2022年高考数学函数与导数相结合压轴题精选含具体解答 .pdf

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1、学习必备欢迎下载函数与导数相结合压轴题精选（二）11、已知)0()(23adcxbxaxxf为连续、可导函数，如果)(xf既有极大值M，又有极小值N，求证：.NM证明：由题设有),)(323)(212xxxxacbxaxxf不仿设21xx，则由时当时当时当知),(,0)(),(, 0)(),(:02211xxxfxxxxfxxa1)(,0)(xxfxf在故处取极大值，在x2处取极小值，)()()()()(212221323121xxcxxbxxaxfxf)()()(212122121cxxbxaxxxaxx)3(92)(3232)32()(22121acbaxxcabbacaabaxx由方程0

2、232cbxax有两个相异根，有,0)3(412)2(22acbacb又)()(,0)()(,0,0212121xfxfxfxfaxx即，得证 . 12、已知函数axxxf3)(在（ 0，1）上是增函数 . （ 1）求实数a 的取值集合A；（ 2）当 a 取 A 中最小值时，定义数列na满足：)(21nnafa，且bba)(1 ,0(1为常数），试比较nnaa与1的大小；（ 3）在（ 2）的条件下，问是否存在正实数C，使20cacann对一切Nn恒成立？（1）设)()()(, 10222121122121axxxxxxxfxfxx则由题意知：0)()(21xfxf，且012xx)3,0(,22

3、2121222121xxxxaxxxx则 3|,3aaAa即（4 分）（注：法2：)1 ,0(,03)(2xaxxf对恒成立，求出3a）. （2）当 a=3 时，由题意：)1 ,0(,2321131baaaannn且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载以下用数学归纳法证明：Nnan对),1 ,0(恒成立 . 当 n=1 时，)1 ,0(1ba成立；假设 n=k 时，)1 ,0(ka成立，那么当1kn时，kkkaaa232131，由知)3(21)(3xxxg在（ 0，1）上单调递增，10)1()()0(1

4、kkagagg即，由知对一切Nn都有)1 ,0(na（7分）而0)1 (212121231nnnnnnaaaaaannaa1（9 分）（3）若存在正实数c，使20cacann恒成立（10 分令),(,21ccxccxcxy在上是减函数，nnnacaca随着增大，而小，又na为递增数列，所以要使20cacann恒成立，只须30,30201111bcaccacaca即（14 分）13、已知)(22)(2Rxxaxxf在区间 1，1上是增函数 . （ 1）求实数a 的值所组成的集合A. （ 2）设关于x 的方程xxf1)(的两根为1x、2x，试问：是否存在实数m，使得不等式|1212xxtmm对任意

5、 1 , 1tAa及恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由（1）222) 2()2(2)(xaxxxf1 , 1)(在xf是是增函数 1 , 1,0)(xxf对恒成立 . 设110)1(0) 1(,2)(2aaxxx则有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载)(,1 , 1xfx对是连续函数，且只有当0)1(,1fa时，以及当 11|,0)1(,1aaAfa时（2）由02,12222axxxxax得212,08xxa是方程022axx的两实根 . 22121xxaxx从而84)(|221

6、22121axxxxxx38|11221axxa要使不等式|1212xxtmm对任意 1 , 1tAa及恒成立，当且仅当 1 ,1312ttmm对任意恒成立，即022tmm对任意 1 ,1t恒成立 . 设22)(22mmttmmtg则有2202)1 (02)1(22mmmmgmmg或存在 m，其范围为22|mmm或14、已知二次函数y=g(x)的图象过原点和点（m， 0）与点（ m+1, m+1），（ 1）求 y=g(x)的表达式；（ 2）设)(xf=(xn)g(x)(mn0) 且)(xf在 x=a 和 x=b(ba)处取到极值，求证： bna0, a1，函数55log)(xxxfa，（ 1）

