2022年常微分方程.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章、一阶微分方程的初等解法教学目标 1. 懂得变量分别方程以及可化为变量分别方程的类型（齐次方程）,娴熟把握变量分别方程的解法；2. 懂得一阶线性微分方程的类型,娴熟把握常数变易法及伯努力方程的求解；3. 懂得恰当方程的类型,把握恰当方程的解法及简洁积分因子的求法；4. 懂得一阶隐式方程的可积类型,把握隐式方程的参数解法；教学重难点 重点是一阶微分方程的各类初等解法 教学方法 讲授,实践；教学时间 14 学时,难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法；教学内容 变量分别方程,齐次方程以及可化为变量分别方程类型,一阶线性微分方程及其常数变易法,

2、伯努利方程,恰当方程及其积分因子法,隐式方程；考核目标 1.一阶微分方程的初等解法：变量分别法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法；2.会建立一阶微分方程并能求解； 1 变量分别方程与变量变换1、 变量分别方程1 变量分别方程形如dy dxf x g y 或M1 x N1 y dxM2 x N2 y dy0 （2.1）的方程,称为 变量分别方程 ,其中函数f x 和g y 分别是,x y 的连续函数 . 2 求解方法假如 g y 0,方程 2.1可化为,dyf x dxg y 这样变量就分别开了 ,两边积分 ,得到dyf x dx c（2.2）g y 把

3、dy , f x dx 分别懂得为 1, f x 的某一个原函数 . g y 简洁验证由（ 2.2）所确定的隐函数 y , x c 满意方程（ 2.1）. 因而（ 2.2）是（ 2.1）的通解 . 假如存在 0y 使 g y 0 0,可知 y y 也是（ 2.1）的解 . 可能它不包含在方程的通解（2.2）中,必需予以补上 . 3 例题名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1 求解方程dy dxxy解将变量分别,得到ydyxdx两边积分,即得y2x2c222因而,通解为x2y2c这里的 c 是任意的正常数. 或解出

4、显式形式ycx2dyy2 cosx例 2 解方程dx并求满意初始条件：当x0时.y1的特解 . 解将变量分别,得到dycosxdxy2两边积分,即得1sin xcy因而,通解为ysin1cc ,得到c1x这里的 c 是任意的常数 .此外,方程仍有解y0.为确定所求的特解,以x0.y1代入通解中确定常数因而,所求的特解为名师归纳总结 y11x（2.3）第 2 页,共 27 页sin例 3 求方程dy dxP x y的通解,其中P x 是 x 的连续函数 . 解将变量分别,得到- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - dy yP x dx两边积分,即得lnyP x

5、 dxc%这里的 c%是任意常数 .由对数的定义,即有yeP x dx c %即令% c ec,得到ye e % cP x dxc0,就y0（2.4）yceP x dx此外,y0也是（ 2.3）的解 .假如在（ 2.4）中答应也就包括在（ 2.4）中,因而,（2.3）的通解为（ 2.4）,其中 c 是任意常数 . 注: 1. 常数 c 的选取保证 2.2式有意义 . 2. 方程的通解不肯定是方程的全部解 ,有些通解包含了方程的全部解,有些通解不能包含方程的所有解 . 此时,仍应求出不含在通解中的其它解 , 即将遗漏的解要补偿上 .3. 微分方程的通解表示的是一族曲线,而特解表示的是满意特定条件

6、 y x 0 y 的一个解,表示的是一条过点 x 0 , y 0 的曲线 . 2、可化为变量分别方程的类型1）.形如名师归纳总结 dygyt0有（2.5）第 3 页,共 27 页dxx的方程,称为齐次方程,这里的g u 是 u 的连续函数 .另外 , 对于方程dyM , x ydxN x y , 其中函数M x y 和N x y 都是 x 和 y 的 m 次齐次函数,即对M tx tym t M , x yN tx tym t N x y , 事实上,取t1,就方程可改写成形如2.5的方程 . x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - dym x M1, y

7、 x1, y xM1, y x1, y xdxm x NN 对方程dyf x y , （2.6）（2.7）（2.8）dx其中右端函数f x y 是 x 和 y 的零次齐次函数,即对t0有f tx tyf x y就方程也可改写成形如2.5的方程dyf1,ydxx对齐次方程（ 2.5）利用变量替换可化为变量分别方程再求解. 即 yux ,于是令uyxdyxduudxdx将（ 2.6）、（ 2.7）代入（ 2.5）,就原方程变为xduug u dx整理后,得到dug u udxx方程（ 2.8）是一个可分别变量方程,依据变量分别法求解,然后将所求的解代回原变量,所得的解便是原方程（ 2.5）的解 .

