数列求和方法归纳.pdf

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1、数列求和一、直接求和法（或公式法）掌握一些常见的数列的前n 项和：123 +n=(1)2n n，1+3+5+(2n-1)=2n2222123 +n =(1)(21)6n nn，3333123 +n =2(1)2n n等. 例 1 求2222222212345699100解：原式22222222(21 )(43 )(65 )(10099 )3711199由等差数列求和公式，得原式50(3199)50502变式练习 ：已知3log1log23x，求.32nxxxx的前 n 项和. 解：1n21二、倒序相加法此方法源于等差数列前n 项和公式的推导， 目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提

2、取，以便化简后求和. 例 2 求222222222222123101102938101的和解：设222222222222123101102938101S则222222222222109811012938101S两式相加，得21111 05SS，三、裂项相消法常见的拆项公式有：1()n nk1 11()knnk，1nkn1()nknk，1(21)(21)nn111()2 2121nn，等. 例 3 已知222112(1)(21)6nn nn，求22222222235721()11212312nnnN的和解：22221216112(1)(1)(21)6nnnann nn nn，11161223(1

3、 )1111161223116 11ln.1nSn nnnnn小结： 如果数列na的通项公式很容易表示成另一个数列nb的相邻两项的差，即1nnnabb ，则有11nnSbb .这种方法就称为裂项相消求和法. 变式练习： 求数列311，421，531，)2(1nn，的前 n 项和 S. 解：)2(1nn=211(21nn）Sn=)211()4121()311 (21nn=)2111211(21nn=42122143nn四、错位相减法源于等比数列前 n 项和公式的推导， 对于形如 nna b的数列，其中 na为等差数列， nb为等比数列，均可用此法. 例 4 求2335(21)nxxxnx 的和解

4、：当1x时，21122(1)(21)1(1)1nnnxxxnxSxxx；当1x时，2nSn 小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列nb的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前n 项和公式求和 . ) 1(2) 1(ann变式练习： 求数列 a,2a2,3a3,4a4,nan, (a 为常数 )的前 n 项和。解： （1）若 a=0, 则 Sn=0 （2）若 a=1,则 Sn=1+2+3+n=(1)2nn（3）若 a0 且 a1 则 Sn=a+2a2+3a3+4a4+ nan， aSn= a2+2 a3+3 a4+nan+1(1-a) Sn=a+ a2+ a3+an- nan+1=

5、 Sn= 当 a=0 时，此式也成立。Sn = 五、分组求和法若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求. 例 5 求数列11111246248162nn， ， ，的前 n项和nS 23411111111(2462 )(1)222222nnnSnn n变式练习： 求数列11111,2,3,4,392781的前 n 项和解：21122 3nnn数列求和基础训练1.等比数列na的前项和 S2，则2232221naaaa413n2.设1357( 1) (21)nnSn，则nS ( 1)nn . 3.1111447(32)(31)nn31nn. 4. 1111.243 54 6(1)(3)nn

6、= 1 11112 2323nn5. 数列2211,(12),(122 ),(1222),n的通项公式na12n，前 n 项和nS221nn111nnnaaaa)1(1)1(121aanaaaann) 1(1)1(121aanaaaann6 . ;,212,25,23,2132nn的前 n 项和为2332nnnS数列求和提高训练1数列 an满足： a11，且对任意的 m，nN*都有： amnamanmn，则20083211111aaaa( A ) A20094016B20092008C10042007D20082007解： amnamanmn， an1ana1nan1n，利用叠加法得到：2)1

7、(nnan，)111(2)1(21nnnnan，)200911 (2)20091200813121211(211112008321aaaa200940162数列 an、bn 都是公差为 1 的等差数列，若其首项满足a1b15，a1b1，且 a1，b1N*，则数列 nba 前 10 项的和等于( B ) A100 B85 C70 D55 解： ana1n1，bnb1n1 nbaa1bn1a1(b1 n1)1a1b1n25 n2n3 则数列 nba 也是等差数列，并且前10 项和等于：85102134答案： B. 3 设 m=12+23+34+(n-1) n， 则 m 等于( A ) A.3) 1

