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1、第82练 高考大题突破练圆锥曲线中的定点、定值问题基础保分练1.已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，F1F22，过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，延长BF2交椭圆C于点M，ABF2的周长为8.(1)求C的离心率及方程；(2)试问：是否存在定点P(x0,0)，使得为定值？若存在，求x0；若不存在，请说明理由2.已知直线x2y20经过椭圆C：1(ab0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S为椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x分别交于M，N两点(1)求椭圆C的方程；(2)求证：直线AS与BS的斜率的乘积为定值；(3)求线段MN的长度的最小值3已知椭
2、圆C：1(ab0)的离心率为，A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，点P(2，1)满足1.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点P且与C交于不同的两点M，N，试问：在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值，若不存在，请说明理由能力提升练4已知椭圆C：1过点A，右顶点为点B.(1)若直线l：ykxm与椭圆C相交于M，N两点(M，N不是左、右顶点)，且BMBN，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；(2)E，F是椭圆C的两个动点，若直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，试判断直线EF的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反之，请说明理由答案精析1
3、解(1)由题意可知，F1F22c2，则c1，又ABF2的周长为8，所以4a8，即a2，则e，b2a2c23.故C的方程为1.(2)假设存在点P，使得为定值若直线BM的斜率不存在，直线BM的方程为x1，B，M，则(x01)2.若直线BM的斜率存在，设BM的方程为yk(x1)，联立得(4k23)x28k2x4k2120，0显然成立，设点B(x1，y1)，M(x2，y2)，x1,2，x1x2，x1x2，由于(x2x0，y2)，(x1x0，y1)，则x1x2(x1x2)x0xy1y2(k21)x1x2(x0k2)(x1x2)k2x，因为为定值，所以，解得x0，故存在点P使为定值，且x0.2(1)解由已
4、知得，椭圆C的左顶点为A(2,0)，上顶点为D(0,1)，a2，b1，故椭圆C的方程为y21.(2)证明设S(x0，y0)，则y1，y1，故kSAkSB.(3)解直线AS的斜率k显然存在，且k0，故可设直线AS的方程为yk(x2)，从而M，联立得(14k2)x216k2x16k240，设S(x1，y1)，则(2)x1，得x1，从而y1，即S，则kSB，直线SB的方程为y(x2)，又B(2,0)，由得N，故MN.又k0，MN2.当且仅当，即k时等号成立，当k时，线段MN的长度取最小值.3解(1)依题意知，A1(a,0)，A2(a,0)，P(2，1)，所以(a2,1)(a2,1)5a2，由1，a0
5、，得a2，因为e，所以c，b2a2c21，故椭圆C的方程为y21.(2)假设存在满足条件的点Q(t,0)，当直线l与x轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意，因此直线l的斜率k存在，设l：y1k(x2)，由消去y，得(14k2)x2(16k28k)x16k216k0，64k0，所以k0时，x1,2，则有x1x2，x1x2，代入(*)得7m216mk4k20，所以mk或m2k，当m2k时，直线方程为ykx2k，恒过点B(2,0)，不符合题意，舍去；当mk时，直线方程为ykxk，恒过点，该点在椭圆内，此时0恒成立，所以，直线l过定点.(2)设点E，F的坐标分别为(x3，y3)，(x4，y4)，直线AE，AF，EF的斜率显然存在，所以x31，x41，x3x4，设直线EF的方程为ykxm，同(1)，由得(4k23)x28kmx4m2120，(*)当0时，x3,4，则有x3x4，x3x4，因为直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，则，又y3kx3m，y4kx4m，代入整理得2kx3x4(x3x4)32m0，代入，化简得4k28k34km2m0，即(2k1)(2k2m3)0，所以k或mk，当mk时，直线EF的方程为yk(x1)，恒过点A，不符合题意，舍去；当k时，方程(*)即x2mxm230，则当123m20时，2m2，所以当k且2m0恒成立，所以，直线EF的斜率为定值.
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