8、例 4 求解方程dy dxytgydyxdu dxu代入,就原方程变为xx解y这是齐次方程,以u,xdxxdu dxuutgu即dutgu（2.9）dxx分别变量,即有ctgududx x两边积分,得到ln sinulnxc%这里的 c%是任意的常数,整理后,得到名师归纳总结 sin ucx（2.10）第 4 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 此外,方程（2.9）仍有解tgu0,即 sinu0.假如（2.10）中答应c0,就 sinu0就包含在 （2.10）中,这就是说,方程（2.9）的通解为（ 2.10）. 代回原先的变量,得到原方程

9、的通解为例 5 求解方程xdy dx2xyysin y xcx（2.11）x0.解 将方程改写为2y xyx0dydxx这是齐次方程,以y xu,dyxdu dxu代入,就原方程变为dxxdu dx2u分别变量,得到两边积分,得到（2.11）的通解dudxxc2uxlnu即ulnxc 2lnxc02.12 这里的 c 是任意常数 .此外,（2.11）仍有解u0留意,此解不包括在通解（2.12）中 . 代回原先的变量,即得原方程的通解yx lnxc 2lnxc0及解y0. 原方程的通解仍可表为名师归纳总结 yx lnx 2 c ,lnx c0,y后,解出 yux ,再对两边第 5 页,共 27

10、页0,它定义于整个负半轴上. 注： 1. 对于齐次方程dygy的求解方法关键的一步是令udxxx求关于 x 的导数得dy dxuxdu,再将其代入齐次方程使方程变为关于,u x的可分别方程 . dx2. 齐次方程也可以通过变换vx而化为变量分别方程.这时 xvy ,再对两边求关于y 的导y- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 数得dx dyvydv,将其代入齐次方程dxfx使方程变为,v y的可分别方程dydyy小结：这一讲我们主要讲解了一阶微分方程的可分别变量法和齐次方程的dygy外形的解法 .dxx而这一齐次方程通过变量替换任然可化为可分别方程,因而,

11、肯定要娴熟把握可分别方程的解法. 2）形如dya xb yc 1a a2,b b c c 均为常数 . （2.13）dxa xb yc 2的方程经变量变换化为变量分别方程,这里的分三种情形来争论（1）c 1c20情形 . 这时方程（ 2.13）属齐次方程,有名师归纳总结 dya xb ygy（2.14）第 6 页,共 27 页dxa xb yx此时,令uy,即可化为变量可分别方程. x（2）a 1b 10,即a 1b 1的情形 . a 2b 2a 2b 2设a 1b 1k,就方程可写成a 2b 2dyk a xb yc 1f a xb ydxa xb yc2令a xb yu ,就方程化为dua

12、2b f u dx这是一变量分别方程. （3）a 1b 10 及c c 2不全为零的情形. a 2b 2这时方程（ 2.13）右端的分子、分母都是,x y 的一次式,因此a xb yc 10a xb yc 20代表 xy平面上两条相交的直线,设交点为 , .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 明显,0 或0 ,否就必有c 1c 20,这正是情形（ 1）（只需进行坐标平移,将坐标原点0,0 移至 , 就行了,如令（2.15）XxYy就（ 2.14）化为a XbY0a X 2b y 20从而（ 2.13）变为dYa XbYgY（2.16）dXa Xb YX因

13、此,得到这种情形求解的一般步骤如下：1解联立代数方程（2.14）,设其解为 x , y；2作变换（ 2.15）将方程化为齐次方程（2.16）；Y3再经变换 u 将（ 2.16）化为变量分别方程；X4求解上述变量分别方程,最终代回原变量可得原方程（2.13）的解 . 上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.13）更一般的方程类型dy a x b y c 1fdx a x b y c 2此外,诸如dy f ax dxbyc0y xy dxxg xy dyx2dyf xydxdyxfydx2 x以及M , xdx ydy N x y , xdy ydx 0（其中 M N 为 ,x y 的齐次函数,次