7、讨论)(xf在区间（，5）上的单调性，并予以证明；（ 2）设 g(x)=1+loga(x3),如果)(xf=g(x)有实数根，求a 的取值范围 . （理科生做）解：（ 1）设 g(x)=ax2+bx+c(a0)，由题意得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载.)(.0, 1, 1)1(,0,022mxxxgcmbabmabmamc解得3 分（2） f(x)=(xn)g(x)=x(xm)(xn)=x3(m+n) x2+mnx, f(x)=3x22(m+n)x+mn.5 分由题意知， a ,b 为方程 f(x

8、)=0 的两个实根，又 f(0)=mn0, f(n)=n(n m)0, 两根 x=b，x=a 分布在（ 0，n），（ n，m）内 .又 ba， bnam. 9 分设两切点的横坐标分别为x1, x2，则切线 l1的方程为yf(x1)=321x2(m+n)x1+mn( xx1). 又 l1过原点， x1(x1m)(x1n)= 321x2(m+n)x1+mn(x1) 解得 x1=0, 或 x1=2nm,同理 x2=0 或 x2=2nm.x1=0, x2=2nm.12 分两切线的斜率分别为k1=mn，k2=22.)(412nmmnnm又，若两切线相互垂直，则k1k2=1，即 mn)22(412nm=1

9、，得 mn=1. 解方程组.12, 12, 122nmmnnm得故存在过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线互相垂直. 14 分（文科生做）解：（ 1）)5101(log)(xxfa.利用定义可以证明当a1 时， f(x)是（， 5）上的增函数；当 0a0).1254112201)05(201252522tttxtttxxx令当且仅当.16530.525,52axt时取等号即 14 分15、已知函数).,()(23Rbabaxxxf（1）若1a，函数)(xf的图象能否总在直线by的下方？说明理由；（2）若函数)(xf在0，2上是增函数，2x是方程)(xf=0 的一个根，求证：2)1 (f；（

10、3）若函数)(xf图象上任意不同的两点连线斜率小于1，求实数a 的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载解：（ 1）不能，取,11) 1(, 1bbfx则即存在点（ 1，2+b）在函数图象上，且在直线by的上方；（3 分）（2）由2x是方程0)( xf的一个根，得,048)2(baf即ab48（4 分）又.32,0.023,0)(,23)(2122axxaxxxfaxxxf得即令又函数)(xf在0，2上是增函数，3, 2322aax即， （7 分）2374811)1 (aaabaf（9 分）

11、（3）设任意不同的两点21222111),(),(xxyxPyxP且，则.12121xxyy)14(3334,043)3(3)12(04230)1(4)(01)(1)(, 12222222222222212221221212221212122322131分故分即即aaaaaxaaxxaxxxaRxaxxxxaxxxaxxxxxxaxxaxx16、（理）设eexaxxfx()1()(2为自然对数的底，a 为常数且Rxa,0），)(xf取极小值时，求 x 的值 . （文）函数axxaaxxf(3)1(23)(23为常数且Rxa,0）取极小值时，求x 的值 . 理）解：)1()1()12()(2xx

12、exaxeaxxf)2)(1(xaxez2 分令210)(或axxf4 分（1）02121aa即当，由表x （， 2）2 )1,2(aa1),1(af(x)+ 0 0 + f（x）极大值极小值)(,1xfax时取极小值 . 7 分（2）0)2(21)(,21212xexfaax时即当无极值 . 9 分（3）2121aa即当时，由表x （，a1）a1)2,1(a 2 ),2(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载f(x)+ 0 0 + f（x）极大值极小值取极小值时时当综上取极小值时)(,1,021,.)(

