学高中数学人教版必修示范教案第三章第二节简单的三角恒等变换第二课时含解析.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第三章其次节简洁的三角恒等变换其次课时导入新课思路 1.问题导入 三角化简、求值与证明中，往往会显现较多相异的角，我们可依据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结使问题获得解决，如： ，2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨绽开 ，444 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路2. 复习导入 前面已经学过如何把形如y asinx bcosx

2、的函数转化为形如y Asin x 的函数，本节主要争论函数y asinx bcosx 的周期、最值等性质三角函数和 代数、 几何学问联系亲密，它是争论其他各类学问的重要工具高考题中与三角函数有关的 问题，大都以恒等变形为争论手段三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不行缺少的解题技巧，要学会创设条件敏捷运用三角公式，把握运算，化简的方法和技能推动新课新知探究提出问题三角函数y sinx， ycosx 的周期，最大值和最小值是多少？函数 y asinx bcosx 的变形与应用是怎样的？三角变换在几何问题中有什么应用？活动： 老师引导同学对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回忆，我们知

3、道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质而且正弦函数，余弦函数的周期都是2kk Z 且 k 0，最小正周期都是2三.角函数的自变量的系数变化时， 会对其周期性产生肯定的影响，例如，函数y sinx 的周期是2kk Z 且 k 0，且最小正周期是 2，函数 y sin2x 的周期是kk Z 且 k 0，且最小正周期是正.弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是1，所以这两个函数的值域都是 1,1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 yasin x bcosxa2 b2asinxbcosx，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2 b22 a b2

4、1，从而可令a2 b2a cos，b sin ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2 b2a2 b2a2b2a2 b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就有 asinx bcosxa2 b2sinxcos cosxsina2 b2sinx a.因此，我们有如下结论：asinx bcosxa2 b2sinx ，其中 tan b 在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着亲密的内在联系几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一

5、种重要的数学方法争论结果： y sinx， y cosx 的周期是2kk Z 且 k 0，最小正周期都是2。最大值都是1，最小值都是 1. 略见活动应用示例可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路 1的扇形，例 1 如图 1，已知 OPQ 是半径为1，圆心角为 3C 是扇形弧上的动点，ABCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 -

6、 - - - - - - - - - - -是扇形的内接矩形记COP ，求当角 取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积活动： 要求当角取何值时，矩形ABCD 的面积 S 最大，先找出S 与 之间的函数关系，再求函数的最值找 S 与 之间的函数关系可以让同学自己解决，得到：S ABBC cos3sinsin sincos3sin2 .33求这种 y asin2xbsinxcosx ccos2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asinx型的三角函数求最值老师引导同学摸索：要求当角取何值时，矩形ABCD 的面积 S 最大，可分两步进行：1找出 S 与 之间的函数关系。2由得出的

7、函数关系，求S 的最大值解： 在 Rt OBC 中， OB cos， BC sin，图 1在 RtOAD 中， DA tan60 3，OA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DA 所以 OA 3333 BC 33 sin.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin.所以 AB OB OA cos33设矩形 ABCD 的面积为 S，就3S ABBC cos 3 sinsinsin sincos323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1sin2 2336 cos2 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结131sin23可编辑资料 - - - 欢迎下

8、载精品名师归纳总结cos2322613sin2 .366由于 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 sinx 6 2cos2 ，1 求函数 f x的值域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 如函数 y f x的图象与直线y 1 的两个相邻交点间的距离为的单调增区间2，求函数yfx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 1 fx3sinx 131xsinxx cosx 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 23sinx 1cos22x 1cos 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 2sinxcos 2可编辑资料 -

9、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 1.由 1sin x 6 1，得 3 2sinx 6 1 1，可知函数f x的值域为 3,1 22 由题设条件及三角函数图象和性质，可知 y fx的周期为，又由 0 ，得 ，即得 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1，再由2k于是有fx 2sin2 x 622x62kk Z ，解得k 26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x k3k Z 所以 yfx的单调增区间为 k6， k 3k Z 点评： 此题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础学问，考查综合运用三角函数有关学问的才能.例 2 求函数 y sin4x 23s