14、数可以不相同）等一些方程类型,均可通过适当的变量变换化为变量分别方程 . 名师归纳总结 例6求解方程y1（2.17）第 7 页,共 27 页dyxdxxy3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解解方程组xy10得x1,y2.xy30令xX1yY2代入方程（ 2.17）,就有dYXY（2.18）dXXY再令就（ 2.18）化为uYX1即YuX1c%X两边积分,得dX1uduX2uu2ln2lnu22 u因此记% cec 1,并代回原变量,就得2xX2u222u121c %ec 1y22Y2XYXc 121y2x此外,易验证u22 u10即Y22XYX20也

15、就是（ 2.18）的解 .因此方程（ 2.17）的通解为y22xyx26y2xc其中 c 为任意的常数 . 名师归纳总结 3、 应用举例第 8 页,共 27 页例 7 电容器的充电和放电如图（2.1）所示的 RC 电路,开头时电容C 上没有电荷,电容两端的电压为零 .把开关 K 合上“1” 后,电池 E 就对电容 C 充电,电容 C 两端的电压u 逐步上升,经过相当时间后,电容充电完毕,再把开关K 合上“2” ,这时电容就开头放电过程,现在要求找出充、放电过程中,电容C两端的电压u 随时间 t 的变化规律 . 解对于充电过程,由闭合回路的基尔霍夫其次定理,- - - - - - -精选学习资料

16、 - - - - - - - - - ucRIE（2.19）对于电容 C 充电时,电容上的电量Q 逐步增多,依据QCu ,得到（2.20）IdQd CuCCduCdtdtdt.将（ 2.21）分别变量,得到将（ 2.20）代入（ 2.19）,得到u 满意的微分方程（2.21）du cRC u c Edt这里 R 、 C 、 E 都是常数 .方程（ 2.21）属于变量分别方程duCdtuCERC两边积分,得到lnuCE1tc 1RC即1 t 1 tu C E e e c RC c e RC这里 c 2 e c 1为任意常数 . 将初始条件：t 0 时,u C 0 代入,得到 2c E . 1t所

17、以 u C E 1 e RC （2.22）这就是 R C 电路充电过程中电容 C 两端的电压的变化规律 .由（2.22）知道,电压 u C 从零开头逐渐增大,且当 t 时, C E ,在电工学中, 通常称 RC 为时间常数,当 t 3 时,u C 0.95 E ,就是说,经过 3 的时间后,电容 C上的电压已达到外加电压的 95%.有用上,通常认为这时电容 C的充电过程已基本终止 .易见充电结果 u C E . 对于放电过程的争论,可以类似地进行 . 例8 探照灯反射镜面的外形在制造探照灯的反射镜面时,总是要求将点光源射出的光线平行地射出去,以保证照灯有良好的名师归纳总结 方向性,试求反射镜面

18、的几何外形. 第 9 页,共 27 页解取光源所在处为坐标原点,而x 轴平行于光的反射方向,设所求曲面由曲线yf x （2.23）z0绕 x 轴旋转而成, 就求反射镜面的问题归结为求xy平面上的曲线yf x 的问题 ,仅考虑y0的部分 ,过曲线yf x 上任一点M x y 作切线 NT ,就由光的反射定律：入射角等于反射角,简洁推知- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 2从而OM ON留意到dy MPtg 2dx NP及 OP x MP y OM x 2y 2就得到函数 y f x 所应满意的微分方程式dy ydx x x 2y 2（2.24）这是齐次

19、方程 .由 2.12 知引入新变量 u x可将它化为变量分别方程 .再经直接积分即可求得方程的解 . y对 于 方 齐 次 方 程 （ 2.24 ） 也 可 以 通 过 变 换 v x 而 化 为 变 量 分 离 方 程 也 可 由 x yv 得ydx dvv y 代入（ 2.24）得到dy dydv 2v y v sgn y 1 vdy于是dysgnydv2（2.25）y1v积分（ 2.25）并代回原先变量,经化简整理,最终得y2c c2 （2.26）其中 c 为任意常数 . （2.26）就是所求的平面曲线,它是抛物线,因此,反射镜面的外形为旋转抛物面y2z2c c2 （2.27）.将各种类

20、型的求解步小结 : 本节我们主要争论了一阶可分别微分方程和齐次微分方程的求解问题骤记清晰的同时要留意对解的争论. 2 线性方程与常数变易法1、一阶线性微分方程名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - a x dyb x yc x 0dx在a x 0的区间上可以写成dyP x yQ x .这里假设（ 2.28）dx对于a x 有零点的情形分别在a x 0的相应区间上争论P x Q x 在考虑的区间上是x的连续函数 . 如Q x 0,（2.28）变为. （2.3）dy dxP x y称为一阶齐线性方程. 如Q x 0,（2.

