2022年常微分方程教材.docx

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1、一、教学目标及基本要求第九章 微分方程学习文档 仅供参考（ 1） 明白微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念；（ 2） 把握变量可别离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程；（ 3） 会用降阶法解以下方程：y nf x, yf x, y , yf y, y ；（ 4） 懂得二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理；（ 5） 把握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程；（ 6） 会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解；（ 7） 会用微分方程解决一些简洁的应用问题；二、本章教学内容的重点和难

2、点1、懂得和熟识微分方程的一些基本概念；2、把握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法；3、熟识线性方程的基础理论，把握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法；4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题；三、本章教学内容的深化和拓宽：1、别离变量法的理论依据；2、常用的变量代换；3、怎样列微分方程解应用题；4、黎卡提方程；5、全微分方程的推广；6、二阶齐次方程；7、高阶微分方程的补充；8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解；9、求线性非齐次方程的一个特解；10、常数变易法；本章的摸索题和习题解以下方程第 1-6 题1、 1x yxyx,xxy0222、 f xe32ef x0dx, f2可微2 1

3、X 2、 1xsin 2 y . y2xsinye4、 y 43x2 dy2xydx015、 y6、 y2 xyxyy0, y0y 21, y 02xf xdx求和；7、已知可微函数1f x 满意11f 2 xxf x1,f 1f x8、已知f axda0f x21, f可微 ,求f x ；9、求与曲线族2x 23 y2C 相交成 45 角的曲线；10、一容器的容积为100L ，盛满盐水，含 10kg 的盐，现以每分钟 3L 的速度向容器内注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内，余外的水便淡定器内流出，问经过多少时间，两容器内的含盐量相等？ 微分方程的基本

4、概念一、内容要点：先从实例引入建立几个微分方程的模型，引入微分方程的一系列概念；常微分方程：常微分方程的阶数、解、通解、全部解、特解、积分曲线族的定义； 二、教学要求和留意点明白微分方程与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解以及积分曲线说明 1：一个微分方程加上初始条件和初值问题的解是对某实际问题两种等价的描述形式；前者强调的是运动的过程， 是系统的机理；后者强调的就是运动的结果，是系统的输出；说明 2：可别离变量的微分方程虽然简洁，但它是求解各种微分方程的基础，要求同学必需娴熟把握；定义 1：称含有导数或微分的方程为微分方程，并称方程种最高阶导数的阶数为方程的阶数；如： yy 2xy1 二

5、阶方程；y 2xy0 一阶方程； yx 三阶方程，等等讲方程，都是为明白方程，前两个方程不好解，第三个方程好解；解之，yx，方程两边三次积分，得方程的解y1 x4241412CxCxC123212 C1, C2, C3为任意常数；当 y1 x4 时，也满意方程；可见24yx242C1xC2 xC3 包括了全部的解的形式；就称它为通解；定义 2：称满意微分方程的函数为方程的解；假设方程的解种含有相互独立的任意常数，常数的个数恰好等于方程的阶数，就称此解为方程的通解；称不含任意常数的解为方程的特解；注 1: 通解与特解只是方程的两类解，一阶方程的解要么是通解，要么是特解注 2：一阶方程的几种形式：

6、一般形式：F x,y, y 0 ，从这个方程种有可能解出y ，也有可能解不出来；一阶显式方程：yf x, y ；对称形式： dydxP x, yQ x, y或 PdxQdy0注 3：在一阶方程种，x和 y 的关系是等价的 .因此，有时可将 x 看成函数， y 看做变量； 可别离变量的微分方程一、内容要点：可别离变量的方程及其他可化为变量可别离的方程的定义及解法；本单元的讲课提纲：然后再讲详细的类型与解法可别离变量的方程与别离变量法；重点是微分方程的阶、通解与特解等概念，别离变量法；难点是利用微分方程建立数学模型关键是判别可别离变量方程的方法，以及详细积分方法；二、教学要求和留意点把握可别离变量

7、微分方程的解法留意问题： xdx 通常只表示一个原函数，积分常数C 有时写成ln C, ln C定义 1：称能改写为形式：f ydyg xdx 的一阶方程为可别离变量方程；注：不是全部的方程都能这样，故可别离变量方程为一阶线性方程的特别情形；定理 1：假设F yf y ， G xg x ，就f ydygxdx 的通解为F yG xC证： 1先证F yGxC 是方程的解；两边对 x 求导，得f y dydxg x ，即f ydygxdx故 F yGxC 是方程的解 2设 yx 是方程的任一解，就f x x dxg xdx两边关于 x 积分，得f x xdxg xdx又 F x 是f x 的一个原

