求三角函数的定义域例 1(2011衡水月考)求函数 y2log12xtan x的定义域变 式 迁移1函 数y 12cos x lg(2sin x 1) 的定义 域为_探究点二三角函数的单调性例 2求函数 y2sin4x 的单调区间变式迁移 2 (2011南平月考)(1) 求函数 ysin32x ， x ， 的单调递减区间；(2) 求函数 y3tan6x4的周期及单调区间方法提炼1熟记 y

4、sin x， ycos x，ytan x 的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础2求形如 yAsin(x )k 的单调区间时， 只需把 x 看作一个整体代入ysin x 的相应单调区间即可， 注意 A 的正负以及要先把化为正数求 yAcos(x )k 和 yAtan(x ) k 的单调区间类似探究点三三角函数的值域与最值例 3已知函数f(x)2asin(2x3)b 的定义域为 0 ，2 ，函数的最大值为1，最小学习必备欢迎下载值为 5，求 a 和 b 的值变式迁移 3 设函数 f(x)acos xb 的最大值是1，最小值是 3，试确定 g(x)bsin(ax3)的周期例 4(2012 湖北

5、高考 )设函数 f(x)sin2x 23sin x cos x cos2x (xR)的图象关于直线 x对称，其中 ， 为常数，且 12，1 . (1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)若 yf(x)的图象经过点4，0 ，求函数f(x)的值域方法提炼1求 三角函数周期的方法：(1)利用周期函数的定义；(2)利用公式： yAsin(x )和 yAcos(x )的最小正周期为2| |，ytan(x )的最小正周期为| |；(3)利用图象转化与化归思想的应用例(12 分 ) 求下列函数的值域：(1) y 2sin2x2cos x2；(2) y3cos x3sin x，x0，2；(3) ysin xc

6、os xsin xcos x. 学习必备欢迎下载例设 f(x)asin 2xbcos 2x，其中 a，b R， ab0 ，若 f(x) f6对一切 xR 恒成立，则f11120 f710f5f(x)既不是奇函数也不是偶函数f(x)的单调递增区间是k 6，k 23(k Z) 存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交以 上结论正确的是_(写出正确结论的编号)【突破思维障碍】1对于形如f(x)Asin(x )，xa，b的函数在求值域时，需先确定x 的范围，再求值域同时，对于形如 yasin x bcos x c 的函数，可借助辅助角公式，将函数化为ya2b2sin(x ) c 的形式，从

7、而求得函数的最值2关于 y acos2xbcos xc(或 yasin2xbsin xc)型或可以为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题提醒：不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域1熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式( 组) 2三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题3函数 yAsin(x ) (A0， 0)的单调区间的确定，基本思想是把x 看作一个整体，利用ysin x的单调区间来求( 满分： 75 分) 一、选择题 ( 每

8、小题 5 分，共 25 分) 1(2011黄山月考) 已知函数ysin x 的定义域为 a，b，值域为 1，12，则 ba的值不可能是() A.3B.23CD.432 (2010安徽6 校高三联考 ) 已知函数ytan x ( 0)与直线 ya 相交于 A、 B 两点，且 |AB| 最 小 值 为， 则 函 数f(x) 3 sin x cos x 的 单 调 增 区 间 是( ) A.2k 6，2k 6(kZ) B. 2k 3，2k 23(kZ) 学习必备欢迎下载C. 2k 23，2k 3(kZ) D. 2k 6，2k 56(kZ) 3函数 f(x) tan x( 0)的图象的相邻的两支截直线

9、y4所得线段长为4，则 f4的值是() A0 B 1 C 1 D.44 函数 y xcos x 的部分图象是图中() 5(2011三明模拟) 若函数 ysin xf(x)在4，34上单调递增，则函数f(x)可以是( ) A1 Bcos xCsin xD cos x题号12345 答案二、填空题 ( 每小题 4 分，共 12 分) 6设点 P 是函数 f(x)sin x 的图象 C 的一个对称中心，若点P 到图象 C 的对称轴的距离的最小值是8，则 f(x)的最小正周期是_7函数f(x) 2sin x4对于任意的xR，都有f(x1) f(x) f(x2)，则 |x1x2|的最小值为_8(2010

10、江苏 ) 定义在区间0，2上的函数y6cos x 的图象与y 5tan x 的图象的交点为 P，过点 P 作 PP1x 轴于点 P1，直线 PP1与 y sin x 的图象交于点P2，则线段 P1P2的长为 _三、解答题 ( 共 38 分) 9(12 分)(2011 厦门月考) 已知函数f(x)2cos4x3cos2x1cos 2x，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性10(12 分)(2010 福建改编) 已知函数f(x)2sin(x 6)a( 0)与 g(x)2cos(2x )1 的图象的对称轴完全相同(1)求函数 f(x)的最小正周期；学习必备欢迎下载(2)求函数 f(x)的单调递减区间

11、；(3)当 x0，2时， f(x)的最小值为2，求 a 的值11(14 分)(2010 安徽合肥高三二模) 已知向量a(sin x，2 3sin x)，b(2cos x，sin x)，定义 f(x)a b3. (1)求函数 yf(x)，xR 的单调递减区间；(2)若函数 yf(x ) (0 0，tan x0 ，x k 2kZ，得0 x4 ，kxk 2kZ.所以函数的定义域为x|0 x0?cos x12sin x12，解得3 2kx532k ，kZ62kx0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：把“ x ( 0)” 视为一个 “ 整体 ” ；A0 (A0)时，所列不