21、28）称为一阶非齐线性方程2、常数变易法（2.3）是变量分别方程,已在例3 中求得它的通解为（2.4）yceP x dx这里 c 是任意的常数 . 下面争论一阶非齐线性方程（2.28）的求解方法 . 中 c 恒 c x ,方程 2.3与方程 2.28两者既有联系又有区分, 设想它们的解也有肯定的联系, 在2.4为常数时 ,它不行能是 2.28的解 ,要使 2.28具有形如 2.4的解 , c 不再是常数 ,将是 x 的待定函数为此令yc x eP x dx（2.29）两边微分,得到dydc x e dxP x dxc x P x eP x dx（2.30）dx将（ 2.29）、（2.30）代入

22、（ 2.28）,得到即dc x e dxP x dxc x P x eP x dxP x c x eP x dxQ x dc x Q x eP x dxdx积分后得到c x Q x eP x dxdxc%（ 2.31）这里 c%是任意的常数 .将（ 2.31）代入（ 2.29）,得到名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - yeP x dxQ x eP x dxdxc %（2.32） =ce %P x dxeP x dxQ x eP x dxdx这就是方程（ 2.28）的通解 . 这种将常数变易为待定函数的方法,通常称为

23、常数变易法.实际上常数变易法也是一种变量变换的方法 .通过变换（ 2.29）可将方程（ 2.28）化为变量分别方程. . （2.33）注: 非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和例1求方程x1dynyexxn 11的通解,这里的n 为常数 . dx解将方程改写为dyxn1yx exn 1dx先求对应的齐次方程dyxn1y0dx的通解,得令yyc xn 1（2.34）c x x1 n微分之,得到dydc x dxxn 1n x1 （2.35）dx以（ 2.34）、（2.35）代入（ 2.33）,再积分,得将其代入公式（c x exc%2.34）,即得原方程的通解exc%y

24、xn 1 这里 c%是任意的常数 . 例 2 求方程dy2xyy2的通解 . yx 及dx dy（2.36）dx解原方程改写为dx2xdyy把 x 看作未知函数,y 看作自变量,这样,对于来说,方程（ 2.36）就是一个线性方程了. 先求齐线性方程名师归纳总结 dx2x第 12 页,共 27 页dyy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的通解为令x2 c y y ,于是dxxcy22 c y y（2.37）dc y y dy2dy代入（ 2.36）,得到c y lnyc%从而,原方程的通解为这里 c%是任意的常数 ,另外y0xy2 c %lny也是方程的

25、解 .特殊的,初值问题dyP x yQ x dxy x 0y 0的解为y ce %xP dexP dxQ s esP ddsx0x 0x 0x 0例 3 试证y（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）如yy x 是（ 2.3）的非零解,而y% y x 是（ 2.28）的解,就（2.28）的通解可表为cy x % y x ,其中 c 为任意常数 . （3）方程（ 2.3）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解 . 证（1）设y 1,y 是非齐线性方程的两个不同的解,就应满意方程使dy 1py 1Q x 1dxdy 2py 2Q x

26、2dx（1）（ 2）有说明非齐线性方程任意两个解的差d y 1y 2p y 1y2. dxy 1y 是对应的齐次线性方程的解（2）由于名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - d cy x % y x cdy x d y x % pcy py %Q x p cy% y Q x dxdxdx故结论成立 . （3）由于d cyp cy,d y 1y2p y 1y2,d y 1y2p y 1y2dxdxdx故结论成立 . 3、Bernoulli 方程 形如的方程,称为伯努利（程化为线性方程来求解dyP x yQ x yn（n0

27、,1）（2.38）dxBernoulli ）方程,这里P x Q x 为 x 连续函数 . 利用变量变换可将伯努利方. 事实上,对于y0,用yn乘（ 2.38）两边,得到yndy1 ynP x Q x （2.39）dx引入变量变换zy1 n（2.40）从而dz1n yndy（2.41）（ 2.42）2.38）的通解 .此dxdx将（ 2.40）、 2.41）代入（ 2.39）,得到dz1n P x z1n Q x dx这是线性方程,用上面介绍的方法求得它的通解,然后再代回原先的变量,便得到（外,当n0时,方程仍有解y0. 例 4 求方程dy6yxy2的通解dxx解这是n2时的伯努利方程,令zy