8、(2nnB.21n(n+4) C.21n(n+5) D.21n(n+7) 3解：因为a n = n2 - n.，则依据分组集合即得. 答案 ;A. 4 若 Sn=1-2+3-4+(-1)n-1 n， 则 S17+S3350等于( A ) A.1 B.-1 C.0 D.2 解：对前n 项和要分奇偶分别解决，即：Sn=)(2)(21为偶为奇nnnn答案： A 5设an 为等比数列 ,bn为等差数列，且b1=0,cn=an+bn,若数列 cn是 1,1,2,则 cn的前 10项和为( A ) A.978 B.557 C.467 D.979 解由题意可得a1=1,设公比为q,公差为 d,则2212dq

9、dqq2-2q=0,q 0, q=2,an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n, cn=2n-1+1-n,Sn=978. 答案： A 6. 若数列 an的通项公式是 an(1)n(3n2)，则 a1a2 a10( A ) A15 B.12 C12 D.15 解析 A设 bn3n2，则数列 bn 是以 1 为首项， 3 为公差的等差数列，所以a1a2 a9a10 (b1) b2 (b9)b10(b2b1)(b4b3) (b10 b9)5315. 7一个有 2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为解：设此数列 an,其中间项为a1001, 则 S奇=a1+a3+a5+

10、a2001=1001a1001,S偶=a2+a4+a6+ +a2000=1000a1001. 答案 : 100010018若 12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn，则 a= ,b= ,c= . 解：原式 =.6326) 12()1(23nnnnnn答案：61;21;319已知等差数列 an 的首项 a11，公差 d0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列 bn 的第二、三、四项 (1)求数列 an 与 bn的通项公式；(2)设数列 cn 对任意自然数 n 均有1332211nnnabcbcbcbc成立求 c1c2c3 c2014的值解： (1)由题意得 (a1d)(a1 13d

11、)(a14d)2(d0) 解得 d2， an2n1，可得 bn3n1(2)当 n1 时， c13；当 n2 时，由nnnnaabc1，得 cn23n1，故).2(32),1(31nncnn故 c1c2c3 c20143 23232 2320023201510.设数列 an为等差数列， Sn为数列 an 的前 n 项和，已知 S77，S1575，Tn为数列nSn的前 n 项和，求 Tn. 解析设等差数列 an的首项为a1，公差为d，则 Snna112n(n1)d.S77，S1575，7a121d7，15a1 105d75，即a13d1，a17d5，解 得a1 2，d1.Snn a112(n 1)

12、d 2 12(n1)Sn1n1Snn12，数列nSn是首项为 2，公差为12的等差数列Tn14n294n. 11.已知数列 an的首项 a123，an12anan1(1)证明：数列11na是等比数列； (2)求数列nan的前 n 项和 Sn. 解析(1)an12anan1，1an1an12an1212an，1an111121na，又 a123，1a11120，1an10，1an111an112，数列11na是以12为首项，12为公比的等比数(2)由(1)知1an 112nn21211即1an12n1nann2nn.设 Tn12222323n2n.则12Tn122223n 12nn2n1 ，得12Tn1212212312nn2n121121121nn2n1112nn2n1， Tn212n1n2n22n2n.又 123 nn n12，数列nan的前 n 项和 Sn22n2nn n12n2n42n22n. 选 择 是 难 ， 更 何 况 是 心 灵 选 择 。 高 渐 离 为 了 荆 轲 ， 他 选 择 了 死 ； 马 本 斋 母亲 为 了 革 命 ， 她 选 择 了 牺 牲 ； 祝 英 台 为 了 真 挚 爱 情 ， 她 选 择 了 化蝶 。 在 这 友 情 、 亲 情 与 爱 情 之 间 选 择 ， 他 们 是 这 样 做