12、等式的方向与ysin x(x R)，ycos x(xR)的单调区间对应的不等式方向相同(反)解y2sin4x 可看作是由y2sin u与 u4x 复合而成的又 u4x 为减函数，由 2k 2 u2 k 2(kZ)，即 2k 24x2 k 2(kZ)，得 2k 4 x 2k 34(kZ)，即 2k 4， 2k 34(k Z)为y2sin4x 的递减区间由 2k 2 u2 k 32(kZ)，即 2k 24x2 k 32(k Z)，得 2k 54 x 2k 4(kZ)，即 2k 54， 2k 4(k Z)为y2sin4x 的递增区间综上可知， y2sin4x 的递增区间为2k 54， 2k 4(kZ

13、)；递减区间为2k 4， 2k 34(kZ)变式迁移 2解(1)由 ysin32x ，得 y sin 2x3，由2 2k2x322k ，得12kx512k ， kZ，又 x ， ，学习必备欢迎下载 x 712 ，12 x512 ，1112 x.函数ysin32x ，x ， 的单调递减区间为 ，712，12，512 ，1112 ，. (2)函数 y3tan6x4的周期T14 4.由 y3tan6x4得 y 3tanx46，由2 kx462k 得43 4kx0，则2ab13ab 5，解得a1263b 23 123；若 a0，则ab1ab 3，解得a2b 1；若 a0，则ab 3ab1，解得a 2b

14、 1. 所以 g(x) sin(2x3)或 g(x) sin(2x3)，周期为.课后练习区1A画出函数 ysin x 的草图 (图略 )，分析知 ba 的取值范围为23，43，故选 A. 2B由题意知，函数的最小正周期为 ，则 1，故 f(x)3sin x cos x2sin x6的单调增区间满足：学习必备欢迎下载2k 2 x62 k 2(kZ) 解得 2k 3 x2 k 23. 3A 4D 5D因为 ysin xcos x2sin(x4)，2 x42，即4 x34，满足题意，所以函数 f(x)可以是 cos x 6.2解析依题意得T48，所以最小正周期T2. 74解析由 f(x1) f(x)

15、 f(x2)知， f(x1)、f(x2)分别为 f(x)的最小值和最大值，而当x42k 2，即 x8k 2 ( kZ)时， f(x)取最小值；而x42k 2，即 x8k 2 ( kZ)时， f(x)取最大值，|x1x2|的最小值为4.8.23解析线段 P1P2的长即为sin x 的值，且其中的x 满足 6cos x5tan x，x0，2，解得 sin x23.所以线段P1P2的长为23. 9解由题意知 cos 2x0 ，得 2x k 2，解得 xk24(kZ)f(x)的定义域为 x|xR，且 xk24， kZ(3分) 又 f(x)2cos4x3cos2x1cos 2x2x2x2cos2x1co

16、s2x1 sin2x， (6分) 又定义域关于原点对称，f(x)是偶函数 (8分) 显然 sin2x1,0，又 xk24，kZ， sin2x 12. 原函数的值域为y|1 y12或12y0. (12 分) 10解(1)f(x)和 g(x)的对称轴完全相同，二者的周期相同，即 2，f(x)2sin(2x6)a(3 分) f(x)的最小正周期T22 . (4 分) 学习必备欢迎下载(2)当 2k 22 x62 k 32，k Z，即 k 6 x k 23(kZ)时，函数f(x)单调递减，故函数 f(x)的单调递减区间为k 6， k 23(k Z) (8分) (3)当 x0，2时，2x66，76，(1

17、0分) 2sin(2 26)a 2，a 1. (12分) 11解f(x)2sin xcos x2 3sin2x3 sin 2x 2 31cos 2x23 sin 2x3cos 2x 2sin2x3. (4分) (1)令 2k 22 x32 k 32，k Z，解得单调递减区间是k 512，k 1112， kZ. (8分) (2)f(x )2sin 2x2 3. 根据三角函数图象性质可知，yf(x ) 0 2在 x0 处取最值，sin 2 3 1，2 3k 2， k2512，kZ. (12分) 又 0 2，解得 512. (14分) 解析： 由 f(x) f6对一切 xR 恒成立知，直线x6是 f

18、(x)的对称轴，又 f(x)a2b2sin(2x )其中 tan ba的周期为 ，f1112 f634可看作 x6的值加了34个周期f1112 0，故正确7102330，5630，710和5与对称轴的距离相等学习必备欢迎下载f710f5，故不正确x6是对称轴，sin 26 1. 3 22k ，kZ. 62k或 56 2k ，kZ. tan ba13，a3b. f(x)2|b|sin 2x6或 f(x)2|b|sin 2x56. f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故正确由以上知， f(x)2|b|sin 2x6的单调递增区间为3k ，6k，kZ，f(x)2|b|sin 2x56的单调递增区间为6k ，23k，kZ，由于 f(x)的解析式不确定，单调递增区间也不确定，故不正确f(x)asin 2x bcos 2xa2b2sin(2x )其中 tan ba，a2 b2 f(x) a2b2. 又 ab0 ， a0 ，b0.a2 b2ba2b2. 过点 (a，b)的直线必与函数f(x)的图象相交，故不正确答案：