中考数学三角形专题复习第讲全等三角形及其性质 .docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -全等三角形专题讲解教学目标： 1.明白全等三角形的性质，把握全等三角形的5 种判定方法。2.会判定中垂线。教学重难点：全等三角形的判定和性质的相关运算。以及与四边形相结合。教学过程：专题一全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4 种：1三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS”）2两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS”）3两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”）4两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“ AAS

2、”）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4 种判别方法外，仍可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”）也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、 最常用的方法， 这不仅由于全等三角形有许多重要的角相等、线段相等的特点，仍在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来那么我们应当怎样应用三角形全等的判别方法了？（ 1）条件充分时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，经常需要先证明线段或角所在的 两个三角形全等，而从近年的中考题来

3、看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分只要同学们仔细观看图形，结合已知条件分析查找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等例 1 已知：如图1，CE AB 于点 E，BD AC 于点 D， BD 、CE 交于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 O，且 AO 平分 BAC 那么图中全等的三角形有 对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：由 CE AB ， BD AC ，得 AEO= ADO=90 o由 AO 平分BAC ，得 EAO= DAO 又AO为公共边，所以AEO ADO 所以AEO=DO ， AE=AD 又 BEO= CDO=90 o， BO

4、E= COD ，所以 BOE COD 由EDAE=AD ， AEO= ADO=90 o， BAC 为公O共角，所以EAC DAO 所以 AB=AC 又BC EAO= DAO ， AO 为公共边，所以ABO ACO 图 1所以图中全等的三角形一共有4 对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件

5、开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条 件不充分， 需要补充使三角形全等的条件解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探究结论成立的条件，从而得出答案例 2 如图 2，已知AB=AD ， 1=2，要使 ABC ADE ，仍需添加的条件是（只需填一个） A12分析：要使 ABC ADE ，留意到 1= 2， B所以 1+ DAC= 2+ DAC ，即 BAC= EAC DEC要使 ABC ADE ，依据 SAS 可知只需AC=AE图 2即可。依据ASA 可知只需 B= D 。依据 AAS 可知只需 C= E故可添加的条件是AC=AE或 B= D 或 C= E（ 3）条件比较隐藏

6、时，可通过添加帮助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加帮助线作为桥梁， 沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺当运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等例 3 已知：如图3， AB=AC ， 1= 2求证： AO 平分 BAC A分析：要证AO 平分 BAC ，即证 BAO= BCO ，要证 BAO= BCO ，只需证 BAO 和 BCO 所在的两个三角形全等而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：连结BC由于 AB=AC ，所以 ABC ACB 1O234BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

7、归纳总结由于 1= 2，所以 ABC - 1 ACB - 2图 3即 3= 4，所以 BO=CO 由于 AB=AC ， BO=CO ， AO=AO ，所以 ABO ACO 所以 BAO= CAO ，即 AO 平分 BAC （ 4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作帮助线来构造全等三角形例 4 已知：如图4，在 Rt ABC 中， ACB=90 o， AC=BC ， D 为 BC的中点， CEAD 于 E，交 AB 于 F，连接 DF求证： ADC= BDF CED可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

8、学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -AFB G第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -证明：过 B 作 BG BC 交 CF 延长线于G， 所以 BG AC 所以 G= ACE 由于 AC BC ， CE AD ，所以 ACE= ADC 所以 G= ADC 由于 AC=BC ， ACD CBG=90 o，所以图 4 ACD CBG 所以BG=CD=BD 由于 CBF= GBF=45 o， BF=BF ，所以 GBF DBF 所以

9、G= BDF 所以 ADC BDF 所以 ADC BDF 说明： 常见的构造三角形全等的方法有如下三种：涉及三角形的中线问题时， 常采纳延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形。涉及角平分线问题时， 经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形。证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短” 法可以构造一对全等三角形（ 5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，留意培育同学们应用数学的意识，形成解决简洁实际问题的才能在近年中考显现的与全等三角形有关的实际问题，表达了这一数学理念，应当引起同学们的重视例 5 要在湖的两岸 A 、B 间建一座观看桥，由于条件限

10、制，无法直接度量 A ，B 两点间的距离请你用学过的数学学问按以下要求设计一测量方案(1) 画出测量图案(2) 写出测量步骤（测量数据用字母表示）图 5(3) 运算 A 、B 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）分析：可把此题转化为证两个三角形全等第1 题，测量图案如图5 所示第 2 题，测量步骤：先在陆的上找到一点O，在 AO 的延长线上取 一点 C，并测得OC=OA ，在 BO 的延长线上取一点D，并测得OD=OB ，这时测得CD 的长为 a ，就 AB 的长就是 a 第 3 题易证 AOB COD ，所以 AB=CD ，测得 CD 的长即可得AB 的长解： 1 如图 6 示(2)