10、inxcosx cos4x 的最小正周期和最小值。并写出该函数在0 ， 上的单调递增区间活动： 老师引导同学利用公式解题，此题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础学问先用二倍角公式把函数化成最简形式，然后再解决与此相关的问题解： y sin4x 23sinxcosx cos4x sin2 x cos2xsin 2x cos2x3sin2x3sin2x cos2x 2sin2x 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故该函数的最小正周期是。最小值是2。在 0 ， 上单调增区间是0 ，5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 ，点评： 此题主要考查二倍角公

11、式以及三角函数的单调性和周期性等基础学问.6 ， 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式训练已知函数fx cos4x 2sinxcosxsin 4x，1 求 fx的最小正周期。2 如 x 0 ，2，求 fx的最大、最小值解： fx cos4x 2sinxcosx sin4x cos2x sin2xcos 2x sin2x sin2x cos2x sin2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料wor

12、d 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2cos2x 4，所以， fx的最小正周期T 2 .2 52由于 x 0 ， 2 ，所以 2x4 4， 4 当 2x 24 4时， cos2x4取得最大值2 ，当 2xcos2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 时，44取得最小值1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以，在 0 ， 2上的最大值为1，最小值为2.思路 2，例 1 已知函数fx sin x 0,0 是 R 上的偶函数，其图象关于点M 340对称，且在区间0 ， 2上是单调函数，求和 的值活动： 同学在解此题时，对 fx是偶函数这一条件

13、的运用不存在问题，而在对 “fx的图3象关于M 4 ，0 对称 ” 这一条件的使用上，多数考生都存在肯定问题一般的，定义在R上的函数yfx对定义域内任意x 满意条件： fx a 2b fa x，就 yf x的图象关于点a，b对称，反之亦然老师在这类问题的教学时要赐予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练解： 由 f x是偶函数，得f x f x，即 sin x sinx，所以 cossin xcossinx对任意 x 都成立又 0，所以，得cos 0.依题设 0 ，所以，解得2.33由 fx 的图象关于点M 对称，得f 4 x f 4 x取 x 0，得 f3334 f 4 ，所以 f 4

14、0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 33 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 4 sin42 cos， cos4 0.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 0，得 342 k，k 0,1,2，.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 22k 1，k 0,1,2，. 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 k 0时， 2，3fx sin 2x32在0 ，2上是减函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 k 1 时， 2， fx sin2 x 2在0 ， 2上是减函数。当 k 2 时， 10，fx sin

15、x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以，综合得32 或 2.32在0 ， 2上不是单调函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评： 此题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -变式训练已知如图2 的 Rt ABC 中， A 90，a 为斜

16、边， B、 C 的内角平分线BD 、CE 的长分别为m、n，且 a2 2mn.问： 是否能在区间 ，2中找到角，恰使等式cos sinB CBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4cos2 cos2成立？如能，找出这样的角。如不能，请说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m解： 在 Rt BAD 中， AB图 2BRtBAC 中， AB sinC，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos mBasinC.2 cos ，在2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理，nC asinB.cos

17、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BC2sin BsinC.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mncos2cos2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 a2 2mn，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BCBBCCBC1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2cos2cos2 2sinBsinC8sin 2coscos2sin 2. sin2 sin2 8.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B CB C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结积化和差，得4cos cos22 1，B CB C可编辑资料

18、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结如存在 使等式 cos sin 4cos2cos2成立，就2cos4 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 cos 422 .而 2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结544 94 .这样的不存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评： 对于不确定的开放式问题，通常称之为存在性问题处理这类问题的一般思路是先假设结论是确定的，再进行演绎推理，如推证显现冲突，即可否定假设。如推出合理结果，即假设成立这个探究结论的过程可概括为假设 推证 定论 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 已知 tan 1，

19、tan 1，且 ， 0， ，求 2 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结27解： 2 2 ， tan 1，22. tan22tan 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 tan 3734125可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而 tan2 tan2 tan2 tan31 tan2 tan214125 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 tan tan tan tan11.1 721可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 0， 0 31 tan tan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 02 2.又

20、 tan 10，且 0， ， ， 7.22. 20. 2 34点评： 此题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范畴的争论，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -留意合理利用不等式的性质，必要时， 依据三角函数值， 缩小角的范畴， 从而求出精确角 另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有肯定的规律，如可