8、函数，Gx 是g x 的一个原函数就 F xG xC ，即 yx 在F yGxC 中所以，F yG xC 为 f ydyg xdx 的通解；注 1:可别离变量方程的解法：先别离变量，再两边积分，即得通解；注 2：用来确定通解中的任意常数的条件，称为方程的初始条件；【例 1】 求 sinx cos ydxcos x sinydy0 的通解，并求满意初始条件y0的特解；4解：方程可变为sin x dxsin ydy ，两边积分，得ln cos xln cos yln Ccos xcos y即cos yC cos x为方程的通解；又 y0，代入，得4cosC cos 0C242即满意初始条件的特解为

9、cos y2 cos x2【例 2】 求 yx ye的通解；解：由 yex yexey ，别离变量，得 dyeyex dx ，两边积分，得e yexc ，即为方程的隐式通解；二、可化为齐次方程的方程x Xh经y Yk变换将行如 dydxax a1xby b1yc方程化为齐次方程；c1dy【例 3】 求dxxy1xy1的通解；x解：令yX hdY，就Y kdXXY hXY hk1k1hk10令hk10h0xX即k1yY1方程变为：dYdXXY，令 u XYY代入，得X1u2 du12uudX ，积分，得X212uu 2CX 2 ，由uY代回，得X通解为：12 y1y1xxCx2其中 C 为任意常

10、数 齐次方程内容要点：齐次方程的定义及求解公式，可化为齐次方程的定义以及解法本单元的讲课提纲齐次方程的判别和解法不算困难，难在查找相应的变量代换的问题，变量代换法比较敏捷，可多举一些各类型的例题，让同学多知识一些变量代换，以便同学活跃思路，积存体会；重点是齐次方程与变量代换法，难点是查找变量代换；作业：同步训练习题一、齐次方程dy定义 1：称能改写成形式：dxfy的微分方程为一阶齐次方程；x我们下面来看看齐次方程解的情形：令 uy ，即 y xux ，代入方程，得ux du dxf u ，别离变量，得dudxuf ux两边积分，解出 u ，再将 uy回代，即得通解；x【例 1】 求 yx2y2

11、 dxxdy0 的通解；解：原方程可化为dyydxx21 y，令 u xy ，即 y xux ，代入方程，得duuxu2dudx1u，化简dx1u 2x积分，得 u1u 2c ，将 u xy回代，得通解为 yxx2y2c二、可化为齐次方程的方程x Xh经y Yk变换将行如 dydxax a1xby b1yc方程化为齐次方程；c1【例 4】 求 dydxxy1 的通解；xy1x解：令yX hdY，就Y kdXXY hXY hk1k1hk10令hk10h0xX即k1yY1方程变为：dYdXXY，令 u XYY代入，得X1u12uu 2 dudX ，积分，得X12uu 2CX 2 ，由uY代回，得X

12、通解为：12 y1x2y1Cx2x其中 C 为任意常数 一阶线性微分方程一、内容要点 ：一阶线性微分方程的形式及求解公式，伯努利方程的形式及解法本单元的讲课提纲1讲线性非齐次的一阶方程的解法时，要交待变易常数的想法并加强练习，这对今后讲二阶线性方程和线性方程组的常数变易法是有益的；2导出线性非齐次一阶方程的求通解公式以后，可顺当导出满意条件yx0 y0 的特解公式，仍应指出两点：1n第一，当P x, Q x,C 时，线性方程的解总可通过两次积分求得，其次，揭示通解结构；重点是解线性非齐次方程的公式法与常数变易法；难点是伯努利方程；关键是套求解公式或常数变易法及凑微分或令二、教学要求和留意点1、

13、知道解一阶线性微分方程的常数变易法，并把握一阶非齐次线性方程的通解公式；2、 知道一阶非齐次线性方程的通解为对应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解之和3、齐次方程与线性齐次方程的作用yz 解伯努利方程；一、一阶线性微分方程定义 1：称可转化为形式：dydxP x yQ x(1) 的方程为一阶线性方程；假设Q x0 ，就 1式称为一阶线性齐次方程；Q x0 ，1式称为一阶线性非齐次方程；下面我们来看看方程1的解的情形：先看齐次方程：dyP x dxdyP x y0dx2 明显是可别离变量方程；得P xdx ，两边积分，得yyce3为一阶线性齐次方程2的通解；下面我们求 1的解，由方程 1和