11、 在陆的上找到可以直接到达A 、B 的一点 O，在 AO 的延长线上取AB一点 C，并测得 OC OA ，在 BO 的延长线上取一点D，并测得 OD OB ，这时测出CD 的长为 a ，就 AB 的长就是 a O(3) 理由：由测法可得OC=OA ， OD=OB 又 COD= AOB ， COD AOB DC CD=AB= a 图 6评注：此题的背景是同学熟识的，供应了一个同学ADEFBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

12、归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -动手操作的机会，重点考查了同学的操作才能，培育了同学用数学的意识练习： 1已知：如图7， D 是 ABC 的边AAB 上一点， AB FC， DF 交 AC 于点 E， DE=FE 图 7求证： AE=CE 2如图 8，在 ABC 中，点 E 在 BC 上，点DD 在 AE 上，已知 ABD= ACD ， BDE= CDE BEC求证： BD=CD 图 8A3用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种MP方法：如图9 所示，先在AOB 的两边上取OP=OQ ，C再取 PM=QN ，连接 PN、QM ，得交点C，就射

13、线OCOQ NB平分 AOB 你能说明道理吗？图 9A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4如图 10， ABC 中， AB=AC ，过点 A 作 GGE BC，角平分线BD 、CF 相交于点H，它们的延长线分别交GE 于点 E、G试在图 10 中找出 3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明5已知：如图11，点 C、D 在线段AB 上， PC=PD 请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并赐予证明ACEFHDBCP图 10DB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所添条件为 ，你得到的一图 11A对全等三角形是 6如图 12， 1= 2，BC=EF ，那么需要F

14、E BC补充一个直接条件 （写出一个即可） ，才能A使 ABC DEF图 12D7如图 13，在 ABD 和 ACD 中，AB=AC ， B= CBC D求证： ABD ACD 图 13CD8如图 14，直线 AD 与 BC 相交于点O，O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 AC=BD ， AD=BC A求证： CO=DO 9已知 ABC ， AB=AC ，E、F 分别E为 AB 和 AC 延长线上的点，且BE=CF ，EFBGA图 14B CA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结交 BC 于 G求证： EG=GF 图 15F10已知：如图16， AB=AE ， B

15、C=ED ，BE点 F 是 CD 的中点， AF CD CFD求证： B= E图 1611如图 17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -外形完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（） A 带和去B 带去 C 带去D 带去图 17 12有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图 18 中的

16、阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并说明其中的道理图 1813如图 19，将两根钢条AA 、BB 的中点 O 连在一起，使AA 、 BB 可以围着点O 自由转动， 就做成了一个测量工件，就 A B 的长等于内槽宽 AB ，那么判定 OAB OAB 的理由是（）（ A ）边角边（B ）角边角（ C）边边边（ D）角角边图 19专题二角的平分线从一个角的顶点动身，把一个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线 角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在 这个角的平分线上，

17、再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴因此当题目中有角的平分线时，可依据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来查找解题思路O（ 1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等1 2DE34例 6 如图 20， 1 2， AE OB 于 E，CABBD OA 于 D ，交点为C求证： AC=BC 图 20证法： AE OB， BD OA ， ADC= BEC= 90 1 2， CD=CE 在 ACD 和 BCE 中， ADC= BEC， CD=CE ， 3 4 ACD BCEASA ， AC=BC 说明：此题如用全等方法证明点C 到 OA 、OB 距离相等，铺张时

18、间和笔墨， 不如直接应用角平分线性质证明，缘由在于同学们已经习惯了用全等的方法， 不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明白可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一次定理， 以后再学新定理，应用时要留意全等定势的干扰，证法留意采纳简捷A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EF1D2BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - -

19、- - - -例 7 已知：如图21， ABC 中， BD=CD ， 1 2求证： AD 平分 BAC 证明：过 D 作 DE AB 于 E，DF AC 于 F图 21在 BED 与 CFD 中， 1 2， BED CFD 90 ，BD=CD ， BED CFDAAS DEDF ， AD 平分 BAC 说明： 遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等， 然后依据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等（ 2）利用角的平分线构造全等三角形过角平分线上一点作两边的垂线段例 8 如图 22，AB CD ，E 为 AD 上一点， 且 BE、CE 分别平分

20、ABC 、 BCD 求证： AE=ED 分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E 是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E 分别作 AB 、 BC、CD 的垂线段证明：过点E 作 EF AB ，交 BA 的延长线于点F，作 EG BC，垂足为 G，作 EH CD ，垂足为H可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BE 平分 ABC ， EF AB ， EG BC ， EF=EG 同理 EG =EH EF=EH AB CD ， FAE= DFDEA HB G C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 EF AB ， EH CD ， AFE= DHE=90 o图