21、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 0， ，就求 cos。如 ，2错误 .课本本节练习4.解答： 4.1 y 1，就求 sin等 2 k k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2sin4x.最小正周期为，递增区间为 ， k Z ，最大值为。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结282822(2) y cosx 2.最小正周期为2，递增区间为 2k， 2 2kk Z ，最大值为3。5 kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) y 2sin4x 3最小正周期为2.课堂小结，递增区间为224，2242 k Z，最大值为可编辑资料 - - - 欢迎

22、下载精品名师归纳总结本节课主要争论了通过三角恒等变形，把形如y asinx bcosx 的函数转化为形如yAsin x 的函数，从而能顺当考查函数的如干性质，达到解决问题的目的，充分表达出 “活”的数学作业课本复习参考题A 组 11、12.设计感想1本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形，把形如y asinx bcosx 的函数转化为形如y Asin x 的函数， 从而能顺当考查函数的如干性质，达到解决问题的目的在教学中老师要强调：分析、争论三角函数的性质，是三角函数的重要内容假如给出的三角函数的表达式较为复杂， 我们必需先通过三角恒等变换， 将三角函数的解析式变形化简， 然后再依据

23、化简后的三角函数，争论其图象和性质因此， 三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤但需留意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等缘由， 函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价因此， 在对三角函数式进行三角恒等变换后，仍要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质2在三角恒等变化中，第一是把握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练其次要搞清晰各公式之间的内在联系，自己画出学问结构图第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、

24、诱导公式等基础学问，对三角学问有整体的把握3今后高考对三角变换的考查估量仍以考查求值为主和、差、倍、半角的三角函数公式、 同角关系的运用仍旧是重点考查的的方，应当引起足够重视，特殊是对角的范畴的争论，从而确定符号另外， 在三角形中的三角变换问题，以及平面对量为模型的三角变换问题将是高考的热点对三角函数综合应用的考查，估量仍旧以三角与数列、不等式、平面对量、解析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题型主要是挑选题、填空题，也可能以解答题形式显现，难度不会太大应留意新情形立意下的三角综合应用也是考试的热点备课资料一、三角函数的综合问题三角函数是中学学习的重要的基本初等函数之一，近年来， 高考每年都

25、要考查三角函数的图象和性质的基础学问在综合题中，也经常会涉及三角函数的基础学问的应用因此，对本单元的学习要落实在基础学问、基本技能和基本方法的前提下，仍应留意与其他部分学问的综合运用三角函数同其他函数一样，具有奇偶性、单调性、最值等问题，我们仍要争论三角函数的周期性、图象及图象的变化，有关三角函数的求值、化简、证明等问题应熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据，争论解析式为三角式的函数的性质，把握判定周期性， 确定单调区间的方法，能精确熟悉三角函数的图象，会做简图、对图象进行变化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页

26、，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -二、备用习题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin101.sin20 的值是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos10 cos20 3A tan10 tan20 B. 3Ctan5 D 23答案： D2如 4，就 sinsin 的最大值是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22A. 4B.3224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C.4D 1答案： B3如 co

27、ssinx31A ，1，就函数y sincosx 的值域是 211B ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13C ， D 1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22答案： B4 log 21 tan19 log2 1 tan26 .答案： 15已知函数fx cos2xcos3 2x，求 fx的单调递减区间、最小正周期及最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 解： fx 1 cos4x 112k 4x 2k k Z ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2cos 33 cos4

28、x ，由 2343可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得原函数的单调递减区间是k2k，1223 k Z ，T3，最大值是. 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3936已知 sinA，cosB，A 2，B ，3Bsin2A的值，并判可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5定 2AB所在的象限2412 ，2 ，求2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，答案： 解： cosA 4sin2A 24， cos2A 1 2sin2A 7 ，52525， B ， 32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B ，223 4 可编辑资料 - - -

29、 欢迎下载精品名师归纳总结 sinB5，cosB4.241241可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sin2A BBB 6141可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 sin2Acos2又 cos2ABcos2Asin2B sin2AsinB1025 .，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 2ABcos2Acos022可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是其次象限角27已知 f0 a，f 2 b，解函数方程：f x y fx y 2fx cosy.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 解： 分别取x 0， yt，x 2 t

30、，y 2，x 2，y 2 t，代入方程，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -f t f t 2f 0 cost，f t f t 0， f t f t 2f 2 sint，得2f t 2f0cost可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f0 a， fb， 22f2sin t.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 fxacosx bsinx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载