2022年高一数学必修一第一章集合与函数知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高 一 数 学 必 修 1 第 一 章 知 识 点 总 结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：1 元素的确定性如：世界上最高的山2 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y 3 元素的无序性 : 如： a,b,c 和a,c,b 是表示同一个集合3.集合的表示： 如： 我校的篮球队员 ,太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 1 用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 2 集合的表示方法：列举法与描述法；留意：常用数集及其记法：非负整数

2、集（即自然数集）记作： N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1） 列举法： a,b,c 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,x R| x-32 ,x| x-32 写在大括号内表示集合的方法；3） 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4） Venn 图: 4、集合的分类：1 有限集含有有限个元素的集合例： x|x2=52 无限集含有无限个元素的集合3 空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1. “ 包含” 关系子集名师归纳总结 留意：AB有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分,；（2）A 与 B 是同一集合；B或第 1 页,共 7 页反之 : 集

3、合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合A, 记作 AB 或 BA 2“ 相等” 关系：A=B 55,且 55,就 5=5 实例：设A=x|x2-1=0 B=-1,1 “ 元素相同就两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集；AA 真子集 :假如 AB,且 AB 那就说集合A 是集合 B 的真子集,记作ABA 假如A B, BC , 那么 AC 假如 A B 同时BA 那么 A=B - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为学习必备欢迎下载规定 : 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集；有 n 个元素的集

4、合,含有 2n个子集, 2n-1个真子集三、集合的运算运算交集并集补集类型定由全部属于A 且属由全部属于集合A 或设 S 是一个集合, A 是S 义于 B 的元素所组成属于集合 B 的元素所S 的一个子集, 由 S 中韦的集合 ,叫做 A,B 的组成的集合,叫做 A,B全部不属于A 的元素交集 记作AB的并集 记作： AB组成的集合, 叫做 S 中（读作 A 交 B）,即（读作 A 并 B）,即子集A 的 补集 （或余AB= x|xA ,AB =x|xA ,或集）且 xBxB 记作C SA,即CSA=x|xS , 且 xA ABABS A 恩图 1图 2图示名师归纳总结 - - - - - -

5、 -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 性AA=A AA=A 学习必备欢迎下载C uB CuA 质A=A =A A = C u AB AB=BA AB=BCuA C uB ABA AB= C uAB ABB ABB AC uA=U AC uA= 例题：1.以下四组对象,能构成集合的是（）A 某班全部高个子的同学 B 闻名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合 a,b,c 的真子集共有 个3.如集合 M=y|y=x2-2x+1,x R,N=x|x 0,就 M 与 N 的关系是 . 4.设集合 A= x 1 x 2, B= x x a,如

6、A B,就 a 的取值范畴是5.50 名同学做的物理、化学两种试验,已知物理试验做得正确得有 40 人,化 学试验做得正确得有 31 人,两种试验都做错得有 4 人,就这两种试验都做对的有 人；6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合 M= . 7.已知集合 A=x| x2+2x-8=0, B=x| x 2-5x+6=0, C=x| x 2-mx+m 2-19=0, 如 BC ,AC= ,求 m 的值二、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx和它对应, 那

7、么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y=fx ,xA其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合 fx| x A 叫做函数的值域留意：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域；求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1 分式的分母不等于零；2 偶次方根的被开方数不小于零；3 对数式的真数必需大于零；4 指数、对数式的底必需大于零且不等于 1. 5 假如函数是由

8、一些基本函数通过四就运算结合而成的部分都有意义的x 的值组成的集合. 6 指数为零底不行以等于零,.那么,它的定义域是使各7 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义 . 相同函数的判定方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一样 两点必需同时具备 见课本 21 页相关例 2 2值域 : 先考虑其定义域 1 观看法 2 配方法 3 代换法 3. 函数图象学问归纳 1 定义：在平面直角坐标系中,以函数 y=fx , x A 中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 Px,y的集合 C,叫做函数 y=fx,x A的图象 C 上每一点的坐 标x,y均满意函数关系 y=fx

9、,反过来,以满意 y=fx 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 x,y,均在 C 上 . 2 画法 A、 描点法：B、 图象变换法常用变换方法有三种 1 平移变换2 伸缩变换 3 对称变换4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射名师归纳总结 一般地,设A、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就f,使对第 4 页,共 7 页于集合 A 中的任意一个元素x,在集合 B 中都有唯独确定的元素y 与之对应,那么就称对应f：AB 为从集合A 到集合 B 的一个映射；记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”- - - - - - -