21、 22在 AFE 和 DHE 中， AFE= DHE ， EF=EH ， FAE= D AFE DHE AE=ED 以角的平分线为对称轴构造对称图形例 9 如图 23，在 ABC 中， AD 平分 BAC ， C=2 B 求证： AB=AC+CD A分析： 由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在 AB 上截取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AE=AC ，连接 DE ，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AE 和 BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了AB 分成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：在 AB 上截取 AE=AC ，连接 DE AD 平

22、分 BAC ， EAD= CAD EB图 D23C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 EAD 和 CAD 中， EAD= CAD ， AD=AD ， AE=AC ， EAD CAD AED= C， CD=DE C=2 B ， AED=2 B AED= B+ EBD ， B= EDB BE=ED BE=CD 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - -

23、- - - - AB=AE+BE ， AB=AC+CD 延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例 10 如图 24，在 ABC 中， AD 平分 BAC ， CEAD 于 E 求证： ACE= B+ ECD 分析：留意到AD 平分 BAC ，CE AD ，于是可延长CE 交 AB 于 点F，即可构造全等三角形A证明：延长CE 交 AB 于 点 F AD 平分 BAC ， FAE= CAE CE AD ， FEA= CEA=90 oFEC在 FEA 和 CEA 中，DB FAE= CAE ，AE=AE ， FEA= CEA 图 24 FEA CEA ACE= AFE AFE= B+ EC

24、D ， ACE= B+ ECD（ 3）利用角的平分线构造等腰三角形C如图 25，在 ABC 中， AD 平分 BAC ，过点 D 作EDDE AB ， DE 交 AC 于点 E易证 AED 是等腰三角形因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，AB构造等腰三角形图 25例 11 如图 26，在 ABC 中， AB=AC ， BD 平分 ABC ， DE BD 于D ，交 BC 于点 E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证： CD=1BE2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：要证CD=两条线段都相等1BE ，可将BE 分成两条线段，然后再证明CD 与这2

25、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：过点D 作 DF AB 交 BC 于 点 F BD 平分 ABC ， 1= 2 DF AB ， 1= 3， 4= ABC 图 26 2= 3， DF=BF DEBD ， 2+ DEF=90 o， 3+ 5=90o DEF= 5 DF=EF AB=AC ， ABC= C 4= C， CD=DF 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 CD=EF=BF ，即 CD=1BE 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习： 1如图 27，在 ABC 中， B=90 o，A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料

26、名师精选 - - - - - - - - - -EFBDC第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -AD 为 BAC 的平分线， DF AC 于 F， DE=DC 求证： BE=CF 图 272已知：如图28， AD 是 ABC 的中线，DE AB 于 E， DF AC 于 F，且 BE=CF A求证：（ 1） AD 是 BAC 的平分线。（ 2） AB=AC 图 283在 ABC 中， BAC=60 o， C=40o，QAP 平分 BAC 交 BC 于

27、 P， BQ 平分 ABC 交 AC 于 QBP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证： AB+BP=BQ+AQ4如图 30，在 ABC 中， AD 平分 BAC ，AB=AC+CD BA 图 29CDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证： C=2 B 图 30A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5如图 31，E 为 ABC 的 A 的平分线AD 上一点， AB AC 求证： AB - AC EB- ECBEAD图 31DC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6如图 32，在四边形ABCD中， BC BA ，BCAD=CD ， BD 平

28、分 ABC 图 32求证： A+ C=180 oEC7如图 33 所示，已知AD BC ， 1= 2，D 3= 4，直线 DC 过点 E 作交 AD 于点 D ，交1423BC 于点 CAAB求证： AD+BC=AB图 338已知，如图34， ABC 中， ABC=90 o， AB=BC ， AE 是 A 的平分线， CD AE 于 DCEB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证： CD=1AE 2D A 图 34D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9 ABC 中， AB=AC ， A=100 o，BD 是 B 的平分线BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

29、纳总结求证： AD+BD=BC 图 35A10如图 36， B 和 C 的平分线相交于点F， 过点 F 作 DEBC 交 AB 于点 D ，交 AC 于点E，如 BD+CE=9 ，就线段DE 的长为（） A 9B 8C 7D 611如图 37， ABC 中， AD 平分 BAC ，AD 交 BC 于点 D，且 D 是 BC 的中点AEFDB图 36C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BDC F求证： AB=AC 图 37AM12已知：如图38， ABC 中， AD 是 BAC的平分线， E 是 BC 的中点， EFAD ，交 AB 于 M ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

30、师归纳总结交 CA 的延长线于FBEDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -求证： BM=CF 图 38可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载