14、2形式的相像性，那它们的解也具有某种相像性；我们用一种常数变易法来求 1的解：假设 ycxeP xdx为非齐次方程 1 的解，代入方程，得c xeP x dxP xcxeP x dxPxcxeP x dxQx就 c xeP x dxQx ，c xP x dxeQ x积分，得c xQ xeP x dxdxC就yQxeP x dxdxP x dxC e4即为方程 1的通解；【例 1】求 yytgxsecx 的通解；解：由于 yytgxsecx 为一阶线性非齐次方程，且P xtgx,Q xsec x ，代入 4，得其通解为ysec xetgxdxdxtgxdxC e xC secxdyy例 2求2的

15、通解；dx2 xy解： 假设将 y 看成函数， x 作为变量，此方程不是一阶线性方程；故将x 看成函数，y 作为变量，就原方程化为：dx2xy 2进一步化简，dx2 xy ，为一阶线性方程，P y2 , Q yydyydyyy代入 4，得方程的通解为xyCln y ；二、贝努力方程可化为一阶线性方程的方程定义 2：称形如： dydxP x yQx yn 的方程为一阶贝努力方程；下面我们看看贝努力方程的解的情形：将方程变形为y n dydxPx y1 nQ x ，令 zy1 n ，就方程化为dz1 dxn P xz1nQ x，为一阶线性方程，故可用上述方法求解，最终将zy1n代回，即得通解；1【

16、例 3】求 xyyy2 ln x0的通解；解：将方程变形，得y 2 y1 y 1xln x x，为贝努力方程；令zy，代入dzdx1所以 y1 zlnxx1x，利用 4，得 z为原方程的通解；ln x1Cx ，又 zy，ln xcx1 全微分方程一、内容要点：全微分方程的定义及其条件，解的表达式常见的积分因子；本单元的讲课提纲1、全微分方程的解法关键在于第一将方程写成Px, ydxQ x,ydy0验证 P yQ 假如成立，就可把上式写成xduPdxQdy0 解为 U x, yC ,求U x, y 有以下三种方法：1线积分法2偏积分法3分组观看凑全微分法2、假设P x,y dxQ x,Pydy0

17、 中yQ ，就可以寻求一个积分因子x x,y ，使得PyQ ，x即存在U x,y 使得 dUPdxQdyo 从而U x, yC 是通解；二、教学要求和留意点判定和求解全微分方程的方法；查找积分因子的分组观看法；定义 1：假如存在可微函数u x, y ，使 duP x, ydxQ x, ydy，就称P x, ydxQ x, ydy0 微全微分方程；命题： 1PdxQdy0 为全微分方程QP xy 2PdxQdyx20 的通解为1u x, yC ，其中ux, yxP x, y0 dxx 0yQ x, ydy ；y 0【例 1】求xydx2dyy0 的通解；2解：令 Pxy, Qx 21 Q，由于y

18、xP，故方程为全微分方程y所以 ux, yxP x, y0 dxx0yQ x, ydyy 0xxdx0yx2121 dy yx2 y2ln yC二、可化为全微分方程的方程积分因子定义 2：设PdxQdy0 不是全微分方程， 假如存在可微函数u x,y 使 uPdxuQdy0 为全微分方程， 就称u x, y为原方程的积分因子；注：积分因子不唯独，而且一般也没有什么固定的方法求解积分因子，故只有多积存才能有效的解题；【例 2】1 xdyydx0； 2xdxydy x2y2 x2dx0解：1 xdyydx 10x21 dy xy dx0dy0yc x2xx2 xdxydy x 2y2 x2dx10

19、x 2y2xdx x2ydy y 2x2 dx01 ln x2y2 d 1 x301 ln x2y2 1x32323dc 可降阶的高阶微分方程一、内容要点：可降阶的高阶微分方程的三种类型： 本单元的讲课提纲：1、关于高阶微分方程的解法y nf x,F x, y , y 0,F y, y , y 0 ，找出解的表达式及解法；求解的思路是通过变量代换把高阶方程的求解化为较低阶方程求解，教材介绍了三种可降阶方程的类型，对于不属于这三类方程的特别高阶方程有时也能通过换元或者全微分等手段变成这三种类型进行求解；2、 y nf x只需逐步积分即可求解，在求积分过程中每次都需增加一个常数，最终的解应包含n

20、个常数；3、可降阶的二阶微分方程通常的二阶微分方程为时肯定可以降阶求解； 二、教学要求和留意点F y, y , y0 ，有四个变数，仅当缺少dpdpx或y解方程 yf y, y 中令 yp的作用， y dyp的导出过程dy说明 1：求解全微分方程可暂不引入偏导数概念，对 x 求导时把 y 看成常数即可， 对积分因子只须介绍用目测可以解决的简洁情形；对于全微分的原函数概念可在格林公式以后介绍；说明 2：高阶线性微分方程的应用背景特别广泛，要针对不同的专业挑选不同的问题引入课题，这样能使同学对微分方程的学习产生爱好；定义 1：称二阶及二阶以上的微分方程为高阶微分方程；一、 yn f x连续积分 n

