2021_2021学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法课时素养评价含解析新人教A版选修2_.doc

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1、课时素养评价十九数学归纳法(15分钟30分)1.对于不等式n+1(nN*),某同学应用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时,1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时,不等式成立,即k+1,则当n=k+1时,=n2+1对于nn0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()A.2B.3C.5D.6【解析】选C.令n0分别取2,3,5,6,依次验证即得.4.已知f(n)=1+(nN*),用数学归纳法证明f(2n)时,f(2k+1)-f(2k)=_.【解析】因为假设n=k时,f(2k)=1+,当n=k+1时,f(2k+1)=1+,所以f(2k+1)-f(2k)=1+-=+.答

2、案:+5.在数列an,bn中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(nN*).求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测an,bn的通项公式,并证明你的结论.【解析】由已知得2bn=an+an+1,=bnbn+1,a1=2,b1=4,由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.猜想an=n(n+1),bn=(n+1)2.用数学归纳法证明如下:当n=1时,可得结论成立.假设当n=k(kN*)时,结论成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么当n=k+1时,ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(

3、k+1)=(k+1)(k+2),bk+1=(k+2)2.所以当n=k+1时,结论也成立.由可知,an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数n都成立.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设f(n)=1+(nN*),那么f(n+1)-f(n)等于()A.B.-C.-D.【解析】选D.因为f(n+1)=1+,f(n)=1+,所以f(n+1)-f(n)=.2.下面四个判断中,正确的是()A.式子1+k+k2+kn(nN*)中,当n=1时,式子的值为1B.式子1+k+k2+kn-1(nN*)中,当n=1时,式子的值为1+kC.式子1+(nN*)中,当n=1时,式子的值为1+D

4、.设f(n)=+(nN*),则f(k+1)=f(k)+【解析】选C.A中,n=1时,式子=1+k;B中,n=1时,式子=1;C中,n=1时,式子=1+;D中,f(k+1)=f(k)+-.3.用数学归纳法证明不等式+(n2,nN*)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边()A.增加了一项B.增加了两项,C.增加了B中两项但减少了一项D.以上各种情况均不对【解析】选C.因为n=k时,左边=+,n=k+1时,左边=+,所以增加了两项,少了一项.4.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为()A.5(5k-2k)+32kB.(

5、5k-2k)+45k-2kC.(5-2)(5k-2k)D.2(5k-2k)-35k【解析】选A.假设n=k时命题成立,即5k-2k能被3整除.当n=k+1时,5k+1-2k+1=55k-22k=5(5k-2k)+52k-22k=5(5k-2k)+32k.5.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)k2成立时,总可推出f(k+1)(k+1)2成立”.那么,下列命题总成立的是()A.若f(3)9成立,则当k1时,均有f(k)k2成立B.若f(5)25成立,则当k5时,均有f(k)k2成立C.若f(7)k2成立D.若f(4)=16成立,则当k4时,均有f(k)k2成立【解析】

6、选D.对于A,f(3)9,加上题设可推出当k3时,均有f(k)k2成立,故A错误.对于B,要求逆推到比5小的正整数,与题设不符,故B错误.对于C,没有奠基部分,即没有f(8)82,故C错误.对于D,f(4)=1642,由题设的递推关系,可知结论成立.二、填空题(每小题5分,共15分)6.平面上有n条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域,则k+1条直线把平面分成的区域数f(k+1)=f(k)+_.【解析】当n=k+1时,第k+1条直线被前k条直线分成(k+1)段,而每一段将它们所在区域一分为二,故增加了k+1个区域.答案:k+17.用数学归纳法证明关

7、于n的恒等式,当n=k时,表达式为14+27+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,表达式为_.答案:14+27+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)28.观察下列等式,照此规律,第n个等式为_.1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49【解析】将原等式变形如下:1=1=122+3+4=9=323+4+5+6+7=25=524+5+6+7+8+9+10=49=72由图知,第n个等式的左边有2n-1项,第一个数是n,是2n-1个连续整数的和,则最后一个数为n+(2n-1)-1=3n-2,右边是左边项数2n-1的平方,故有n+

8、(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2三、解答题(每小题10分,共20分)9.用数学归纳法证明:1+1+n(nN*).【证明】(1)当n=1时,1+,命题成立.(2)假设当n=k(kN*)时命题成立,即1+1+k,则当n=k+1时,1+1+2k=1+.又1+0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an),nN*.(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列an的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的结论.【解析】(1)因为a1=1,所以a2=f(a1)=f(1)=;a3=f(a2)=;a4=f(a3)=.猜想an=(n

9、N*).(2)易知,n=1时正确.假设n=k时正确,即ak=,则ak+1=f(ak)=.这说明,n=k+1时也正确.由知,对于任意nN*,都有an=.已知函数f(x)=ax-x2的最大值不大于,又当x时,f(x).(1)求a的值.(2)设0a1,an+1=f(an),nN*,证明:an.【解析】(1)由题意,知f(x)=ax-x2=-+.又f(x)max,所以f=.所以a21.又当x时,f(x),所以即解得a1.又因为a21,所以a=1.(2)用数学归纳法证明:当n=1时,0a1,显然结论成立.因为当x时,0f(x),所以0a2=f(a1).故n=2时,原不等式也成立.假设当n=k(k2,kN*)时,不等式0ak成立.因为f(x)=ax-x2的对称轴为直线x=,所以当x时,f(x)为增函数.所以由0ak,得0f(ak)f.于是,0ak+1=f(ak)-+-=-.所以当n=k+1时,原不等式也成立.根据,知对任何nN*,不等式an成立.