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1、人教A版（2019）必修第二册 8.2 立体图形的直观图一、单选题1埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，胡夫金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米.因年久风化，胡夫金字塔现高约为136.5米，则与建成时比较顶端约剥落了（）A8米B10米C12米D14米2若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，则原四
2、边形的面积为（）A12B6CD3一个菱形的边长为，一个内角为，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为（）.ABCD4如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（）A20B12CD5如图，一个水平放置的图形的直观图是一个等腰直角三角形，斜边长，那么原平面图形的面积是（ ）A2BCD6已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF=90，则球O的体积为ABCD7如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，则平面图形ABCD的面积为（ ）AB2CD38已知
3、水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，那么是一个（）A直角三角形B等边三角形C钝角三角形D三边互不相等的三角形9某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）A2BCD110采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的A倍B倍C倍D倍11某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最长棱的长度为（）A2BCD412球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面距离.已知正的项点都在半径为的球面上，球心到所在平面距离为，则、
4、两点间的球面距离为（）ABCD二、填空题13水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是个边长为2的正方形，则原平面四边形OABC的面积为_.14如图，矩形是平面图形斜二测画法的直观图，且该直观图的面积为8，则平面图形的面积为_.15已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_.16水平放置的矩形，则其直观图的面积为_.三、解答题17如图所示，三棱柱中，若，分别为，的中点，平面将三棱柱分成体积分别为，的两部分，那么等于多少?18如图，是水平放置的斜二测画法
5、的直观图，能否判断的形状并求边的实际长度是多少？19用斜二测画法画出如图所示的五边形的直观图.(不写作法，保留作图痕迹)20画出图中水平放置的四边形的直观图.21用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，判断下列命题的真假.（1）三角形的直观图还是三角形；（2）平行四边形的直观图还是平行四边形；（3）正方形的直观图还是正方形；（4）菱形的直观图还是菱形.参考答案：1B由题设条件求出建成时的高度，从而得出答案.【详解】，（米）故选：B2C由斜二测画法的直观图，还原原图形为直角梯形，从而即可计算原图形的面积.【详解】解：因为，所以由斜二测画法的直观图知可，所以由斜二测画法的画法规则还原原图形，如
6、图：所以，所以梯形的面积为故选：C3C根据斜二测画法的规则，求出对角线的长度，根据图形，求直观图的面积.【详解】由条件可知，较长的对角线的长度是，较短的对角线的长度是，根据斜二测画法的规则可知，菱形直观图的面积 故选：C4A根据斜二测法求得且，进而求出，即可得结果.【详解】由题设，则原四边形中，又，故，且，所以四边形的周长为.故选：A5B根据斜二测画法可得原图形为直角三角形，运算即可得解.【详解】根据斜二测画法可得原图形为如图所示，因为是等腰直角三角形，根据斜二测画法可得为直角三角形，所以原平面图形的面积是.故选：B.6D先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直
7、径，从而得解.【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，又，分别为、中点，又，平面，平面，为正方体一部分，即 ，故选D解法二:设，分别为中点，且，为边长为2的等边三角形，又中余弦定理，作于，为中点，又，两两垂直，故选D.本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决7D根据斜二测画法的规则确定原图形形状，结构得出面积【详解】由三视图知原几何图形是直角梯形，如图，面积为故选：D8B根据斜二测直观图的画法判断【详解】在轴上，在轴，因此，在原图形中，三角形为等边三角形故选：B9A如图截面为，P为MN的中点，设
8、，进而可得面积最大值.【详解】如图所示，截面为，P为MN的中点，设,当时，此时截面面积最大.故选：A易错点睛：先求出面积的函数表达式进而判断最大值，本题容易误认为垂直于底面的截面面积最大.10D根据斜二测画法中原图形面积与直观图面积的关系式即可得出答案.【详解】解：斜二测画法中原图形面积与直观图面积的关系式所以故选：D11C由三视图得出该四棱锥为正四棱锥，再结合勾股定理得出答案.【详解】由三视图可知，该四棱锥为正四棱锥，正方形底面的边长为侧棱长为，即最长棱的长度为故选：C12C设球心为点，计算出，利用扇形弧长公式可求得结果.【详解】设球心为点，平面截球所得截面圆的半径为，由正弦定理可得，又，所
9、以，为等边三角形，则，因此，、两点间的球面距离为.故选：C.思路点睛：求球面距离，关键就是要求出球面上两点与球心所形成的角，结合扇形的弧长公式求解，同时在计算球的截面圆半径时，利用公式（其中为截面圆的半径，为球的半径，为球心到截面的距离）来计算.13根据原图形与斜二测画法直观图之间的关系，还原原图形即可求解.【详解】，还原回原图形后，原图形的面积为故答案为：14根据直观图形和原图形面积之间的比例关系求解即可【详解】根据直观图与原图的面积比值为定值，可得平面图形的面积为.故答案为：.15.根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径【详解】由题意四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助
10、勾股定理，可知四棱锥的高为，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，故圆柱的体积为本题主要考查了圆柱与四棱锥的组合，考查了空间想象力，属于基础题.16作出矩形的斜二测直观图，结合平行四边形的面积公式可求得结果.【详解】利用斜二测画法作出直观图，如图所示，产生平行四边形，其中，过点作于，则，则.故答案为：.17如图，分别延长到，到，到，且，根据体积的大小关系得到答案.【详解】如图，分别延长到，到，到，且，连接，则得到三棱柱，且.延长，则与相交于点.因为，所以.连接，则，所以，故本题考查了组合体的体积比，意在考查学生的空间
11、想象能力和计算能力.18答案见解析由斜二测画法规则知：，从而易得边的实际长度【详解】根据斜二测画法规则知：，故为直角三角形，中，故.结论点睛：(1)还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与轴、轴平行的直线或线段.平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段还原时长度变为原来的倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可；(2)求图形的面积，关键是能先正确画出图形，然后求出相应边的长度，再利用公式求解；(3)原图的面积与直观图的面积之间的关系为.19答案见解析根据斜二测画法作图即可.【详解】如图(1)，将A点和原点O重合，AB和x轴重合，AE与y轴重合.通过C分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、I，
12、通过D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为F、G；如图(2)，作坐标系，轴和轴夹角为45，在轴上取点，使得：与重合，；如图(2)，在轴上取点，使得：，；如图(2)，过作轴平行线，过作轴平行线，两平行线交于；过作轴平行线，过作轴平行线，两平行线交于；如图(2)，依次连接、即可完成作图20图见解析.在四边形中，过作出轴的垂直确定坐标，进而利用斜二测画法画出直观图.【详解】由斜二测画法：纵向减半，横向不变；即可知A、C在对应点，而B、D对应点位置不变，如下图示： 21（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题；（4）假命题.根据三角形、平行四边形、正方形、菱形的直观图的性质，判断出命题的真假性.【详解】（1）三角形的直观图还是三角形，为真命题.（2）平行四边形的直观图还是平行四边形，为真命题.（3）正方形的直观图，边长不全相等，不是正方形，所以命题为假命题.（4）菱形的直观图，边长不全相等，不是菱形，所以命题为假命题.本小题主要考查斜二测画法，属于基础题.学科网（北京）股份有限公司
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