10、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载对于映射 f：AB 来说,就应满意：1 集合 A 中的每一个元素,在集合 2 集合 A 中不同的元素,在集合B 中都有象,并且象是唯独的；B 中对应的象可以是同一个；3 不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象；6. 分段函数 1 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；2 各部分的自变量的取值情形3 分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集补充：复合函数假如 y=fuu M,u=gxx A, 就 y=fgx=Fxx A 二函数的性质1. 函数的单调性 局部性质 （1）增函数称为 f、g 的复合函

11、数；设函数 y=fx 的定义域为I,假如对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量 x 1,x 2,当 x 1x 2 时,都有 fx1fx 2,那么就说 区间 D 称为 y=fx 的单调增区间 . fx 在区间 D 上是增函数 .假如对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x 1,x2,当 x1x 2 时,都有 fx1fx 2,那么就说 fx在这个区间上是减函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调减区间 . 留意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=fx 在这一区间上具有 严格的 单调性, 在单调区间上增函数的图象

12、从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的 . 3. 函数单调区间与单调性的判定方法A 定义法：1 任取 x1,x2D,且 x1x 2；2 作差 fx1fx 2；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判定差 fx1fx 2的正负）；5 下结论（指出函数 fx在给定的区间 D 上的单调性） B 图象法 从图象上看升降 C复合函数的单调性复合函数fgx的单调性与构成它的函数u=gx ,y=fu 的单调性亲密相关,其规律：“ 同增异减”名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载留意：函数的单调区间只能

13、是其定义域的子区间 一起写成其并集 . 8函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数,不能把单调性相同的区间和在一般地,对于函数fx 的定义域内的任意一个x,都有 fx=fx ,那么fx 就叫做偶函数（2）奇函数一般地,对于函数fx 的定义域内的任意一个x,都有 fx= fx,那么 fx 就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特点 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判定函数奇偶性的步骤：1 第一确定函数的定义域,并判定其是否关于原点对称；2 确定 fx与 fx 的关系；3 作出相应结论： 如 f x = fx 或 fx fx = 0 ,就 fx 是偶函数； 如 fx

14、= fx 或 f x fx = 0 ,就 fx是奇函数留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件第一看函数的定义域是否关于原点对称,如不对称就函数是非奇非偶函数.如对称, 1 再依据定义判定 ; 2 由 f-xfx= 0 或 fxf-x=1 来判定 ; 3 利用定理, 或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式（ 1） .函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法就,二是要求出函数的定义域 . （2）求函数的解析式的主要方法有：1 凑配法2 待定系数法3 换元法4 消参法10 函数最大（小）值（定义见课本 p36 页）1 利用二次

15、函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）值3 利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：名师归纳总结 假如函数y=fx 在区间 a,b上单调递增,在区间b, c上单调递减就函数y=fx第 6 页,共 7 页在 x=b 处有最大值fb ；b, c上单调递增就函数y=fx假如函数y=fx 在区间 a,b上单调递减,在区间- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在 x=b 处有最小值fb ；学习必备欢迎下载例题：1.求以下函数的定义域：yx22x15y1x12x1x331 ,就函数f x2的定义域为 _ _ 2.设函数 f x 的定义域

16、为0,3.如函数f x1的定义域为 2,3,就函数f2x1的定义域是x2x1,如f x 3,就 x = 4. 函数f x 2 x 1x22 x x25. 求以下函数的值域：y2 x2x3xRyx22x3x1,2,0时 f x = 3yx12x4yx24x56. 已知函数f x12 x4x ,求函数f x ,f2 x1 的解析式7. 已知函数f x 满意 2 f 3 x4,就f x = ；8. 设 f x 是 R 上的奇函数,且当x0,时 ,f x x 13x ,就当xf x 在 R 上的解析式为9. 求以下函数的单调区间：名师归纳总结 yx22x33yx22x3yfx26x1第 7 页,共 7 页10.判定函数yx1的单调性并证明你的结论1 xfx1x2判定它的奇偶性并且求证：11.设函数fx 1x2- - - - - - -