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1、课后限时集训(六十五)不等式选讲(建议用时:60分钟)A组基础达标1(2018全国卷)设函数f(x)5|xa|x2|.(1)当a1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若f(x)1,求a的取值范围解(1)当a1时,f(x)可得f(x)0的解集为x|2x3(2)f(x)1等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|,且当x2时等号成立故f(x)1等价于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范围是(,62,)2设函数f(x)|2x1|x2|.(1)解不等式f(x)1;(2)若存在x,使不等式a23af(x)成立,求实数a的取值范围解(1)f(x)|2x1|x2|,f(x)则f(x)1
2、或或解得x4或x2或x2.综上,不等式f(x)1的解集为(,4).(2)存在x,使不等式a23af(x)成立a23af(x)min,x,由(1)知,x时,f(x)3x1,当x时,f(x)取得最小值,且f(x)min,则a23a,解得a1或a5,实数a的取值范围为(,1)(5,)3已知a,b,cR,且2a2bc8,求(a1)2(b2)2(c3)2的最小值解由柯西不等式得(441)(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32,9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2.2a2bc8,(a1)2(b2)2(c3)2,当且仅当c3时等号成立,(a1)2(b2)2(c3)2的最小值是
3、.4(2019长春质检)已知a0,b0,ab2.(1)求证:a2b22;(2)求证:1.解(1)根据重要不等式得:a2b2(ab)22.(2),等号成立的条件为:,故1.5已知函数f(x)g(x)af(x)|x1|.(1)当a0时,若g(x)|x2|b对任意x(0,)恒成立,求实数b的取值范围;(2)当a1时,求g(x)的最大值;解(1)当a0时,g(x)|x1|,|x1|x2|bb|x1|x2|.|x1|x2|x12x|1,b1,b1.(2)当a1时,g(x)可知g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,g(x)maxg(1)1.B组能力提升1(2017全国卷)已知函数f(x)x
4、2ax4,g(x)|x1|x1|.(1)当a1时,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1,求a的取值范围解(1)当a1时,不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.当x1时,式化为x2x40,从而1x.所以f(x)g(x)的解集为.(2)当x1,1时,g(x)2,所以f(x)g(x)的解集包含1,1等价于当x1,1时,f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必为f(1)与f(1)之一,所以f(1)2且f(1)2,得1a1.所以a的取值范围为1,12已知a,b(0,),ab1,x1,x2(0,)(1)求的最小值;(2)求证:(ax1bx2)(ax
5、2bx1)x1x2.解(1)因为a,b(0,),ab1,x1,x2(0,),所以33336,当且仅当且ab,即ab,且x1x21时,有最小值6.(2)证明:法一:由a,b(0,),ab1,x1,x2(0,),及柯西不等式可得:(ax1bx2)(ax2bx1)()2()2()2()2()2(ab)2x1x2,当且仅当,即x1x2时取得等号所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.法二:因为a,b(0,),ab1,x1,x2(0,),所以(ax1bx2)(ax2bx1)a2x1x2abxabxb2x1x2x1x2(a2b2)ab(xx)x1x2(a2b2)ab(2x1x2)x1x2(a2b22ab)x1x2(ab)2x1x2,当且仅当x1x2时,取得等号所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.