(江苏专用)2020版高考数学一轮复习加练半小时资料:专题9平面解析几何第78练高考大题突破练—圆锥曲线中的定点、定值问题文.docx

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1、第78练 高考大题突破练圆锥曲线中的定点、定值问题基础保分练1.如图,已知抛物线C:y22px(p0),焦点为F,过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A,M两点,设A(x1,y1),M(x2,y2).(1)若y1y28,求抛物线C的方程;(2)若直线AF与x轴不垂直,直线AF交抛物线C于另一点B,直线BG交抛物线C于另一点N.求证:直线AB与直线MN斜率之比为定值.2.已知直线x2y20经过椭圆C:1(ab0)的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S为椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AS,BS与直线l:x分别交于M,N两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求证:直线AS与BS的斜率的乘积为定

2、值;(3)求线段MN的长度的最小值.3.已知椭圆C:1(ab0)经过点(,1),过点A(0,1)的动直线l与椭圆C交于M,N两点,当直线l过椭圆C的左焦点时,直线l的斜率为.(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在与点A不同的定点B,使得ABMABN恒成立?若存在,求出点B的坐标;若不存在,请说明理由.能力提升练4.已知椭圆C:1过点A,右顶点为点B.(1)若直线l:ykxm与椭圆C相交于M,N两点(M,N不是左、右顶点),且BMBN,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标;(2)E,F是椭圆C的两个动点,若直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,试判断直线EF的斜率是否为定值?如果是,求出定值;反

3、之,请说明理由.答案精析基础保分练1.(1)解设直线AM的方程为xmyp,代入y22px,得y22mpy2p20,y1,2,则y1y22p28,得p2.抛物线C的方程为y24x.(2)证明设B(x3,y3),N(x4,y4).由(1)可知,y3y42p2,同理可得,y1y3p2.又直线AB的斜率kAB,直线MN的斜率kMN,2.故直线AB与直线MN的斜率之比为定值.2.(1)解由已知得,椭圆C的左顶点为A(2,0),上顶点为D(0,1),a2,b1,故椭圆C的方程为y21.(2)证明设S(x0,y0),则y1,y1,故kSAkSB.(3)解直线AS的斜率k显然存在,且k0,故可设直线AS的方程

4、为yk(x2),从而M,联立得(14k2)x216k2x16k240,设S(x1,y1),则(2)x1,得x1,从而y1,即S,则kSB,直线SB的方程为y(x2),又B(2,0),由得N,故MN.又k0,MN2.当且仅当,即k时等号成立,当k时,线段MN的长度取最小值.3.解(1)椭圆C:1(ab0)经过点(,1),可得1,又设左焦点为(c,0),有,即c,a2b22,解得a2,b,则椭圆方程为1.(2)当直线l与x轴平行时,有AMAN,若使ABMABN,则点B在y轴上不同于A点时均成立.故存在与A不同的定点B使得ABMABN恒成立,点B一定在y轴上,所以设B(0,y0).当直线MN的斜率存

5、在时,设直线方程为ykx1,M(x1,y1),N(x2,y2),代入椭圆方程得(12k2)x24kx20,x1,2,x1x2,x1x2.若ABMABN,则kBMkBN0,即kBMkBN2k(1y0)2k(2y0).kR,当y02时,ABMABN,B(0,2).当直线MN的斜率不存在时,B(0,2)满足ABMABN,存在不同于点A的定点B(0,2),使得ABMABN恒成立.能力提升练4.解(1)设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),点B的坐标为(2,0),因为BMBN,则(x12)(x22)y1y20,又y1kx1m,y2kx2m,代入整理得(k21)x1x2(km2)(x1x2

6、)m240,(*)由得(4k23)x28kmx4m2120,当0时,x1,2,则有x1x2,x1x2,代入(*)得7m216mk4k20,所以mk或m2k,当m2k时,直线方程为ykx2k,恒过点B(2,0),不符合题意,舍去;当mk时,直线方程为ykxk,恒过点,该点在椭圆内,此时0恒成立,所以,直线l过定点.(2)设点E,F的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4),直线AE,AF,EF的斜率显然存在,所以x31,x41,x3x4,设直线EF的方程为ykxm,同(1),由得(4k23)x28kmx4m2120,(*)当0时,x3,4,则有x3x4,x3x4,因为直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,则,又y3kx3m,y4kx4m,代入整理得2kx3x4(x3x4)32m0,代入,化简得4k28k34km2m0,即(2k1)(2k2m3)0,所以k或mk,当mk时,直线EF的方程为yk(x1),恒过点A,不符合题意,舍去;当k时,方程(*)即x2mxm230,则当123m20时,2m2,所以当k且2m0恒成立,所以,直线EF的斜率为定值.

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