21、 次即得其通解；【例 1】 yex连续积分两次，得，yexc1xc2二、 yf x, y 跟标准形式相比，缺少y ；令 py ，就 py ，就 pf x, p ，设其通解为 p x,c2就y x, c ，两边积分即得通解；【例 2】求 yyx 的通解；解：令令 py ，就 py ，就 ppx2一阶线性方程x利用 4，得通解：px22x2c1e又 py，所以通解 y1 x3x2x32 xc1ec2三、 yf y, y 缺少 x令 py ，就 ydy dy dy dxdpdpp，代入，得p dydyf y, p设其通解为p y,c ，就 y y, c ，即dy y,cdx ，积分即得；3【例 3】

22、 y2y3 ，y0y 01 求特解；解：令 py ，就 ydpdpp，从而pdydy2 y ，pdp2 y3dy积分，得1 p 221 y 4c122由 y0y 01，得 c10所以 py2由y 01知 py2dydx所以1yxc2由 y011 知 c21y1x【例 5】 求 y1 y 2的通解；解：此题既缺少 x ，又缺少 y ；从理论上，按以上两种方法都能算出结果，但可能难度有差异；此题课堂上当场做，检查同学的才能；高阶线性微分方程一、内容要点：二阶线性微分方程的解的结构，高阶线性微分方程的解的结构，常数变易法，函数组线性无关的充分必要条件；本单元的教学提纲1、关于二阶线性微分方程的解的结

23、构齐次线性方程和非齐次线性方程都有解的可加性；非齐次线性方程的通解可表示为一个特解与相应齐次线性方程的通解之和；线性方程的通解包括了该方程的全部解；2、关于二阶线性方程只须知道齐次方程的一个特解，就利用常数变易法可求出它的全部解；3、对于二阶非齐次线性方程而言，假设相应的二阶齐次线性方程的通解为法找出其特解；本单元的作业：二、教学要求和留意点二阶线性齐次方程中，通解中所含特解的线性无关性一、函数的线性相关与线性无关C1 y1 xC2 y2 x ，也可用常数变易定义 1：设y1 x,y2 x, yn x是定义在区间 I 上的函数，假如存在不全为零的数k1 ,k2 ,kn ，使得k1 y1k2 y

24、2kn yn0 就称y1 x, y2 x, yn x 在区间 I 上线性相关； 否就， 称y1 x, y2 x, yn x 在区间 I上线性无关；命题 1：设y1 x,y2 x 是定义在 I 上的函数，就y1 x, y2x 线性无关y1 xy2 x不恒为常数；注 1: 假设y1x, y2 x 线性无关，就k1 y1 xk2 y2 x 无法合并成ky x ，但当y1 x,y2 x 线性相关可以合并；二、二阶线性微分方程及其解的结构定义 2：称形如： yP x yQ x yf x 的方程为二阶线性非齐次方程；假设f x0 ，就方程为齐次的，假设 f x0 ，就称方程为非齐次的；定理 1：设y1 x

25、,y2 x 是 yP x yQx y0 的两个线性无关的解，就c1y1 xc2y2 x为方程的通解；定理 2：设 y是 yPx yQ x yf x的特解；c1 y1 xc2 y2 x 是对应的齐次方程的通解，就yyc1 y1 xc2 y2 x 是 yP x yQ x yf x 的通解；1定理 3：设y. ，y.分别是 yP x yQx yf1x 与 yP x yQx yf2 x ，就y. y. 是212xyP x yQ x yf1 xf 2 x 的解；【例 1】设 y1xexe2x , yxexe x , yxexe2 xe是某二阶线性非齐次方程的解，求该方程的通解；23Ye2 xe x解：

26、Yyy ， Yyy ，又1不恒为常数112213Ye2 xe x12122所以，Y , Y线性无关；故通解为yc e xc e2xe x xexe2 x 常系数齐次线性微分方程内容要点：二阶常系数齐次线性方程的定义，特点方程、通解、n 阶常系数齐次线性方程的定义，特点方程、通解；本单元的讲课提纲高阶微分方程一般都很难求得通解，只有常系数线性微分方程的解法已经完全解决，一般形式可写成y np y n 1pn y01其中 p1,pn 是常数，由于假设yerx 为它的解，经求导代入方程消去erx 后得到的相应的特点方程r np r n 1p01n这是 n 次方程，它肯定有n 个根r1 , rn ，其

