曲面与空间曲面的总结.docx

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1、精品名师归纳总结曲面与空间曲线一、曲面及其方程：1、曲面方程得一般概念：定义：如曲面上得点得坐标 x,y,z都满意方程 Fx,y,z=0, 而满意此方程得点都在曲面上,就称此方程为该曲面得方程,而曲面称为此方程得 图形。例 1：求与 A2,3,1与 B4,5,6等距离得点得运动规迹。解： 设 Mx,y,z 为动点得坐标,动点应满意得条件就是|AM|=|BM| 由距离公式得 x2 2 y3 2 z1 2 x42 y52 z62曲面与空间曲线得总结整理得此即所求点得规迹方程,为一平面方程。2、坐标面及与坐标面平行得平面方程：坐标平面 xOy 得方程： z=0过点（ a,b,c且与 xOy 面平行得

2、平面方程： z=c坐标面 yOz、坐标面 zOx 以及过（ a,b,c点且分别与之平行得平面方程： x=0; y=0; x=a; y=b3、 球面方程：球面得标准方程：以M0x0,y0,z0 为球心, R 为半径得球面方程为x-x02+y-y02+z-z02=R2球面得一般方程：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结球面方程得特点：平方项系数相同。没有交叉项。例 2：求 x2+y2+z2+2x-2y-2=0 表示得曲面解：整理得：x+12+y-12+z2=22故此为一个球心在（ -1,1,0,半径为 2 得球。4、母线平行于坐标轴得柱面方程：

3、一般我们将动直线 l 沿定曲线 c 平行移动所形成得轨迹称为柱面。其中直线 l 称为柱面得母线,定曲线 c 称为柱面 得准线。本章中我们只讨论母线平行于坐标轴得柱面方程。此时有以下结论：如柱面得母线平行于z 轴,准线 c 就是 xOy 面上得一条曲线,其方程为 Fx,y=0 ,就该柱面得方程为 Fx,y=0; 同理,Gx,z=0,Hy,z=0 在空间中分别表示母线平行于 y 轴与 x 轴得柱面。同理,曲线 c绕y轴旋转所得曲面方程为：同理,以 xOy 面上曲线 fx,y=0 为母线绕 x 轴得曲面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例以3xO求z 面顶上点曲在线原点fx,z旋=转0

4、 轴为绕 y 轴为x轴得曲a 得圆锥面方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：母线平行于坐标轴得柱面得特点为： 平行于某轴, 就在其方程中无此坐标项。 其几何意义为： 无论 z 取何值, 只要满意 Fx,y=0,就总在柱面上。几种常见柱面： x+y=a平面。圆柱面抛 物以上所举例均为母线平行于 z面轴。得情形,其她情形类似。双曲柱面。椭圆柱面。柱4、旋转曲面：一般情形下我们将一平面曲线 c 绕同一平面内得定直线 l 旋转一周所成得曲面称为旋转曲面。其中 c 称为母线, l 称为其轴。本章中我们只讨论绕坐标轴放置得曲面。此时有以下结论：设 yOz 平面上有一已知曲线 c其方程

5、为 fy,z=0,将 c 绕z 轴旋转一周,所得到得以 z 轴为轴得放置曲面得方程为：为母线绕z 轴,半顶角为解面：将 yOz 面上得直线 z=yctg绕 z 轴旋转一周即得圆锥曲面整理后得：其中 a=ctg二、空间曲线及其方程：1、空间曲线得一般方程：空间曲线一般可瞧作两个曲面得交线, 如两个曲面得方程分别为 Fx,y,z=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与 Gx,y,z=0,就易知其交线 c 得方程为称此方程组为曲线 c 得一般方程。解：平面 z=2 上以0,0,2为圆心得单位圆。表示方母程线平行于 Z 轴,准线在 xoy 面上表示怎样曲线例4：方程组表示怎样得曲线？例解

6、：表示中心在原点,半径为 1得上半球面半径为 1得圆柱面 它们得交线就是 xoy面上得一个圆,2、空间曲线得参数方程：其圆设心空在间曲线方程假如,选半定径一为个适当得函数x=x（x）代入上述方程组假如选定一个适当得函数x=x（ x）代入上述方程组称为空间中曲线得参数方程。例 假如空间一点 M 在圆柱面 x2 +y2 =a2上以等角速度绕 z 周旋转,同时, 以等速度 v 沿平行于 Z 轴得正方向移动,就点M 运动得轨迹叫螺旋线,求其参数方程螺旋线有一个重要性质,当从变到时, Z由变到这说明当转过角时,点沿螺旋线升了高度,即上升得高度与转过角度成正比。三、空间曲线在坐标面上得投影：在该方程组中消

7、去 z 得 Hx,y=0,此为一个通过曲线L母线平行于 z 轴得柱面,称为曲线 c 关于 xOy 面得投影柱面。此投影柱面与 xOy 平面得交线即为 c 在 xOy 平面上得投影曲线,简称投影,其方程为同理可得 L 在 yOz 面及 xOz 面上投影方程为与例求曲线 L：在三个坐标面上得投影曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解消去 Z 得 1-y2=3x2+y2投影曲线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结投影柱面方程为 3x2+2y2=1消去 y 得 3x2+1-2Z=0投影曲线方程投影柱面方程为 3x2-2Z-1=0消去 x 得 Z=1-y2投影柱面方程为

