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1、第二章 基本初等函数、导数及其应用 2.4 函数的奇偶性与周期性课时规范训练 理 北师大版A级基础演练1(2015高考广东卷)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()AyByxCy2x Dyxex解析:A选项定义域为R,由于f(x)f(x),所以是偶函数B选项定义域为x|x0,由于f(x)xf(x),所以是奇函数C选项定义域为R,由于f(x)2x2xf(x),所以是偶函数D选项定义域为R,由于f(x)xexx,所以是非奇非偶函数答案:D2定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x20,)(x1x2),有0,则()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(
2、3) Df(3)f(1)0(x1,x20,),f(x)是0,)上的增函数,f(1)f(2)f(2)0时,f(x)1,则当x0时,f(x)1,当x0,f(x)f(x)(1),即x0,求实数m的取值范围解:由f(m)f(m1)0,得f(m)f(m1),即f(1m)f(m)又f(x)在0,2上单调递减且f(x)在2,2上为奇函数,f(x)在2,2上为减函数,即解得1m.8(2016辽宁大连质检)函数f(x)的定义域为Dx|x0,且满足对于任意x1,x2D,有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;(3)如果f(4)1,f(x1)2,且f(x)
3、在(0,)上是增函数,求x的取值范围解:(1)对于任意x1,x2D,有f(x1x2)f(x1)f(x2),令x1x21,得f(1)2f(1),f(1)0.(2)令x1x21,有f(1)f(1)f(1),f(1)f(1)0.令x11,x2x,有f(x)f(1)f(x),f(x)f(x),f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2,由(2)知,f(x)是偶函数,f(x1)2f(|x1|)f(16)又f(x)在(0 ,)上是增函数0|x1|16,解得15x17且x1.x的取值范围是x|15x0,则x的取值范围是_解析:f(x)是偶函数,图像关于y轴对称又f(2)0,且f(x)在0,)
4、单调递减,则f(x)的大致图像如图所示,由f(x1)0,得2x12,即1x3.答案:(1,3)6设f(x)是(,)上的奇函数,且f(x2)f(x),下面关于f(x)的判定:其中正确命题的序号为_f(4)0;f(x)是以4为周期的函数;f(x)的图像关于x1对称;f(x)的图像关于x2对称解析:f(x2)f(x),f(x)f(x2)(f(x22)f(x4),即f(x)的周期为4,正确f(4)f(0)0(f(x)为奇函数),即正确,又f(x2)f(x)f(x),f(x)的图像关于x1对称,正确,又f(1)f(3),当f(1)0时,显然f(x)的图像不关于x2对称,错误答案:7(2016广东湛江月考
5、)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x2)f(x)当x0,2时,f(x)2xx2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x2,4时,求f(x)的解析式;(3)求f(0)f(1)f(2)f(2 016)的值解:(1)证明:f(x2)f(x),f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)当x2,0时,x0,2由已知得f(x)2(x)(x)22xx2,又f(x)是奇函数,f(x)f(x)2xx2,f(x)x22x.又当x2,4时,x42,0,f(x4)(x4)22(x4)又f(x)是周期为4的周期函数,f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.从而求得当x2,4时,f(x)x26x8.(3)f(0)0,f(2)0,f(1)1,f(3)1,f(4)0.又f(x)是周期为4的函数,f(0)f(1)f(2)f(3)0,f(4)f(5)f(6)f(7)0.f(0)f(1)f(2 016)0.6