13、,2xfaxaxfx取 极 小 值时时当)(,2,21xfxa)(,21xfa时当无极小值 . 12 分)(xf无极小值 . 6 分（二）由表或令时当110)() 1)(1(3)(,0axxfxaxaxfax （， 1）1 )1, 1(aa1),1(af(x)+ 0 0 + f（x）极大值极小值)(,1xfax时当取极小值综上，当)(,1,0 xfaxa时时取极小值当)(,0 xfa时无极小值 . 12 分17、已知0, 1 cb，函数bxxf)(的图象与函数cbxxxg2)(的图象相切 . （1）求 b 与 c 的关系式。（用c 表示 b）（2）设函数F)()()(xgxfx在（， +）内有

14、极值点，求c 的取值范围 . 解（ 1）由题知：21, 12),()(bxbxxgxf得由Cbcbcbbgbf21,0, 14)1()21()21(2得4 分分则即令6)3(4)(12160430)(43)()(2)()()()()2(2222222223cbcbbcbbxxxFcbbxxxFbcxcbbxxxgxgxfxF若 =0，则0)(xF有一个实根0 x，且)(xF变化如下：x),(0 x0 x),(0 x0)(,1,0)(,1)1(3)(,0)() 1)(1(33)1(33)(:)(2xfxxfxxxfaxaxxaaxxf时时时当一解文3 分精选学习资料 - - - - - - -

15、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载)(xF+ 0 + 于是0 xx不是函数的极值点8 分若0)(, 0 xF则有两个不相等的实根)(,2121xxxx，且)(xF变化如下：x),(1x1x（21, xx）2x),(2x)(xF+ 0 0 + )(1xFxx是的极大值点，)(2xFxx是的极小值点10 分综上，当且仅当0 时， F（x）在),(上有极值点 . 由cbbccb21,3, 0)3(422又得cccccc312312)21(32或解得),347()347, 0(.3473470的范围为或Ccc 12 分18、已知函数3)2(,2) 1

16、(),()(),(1)(2ggxgxgNcbacbxaxxg（ 1）求)(xg的解析式；（ 2）设数列na的通项公式为) 1)(1()(2nnng其前 n项的和为Sn，试求nnSlim；（ 3）设).()()(),()(xfxffxxxgxf问：是否存在实数，使)1,()(在x上为减函数且（1， 0）上是增函数？若存在求出实数的值和)(x的单调区间，以及)(x的极值；若不存在，请说明理由. xxxgbac1)(1021lim)1(1nnnSnna22)(24xxx，列表分析知，存在实数4，使), 1 ()0 ,1()(和在x递增在)1 ,0()1,(和递减当)(1xx时极小值 3 精选学习资料

17、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载当)(0 xx时极大值 2. 19、已知),(), 1(2xxxbxa，m 为常数且 m-2,求使)12(2bamba成立的x的范围。20、设函数mxexfmx其中,)(R. （I）求函数)(xf的最值；（）给出定理：如果函数)(xfy在区间 ba,上连续，并且有0)()(bfaf，那么，函数)(xfy在区间),(ba内有零点，即存在0)(),(00 xfbax使得. 运用上述定理判断，当1m时，函数)(xf在区间)2,(mm内是否存在零点. 解：（ I）, 1)(,),()(m

18、xexfxf上连续在令., 0)(mxxf得2 分;1)()(.)(,. 0)(, 1,),(; 0)(, 1,),(minmmfxfxfmxxfemxxfemxmxmx取极小值也是最小值时当所以时当时当由知 f（x）无最大值 . 6 分（）函数f（x）在 m ，2m上连续 . ,02)(, 1,2)(,2)(,2)2(emgmemgmemgmemfmmm则令而),1 ()(在mg上递增 . 8 分由,0)2(,0)1()(02)1 (mfgmgeg即得10 分分或时，原不等式的解集为）当（分原不等式的解集为时，原不等式）当（分分故分1202|2290|00)2(2170)(2(0)(2(402)2()12(2)12(22),(),1(2222xxmxmxxxxxmmxxxxmxxxxmxxmxbambaxxxxbaxxxbxa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载又,0)2()(,01)(mfmfmmf根据定理，可判断函数f（x）在区间（ m，2m）上存在零点. 12 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页