2019年高考数学高考题和高考模拟题分项版汇编专题10概率与统计理含解.docx

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1、专题10 概率与统计1【2019年高考全国卷理数】西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A0.5B0.6C0.7 D0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过西游记的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70100=0.7故选C【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养采取去重法，利用转

2、化与化归思想解题2【2019年高考全国卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A中位数B平均数C方差D极差【答案】A【解析】设9位评委评分按从小到大排列为则原始中位数为，去掉最低分，最高分后剩余，中位数仍为，A正确；原始平均数，后来平均数，平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确；，由易知，C不正确；原极差，后来极差，显然极差变小，D不正确故选A3【2019年高考浙江卷】设0a1，则随机变量X的分布列是则当a在（0,1）内增大时，A增大B减小C先增

3、大后减小D先减小后增大【答案】D【分析】研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查【解析】方法1：由分布列得，则，则当在内增大时，先减小后增大故选D方法2：则，则当在内增大时，先减小后增大故选D【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式4【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是_【答案】【解析】由题意

4、，该组数据的平均数为，所以该组数据的方差是5【2019年高考全国卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_【答案】【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为，所以该站所有高铁平均正点率约为【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数

5、据，估算出正点列车数量与列车总数的比值6【2019年高考全国卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41获胜的概率是_【答案】【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是综上所述，甲

6、队以获胜的概率是【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算7【2019年高考全国卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70（1

7、）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）【答案】（1）a=0.35，b=0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00【解析】（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35b=10.050.150.70=0.10（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.008【2019年高考全国卷

8、理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率【答案】（1）0.5；（2）0.1【解析】（1）X=2就是1010平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分因此P（X=2）=0.50.4+（10.5）（10.4）=0.5（2）X=4且甲获胜，就是1010平后，两人又打

9、了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分因此所求概率为0.5（10.4）+（10.5）0.40.50.4=0.19【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立（1）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率【答案】（1）分布列见解析，；（2）【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布

10、列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力满分13分【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，则，且由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由（1）知10【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种

11、支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式（0，1000（1000，2000大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的

12、人数有变化？说明理由【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E（X）=1；（3）见解析【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有10030255=40人所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为（2）X的所有可能值为0，1，2记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”由题设知，事件C，D

13、相互独立，且所以，所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的数学期望（3）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得答案示例1：可以认为有变化理由如下：P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化答案示例2：无法确定有没有变化理由如下：事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化11【2019年高考全国卷理数】为治疗

14、某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试

15、验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，其中，假设，(i)证明：为等比数列；(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性【答案】（1）分布列见解析；（2）(i)证明见解析，(ii)，解释见解析【解析】X的所有可能取值为，所以的分布列为（2）（i）由（1）得因此，故，即又因为，所以为公比为4，首项为的等比数列（ii）由（i）可得由于，故，所以表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理12【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期

16、二模联考】在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则ABCD【答案】B【解析】由正态分布的图象和性质得故选B【名师点睛】本题主要考查正态分布的图象和性质，考查正态分布指定区间的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力13【河南省洛阳市2019届高三第三次统一考试】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A100，10B100，20C200，10D200，20【答案】D【解析】由题得样本容量为，抽取的高中生人数为人，则近视人数为人，故选D14【陕西省2

17、019届高三年级第三次联考】同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为，则的数学期望是ABCD【答案】A【分析】先计算依次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率，进而利用二项分布求数学期望即可【解析】一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为，故选A【名师点睛】求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望如果离散型随机变量服从二项分布，也可以直接利用公式求数学期望15【江西省新八校2019届高三第二次联考】某学校高一年级人，高二年级人，高三年级人，先采用分层抽样的方法从中抽取名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年

18、级中抽取的人数分别为ABCD【答案】B【分析】先将各年级人数凑整，从而可确定抽样比；再根据抽样比计算得到各年级抽取人数【解析】先将每个年级的人数凑整，得高一：人，高二：人，高三：人，则三个年级的总人数所占比例分别为，因此，各年级抽取人数分别为，故选B16【浙江省三校2019年5月第二次联考】已知甲口袋中有个红球和个白球，乙口袋中有个红球和个白球，现从甲、乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为，则ABCD【答案】A【分析】先求出的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用可求得数学期望【解析】的可能取值为，表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故；表示从甲、

19、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故；表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故，所以故选A17【福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检】已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则ABCD【答案】A【分析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得的值，即可得到答案【解析】由题意，可得，设收集的48个准确数据分别记为，则，所以故选A【名师点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其

20、中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题18【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B卷)】在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是A成绩在分的考生人数最多B不及格的考生人数为1000人C考生竞赛成绩的平均分约70.5分D考生竞赛成绩的中位数为75分【答案】D【解析】由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，故B正确；由频率分布直方图可得：平均分等于，

