数学优质课件精选——极坐标系ppt.ppt

19.4.1极坐标系,,学习要点：极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，在这两种坐标系中都可以确定点的位置，其各有特点。通常情况下，在运动的过程中，若点作平移变动，则选择直角坐标系；而若点作旋转变动，则采用极坐标系。,,●,●,●,●,o,P,P(x,y),P(x,y,z),,,,,,（1）在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应；,（2）在平面直角坐标系上，平面上所有点的集合与全体有序实数对（x,y）的集合建立一一对应；,（3）在空间直角坐标系上，空间上所有点的集合与全体三元有序实数对（x,y,z）的集合建立一一对应；,复习回顾,4.1.1直角坐标系,直角坐标系,数轴,,空间直角坐标系,平面直角坐标系,,,,,R,（x,y),（x,y,z),,,,复习回顾,建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:,（1）若图形有对称中心，则可选对称中心为坐标原点；,（2）若图形有对称轴，则可选择对称轴为坐标轴；,（3）建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。,建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系中，应满足：任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置；而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。,复习回顾,选择适当的坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。,,巩固练习,O,F,A,E,B,D,C,,,,（1）若有一艘军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定他们的位置以便将它们引爆呢？,,,军舰,水雷群,创设情境,,创设情境,从这向北1000米,请问去农行路怎么走？,,,,请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？,从这向北走1000米！,出发点,方向,距离,在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。,情境分析,一、极坐标系的建立：,在平面内取一个定点O，叫做极点。,引一条射线Ox，叫做极轴。,再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。,这样就建立了一个极坐标系。,,O,新课讲解,二、极坐标系内一点的极坐标的规定:,,对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从Ox到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。,特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从Ox到OM的角度，即以Ox（极轴）为始边，OM为终边的角。,新课讲解,题组1：说出下图中各点的极坐标,,练一练,①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？,特别规定:当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。,想一想？,三、点的极坐标的表达式的研究:,如图：OM的长度为4，,请说出点M的极坐标的其他表达式.,思考：这些极坐标之间有何异同？,思考：这些极角有何关系？,这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。,本题点M的极坐标统一表达式：,极径相同，不同的是极角。,新课讲解,题组2：在极坐标系里描出下列各点,练一练,,解析：,四、1、负极径的定义,说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。,对于点M（，）负极径时的规定：,[1]作射线OP，使XOP=,[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=;如图示：,新课讲解,2、负极径的实例,在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置,[1]作射线OP，使XOP=/4,[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3;如图示：M（－3，/4）,新课讲解,●,,题组3：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标,,练一练,3、关于负极径的思考,“负极径”真是“负”的吗？根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？,思考：试把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？,？？？,新课讲解,,,4、正、负极径时，点的确定过程比较,,[1]作射线OP，使XOP=/4,[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3,[1]作射线OP，使XOP=/4,[2]在OP的上取一点M，使OM=3,画出点:（3，/4）和（－3，/4）,给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点。,5、负极径的实质,从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。,,而反向延长也可以看成是旋转，因此，所谓“负极径”实质是针对方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”。,,负极径小结：极径变为负，极角增加。,答：（－6，+π）,或（－6，－+π）,特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥0。因为负极径只在极少数情况使用。,五、极坐标系下点的极坐标,,探索点M（3，/4）的所有极坐标,[1]极径是正的时候：,[2]极径是负的时候：,六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。,[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。,原因在于：极角有无数个。,新课讲解,一般地,若(ρ,θ)是一点M的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)或(－ρ,θ+(2k+1)π)都可以作为它的极坐标.,若限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤π,,则除极点外,平面内的点和极坐标就可一一对应了.,六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是(),A.(－ρ,θ)B.(－ρ,－θ)C.(－ρ,θ＋π)D.(－ρ,π－θ),C,D,题组41.在极坐标系中，与点(－3,)重合的点是(),A.(3,)B.(－3,－)C.(3,－)D.(－3,－),3.在极坐标系中,与点(－8,)关于极点对称的点的一个坐标是(),A.(8,)B.(8,－)C.(－8,)D.(－8,－),A,[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？,[1]建立一个极坐标系需要哪些要素？,极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。,[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？,无数.极径有正有负；极角也有正负且无数个。,有.（ρ，2kπ+θ）,课堂小结,或（-ρ，2kπ+θ+π）,课堂小结,1、极坐标（ρ，2kπ+θ）和（-ρ，2kπ+θ+π）其中表示同一个点（ρ，θ）；,2、点M（ρ，θ）关于极点的对称点的一个坐标为（-ρ，θ）或（ρ，π+θ）；,3、点M（ρ，θ）关于极轴的对称点的一个坐标为（ρ，-θ）或（-ρ，π-θ）；,4、点M（ρ，θ）关于直线的对称点的一个坐标为（-ρ，-θ）或（ρ，π-θ）；,课外作业,