28、1,得dzy2dydxdx代入原方程得到dz6zxdxx这是线性方程,求得它的通解为名师归纳总结 代回原先的变量y,得到zc2 x第 14 页,共 27 页x68- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1cx2yx68或者x68 xc.即将非齐线性方程对应y8这是原方程的通解. 此外,方程仍有解y0.例 5 求方程dyxy13的解dx3 x y解将方程改写为dxyx3 y x3dy这是一个自变量为y ,因变量为x 的伯努利方程 .解法同上 . 例 6 求方程dyy ex23x的通解dx这个方程只要做一个变换,令uey,dueydy,原方程改写为dxdxdu3

29、 x u 2x1u2dxx2便是伯努利方程. 小结 ;这次主要争论了一阶线性微分方程的解法.其核心思想是常数变易法的齐线性方程解的常数变易为待定函数,使其变易后的解函数代入非齐次线性方程,求出待定函数c x ,求出非齐次方程的解 .我们仍争论了伯努利方程,求解过程为,先变换,将原方程化为非齐线性方程,再求解 . 3 恰当方程与积分因子1、恰当方程的定义将一阶微分方程dyf , dx写成微分的形式名师归纳总结 f x y dxdy0. （2.43）把,x y 公平看待,对称形式的一阶微分方程的一般式为M x y dxN x y dy0第 15 页,共 27 页假设M x y,N x y 在某区域

30、 G 内是x y的连续函数,而且具有连续的一阶偏导数假如存在可微函数u x y ,使得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - duM x y dxN x y dy2.44 即uM x y , ,uN x y , . 2.45 xy就称方程 2.43为恰当方程 ,或称全微分方程. 在上述情形 ,方程 2.43可写成du x y , 0,于是u x y , C就是方程 2.43的隐式通解 ,这里 C 是任意常数 应使函数有意义2、 恰当方程的判定准就定理 1 设M , ,N x y 在某区域 G 内连续可微 ,就方程 2.43是恰当方程的充要条件是2.46 MN

31、, , x yGyx而且当 2.46成立时 ,相应的原函数可取为u x y , xM s y ds 0yN x t dt2.47 x 0y 0或者也可取为u x y , yN x t dt 0xM s y ds2.48 y 0x 0其中x 0,y0G 是任意取定的一点. 证明先证必要性 . 由于 2.43 是恰当方程 , 就有可微函数u x y 满意 2.45, 又知M x y,N x y 是连续可微的 ,从而有M2u2 uNyy xx yx下面证明定理的充分性,即由条件 2.46, 查找函数u x y ,使其适合方程 2.45. 从2.47可知u yN x y , uM x y0xyN x

32、t dtxy 0 =M x y 0yNx , x t dty 0 =M x y 0yMy , x t dtM x y , y 0即2.45成立 , 同理也可从 2.48推出 2.45. 名师归纳总结 例 1. 解方程第 16 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xydxx21dy0 2.49 2y解这里Mxy,N=2 x1, 就MyxNx, 所以 2.49 是恰当方程 . 由于 N 于y0处无意2y义, 所以应分别在y0和y0区域上应用定理2.3, 可按任意一条途径去求相应的原函数u x y . x2ylny先选取x 0,y00,1, 代

33、入公式 2.47 有uxxdx1 y x 2 21 dy0y2再选取x 0,y00,1, 代入公式 2.47 有dyx2ylnyuxx dxyx21012y2可见不论y0和y0, 都有ux2yln |y|2故方程的通解为x2yln |y|C . 23、恰当方程的解法名师归纳总结 上述定理已给出恰当方程的解法, 下面给出恰当方程的另两种常用解法. 第 17 页,共 27 页解法 1.已体会证方程为恰当方程, 从uxM x y 动身 , 有u x y , M x y dx x2y y 2.50 2其中 y 为待定函数 , 再利用uyN x y , 有x2 x21从而 122yy于是有 ln |y|只需要求出一个u x y , 因而省略了积分常数. 把它代入 2.50 便得方程的通解为ux2yln |y|C2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解法 2. 分项组合的方法对2.49 式重新组合变为于是xydxx2dy1 ydy02d