27、中ri 可以是 k 重实根，也可以是k 重共轭复根i，每一个ri 都对应齐次方程的一个特解，共得到n 个线性无关的特解，利用线性微分方程解的结构，可构成n 个任意常数的通解；本单元的作业：说明 1： 把求解常系数线性齐次微分方程的问题化成求解多项式代数方程的问题，这不仅仅是一种一般的求方程解的技巧，在线性掌握系统中系统和不同的环节都可以用常系数线性微分方程来描述，用拉普拉斯变换导出它的传递函数也是一个多项式代数方程，这说明常系数线性齐次微分方程和多项式代数方程之间有着本质上的联系；通过对多项式代数方程的分析，可以得到掌握系统的特性；说明 2：用特点方程求解常系数线性齐次微分方程要求娴熟一、二阶

28、常系数线性齐次方程的解二、定义 :称形如 ypyqy0 1,其中p, q 为常数的方程为二阶常系数线性齐次方程.下面我们来争论其解的结构.2命题 1:erx 是 ypyqy0 的解r 是 r 2prq0 的解 , 并称 r 2prq0 2 是1 的特点方程 .(i) 当特点方程 2 有两个不同的实根r1, r2时, 就 y1er1x , yer2 x 时方程 1 的两个解 , 且y1 不恒为常数 , 从而方2y21程 1 的通解为 yc er1xc er2 x .(ii) 当 rrr 时, 就 yer1 xy . 设 y2u x , 代入 1 得1212erxerx u2rpur 2prq0

29、,2rp0, r 2prq0 所以 u0就 uxc1c2 x取u xx , 就 y2xerx12通解为 :yc erxc xerx2(iii) 当r1,2i , 就 y1er1 x , yer2 x , 应用欧拉公式 , 得y1ex cos xi sinx ,y2e x cos xi sinx构造 Y11 y12y2 e x cosx1Y2 y12iy2 e x cosxx明显 Y1,Y2 线性无关 ,故通解为 :yec1 cos xc2 sinx例 1求通解 1y2 yy02y2 y30 3yy0xx解: 1 特点方程为r 22r10就 r1r21从而通解为yc1ec2 xe(2) 特点方程

30、为 r 22r30就 r13,r21从而通解为yc e 3xc ex12(3) 特点方程为 r 210就 r1,2i从而通解为yc1 cosxc2 sin xy n 1a y n 1an 1 yan y011特点方程为 r na r n 1an 1ran02rx(i) 当 2中有单根时 ,1的通解中含 : ce;(ii) 当 2中有 k 重根时 ,1的通解中含 :c1c2 xc xk1 erxk(iii) 当 2中有一对单复根时,r1,2i ,1的通解中含 :e x ccos xc2 sinx1kk(iv) 当 2中有 k 重单复根时 ,1 中的通解含有 :c1c2 xc xk1 erxcos

31、x+ c1c2 xc xk1 erxsinx例 2求y 4 2 y2y0 通解 .3解: 特点方程为 r 42 r 32 r 20 就 r1r20 , r3,41i就 y 的通解为 yc1c2 xex ccosxc4 sin x常系数非齐次线性微分方程一、内容要点：二阶常系数非齐次线性方程的定义及在自由项为两种特别形式时用待定系数法查找特解；本单元的讲课提纲非齐次常系数方程的通解可表示为相应的齐次方程通解与非齐次方程一个特解之和，从而关键在于寻求特解，当自由项为Pm xex时，可通过待定系数法求特解，应娴熟把握，假设自由项可写成假设干个项相加，应用线性方程解的结构定理；但自由项不是本节的两种形

32、式，可用常数变易法求特解；二、教学要求和留意点常系数非齐次线性微分方程中自由项的局限性；说明 1：非齐次常系数线性微分方程的解法主要是求它的特解；方程的右边项应懂得为系统的输入，用实例说明系统的输入对输出的影响；说明 2：微分方程的幂级数解法可归入幂级数部分介绍定义 : 称形式为 : ypyqyf x0 2方程 , 为二阶常系数线性非齐次方程.下面争论它的解的结构.一、 f xe x Px 型m设方程 2的特解结构为：y.e xQ x（ 1） 当不是特点根时，Q x 可设为Q xQm x ，即为一 m 次多项式；（ 2） 当是特点单根时，Q x 可设为Q xxQm x ，即为一 m 1 次多项式；（ 3） 当是特点重根时，Q x 可设为Q xx2Q x ，即为一 m 2 次多项式；