21、故C正确；因为成绩在的频率为，由的频率为，所以中位数为，故D错误故选D19【天津市南开中学2019届高三模拟试题】中国诗词大会是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：分组（年龄）频数（人）（1）用分层抽样的方法从“百人团”中抽取人参加挑战，求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；（2）在（1）中抽出的人中，任选人参加一对一的对抗比赛，求这人来自同一年龄组的概率【答案】（1），；（2）

22、【分析】（1）先求出样本容量与总体个数的比，由此利用分层抽样的方法能求出从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；（2）从分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，这三个不同年龄组7，20），20，40），40，80）中分别抽取的挑战者的人数分别为1，3，2从抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，基本事件总数，这2人来自同一年龄组包含的基本事件个数为，由此能求出这2人来自同一年龄组的概率【解析】（1）样本容量与总体个数的比是，样本中包含3个年龄段落的个体数分别是：年龄在7，20）的人数为181，年龄在20，40）的人数为543，年龄在40，80）的人数为362，从这三个不同年龄组7

23、，20），20，40），40，80）中分别抽取的挑战者的人数分别为1，3，2（2）从分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，这三个不同年龄组7，20），20，40），40，80）中分别抽取的挑战者的人数分别为1，3，2从抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，基本事件总数为，这2人来自同一年龄组包含的基本事件个数为，这2人来自同一年龄组的概率20【2019北京市通州区三模】为调查某公司五类机器的销售情况，该公司随机收集了一个月销售的有关数据，公司规定同一类机器销售价格相同，经分类整理得到下表：机器类型第一类第二类第三类第四类第五类销售总额（万元）销售量（台）利润率利润率是指：一台机器

24、销售价格减去出厂价格得到的利润与该机器销售价格的比值（1）从该公司本月卖出的机器中随机选一台，求这台机器利润率高于0.2的概率；（2）从该公司本月卖出的销售单价为20万元的机器中随机选取台，求这两台机器的利润率不同的概率；（3）假设每类机器利润率不变，销售一台第一类机器获利万元，销售一台第二类机器获利万元，销售一台第五类机器获利，依据上表统计数据，随机销售一台机器获利的期望为，设，试判断与的大小（结论不要求证明）【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）先由题意确定，本月卖出机器的总数，再确定利润率高于0.2的机器总数，即可得出结果；（2）先由题意确定，销售单价为20万元的机器分别：是第一类

25、有台，第三类有台，共有台，记两台机器的利润率不同为事件，由即可结果；（3）先由题意确定，可能取的值，求出对应概率，进而可得出，再由求出均值，比较大小，即可得出结果【解析】（1）由题意知，本月共卖出30台机器，利润率高于0.2的是第一类和第四类，共有10台设“这台机器利润率高于0.2”为事件，则（2）用销售总额除以销售量得到机器的销售单价，可知第一类与第三类的机器销售单价为20万，第一类有台，第三类有台，共有台，随机选取台有种不同方法，两台机器的利润率不同则每类各取一台有种不同方法，设两台机器的利润率不同为事件，则（3）由题意可得，可能取的值为，因此；又，所以21【江西省新八校2019届高三第二

26、次联考】某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果某采购商从采购的一批水果中随机抽取个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020（1）若将频率是为概率，从这个水果中有放回地随机抽取个，求恰好有个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，方案：不分类卖出，单价为元方案：分类卖出，分类后的水果售价如下：等级标准果优质果精品果礼品果售价(元/kg）16182224从采购单的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这个水果中抽取个，再从抽取的个水果中随机抽取个，表示抽取

27、的是精品果的数量，求的分布列及数学期望【答案】（1）；（2）第一种方案；（3）分布列见解析，【分析】（1）计算出从个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率；则可利用二项分布的概率公式求得所求概率；（2）计算出方案单价的数学期望，与方案的单价进行比较，选择单价较低的方案；（3）根据分层抽样原则确定抽取的个水果中，精品果个，非精品果个；则服从超几何分布，利用超几何分布的概率计算公式可得到每个取值对应的概率，从而可得分布列；再利用数学期望的计算公式求得结果【解析】（1）设从个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为，则，现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则，所以恰好抽到个礼品果的概率为，（2）设方案的单价为，则单价的期望值为，因为，所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案（3）用分层抽样的方法从个水果中抽取个，则其中精品果个，非精品果个，现从中抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为，则；，所以的分布列如下：所以【名师点睛】本题考查二项分布求解概率、数学期望的实际应用、超几何分布的分布列与数学期望的求解问题，关键是能够根据抽取方式确定随机变量所服从的分布类型，从而可利用对应的概率公式求解出概率