8、Z=1-y2投影曲线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例两个柱面与得交线就是一条空间曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5：求曲线解：上式减下式得 z=1-y,代回上式得投影柱面方程为在xOy面上得投影方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而曲线在 xOy 面上得投影方程为二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上得一条直线旋转一周所成得曲面叫做旋转曲面这条定直线叫做旋转曲面得轴、设在 yO z 坐标面上有一已知曲线C它得方程为f y z0把这曲线绕 z 轴旋转一周就得到一个以 z 轴为轴得旋转曲面、它得方程可以求得如下设 Mx y z为曲面上

9、任一点它就是曲线 C 上点 M 10 y1 z1绕 z 轴旋转而得到得因此有如下关系等式从而得这就就是所求旋转曲面得方程、在曲线 C 得方程 f y z 0 中将 y 改成 便得曲线 C 绕 z 轴旋转所成得旋转曲面得方程、同理 曲线 C 绕 y 轴旋转所成得旋转曲面得方程为、例 4直线 L 绕另一条与L 相交得直线旋转一周所得旋转曲面叫做圆锥面、两直线得交点叫做圆锥面得顶点两直线得夹角叫做圆锥面得半顶角、试建立顶点在坐标原点 O旋转轴为 z 轴 半顶角为 得圆锥面得方程、解在 yO z 坐标面内直线 L 得方程为z ycot将方程 z ycot中得 y 改成 就得到所要求得圆锥面得方程可编辑

10、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或其中 a cot、z2 a2 x2 y2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5将 zOx 坐标面上得双曲线分别绕x 轴与 z 轴旋转一周求所生成得旋转曲面得方程、解绕 x 轴旋转所在得旋转曲面得方程为绕 z 轴旋转所在得旋转曲面得方程为、这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面与单叶旋转双曲面、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、柱面例 6方程 x2 y2 R2 表示怎样得曲面？解方程 x2 y2 R2 在 xOy 面上表示圆心在原点O、半径为 R 得圆、 在空间直角坐标系中 这方程不含竖坐标z即不论空间点得竖坐标z 怎样

11、只要它得横坐标 x 与纵坐标 y 能满意这方程那么这些点就在这曲面上、也就就是说过 xOy 面上得圆 x2 y2 R2且平行于 z 轴得直线肯定在x2 y2 R2 表示得曲面上、所以这个曲面可以瞧成就是由平行于z 轴得直线l 沿 xOy 面上得圆 x2 y2 R2 移动而形成得、这曲面叫做圆柱面xOy 面上得圆 x2 y2 R2 叫做它得准线这平行于 z 轴得直线 l叫做它得母线、例 6方程 x2 y2 R2 表示怎样得曲面？解在空间直角坐标系中过 xOy 面上得圆 x2 y2 R2 作平行于 z 轴得直线 l就直线 l 上得点都满意方程x2 y2 R2因此直线 l 肯定在 x2 y2 R2

12、表示得曲面上、 所以这个曲面可以瞧成就是由平行于z 轴得直线 l 沿 xOy 面上得圆 x2 y2 R2 移动而形成得、 这曲面叫做圆柱面 xOy 面上得圆 x2 y2 R2 叫做它得准线这平行于 z 轴得直线 l 叫做它得母线、柱面 平行于定直线并沿定曲线C 移动得直线 L 形成得轨迹叫做柱面定曲线 C 叫做柱面得准线动直线 L 叫做柱面得母线、上面我们瞧到不含 z 得方程 x2 y2 R2 在空间直角坐标系中表示圆柱面它得母线平行于 z 轴它得准线就是 xOy 面上得圆 x2 y2 R2、一般的 只含 x、y 而缺 z 得方程 Fx y 0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴得柱面 其准

13、线就是xOy 面上得曲线 CFx y 0、例如 方程 y2 2x 表示母线平行于z 轴得柱面它得准线就是 xOy 面上得抛物线 y22x该柱面叫做抛物柱面、又如 方程 x y 0 表示母线平行于 z 轴得柱面其准线就是 xOy 面得直线 x y 0所以它就是过 z 轴得平面、类似的 只含 x、z 而缺 y 得方程 Gx z 0 与只含 y、z 而缺 x 得方程 H y z 0 分别表示母线平行于 y 轴与 x 轴得柱面、例如 方程 x z 0 表示母线平行于 y 轴得柱面其准线就是 zOx 面上得直线 x z 0、所以它就是过y 轴得平面、四二次曲面通过截痕法,明白二次曲面得全貌1、椭球面与三

14、个坐标面得交线均为椭圆如a=b,就旋转椭球面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 单叶双曲面x2y222za,b,c为正数数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212Z=h 截,截痕为一椭圆 。a b cx=h ,或 y=h 截,截痕为一双曲线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1）当 bb 时,曲线为双曲线,实轴平行与 x轴,虚轴平行与z轴,当 b由零增大到 b时,曲线的两半轴缩小至零。32）当时,截痕为一对直线 时,曲线为双曲线,实轴平行与x轴,虚轴平）当时,曲线仍为双曲线,但实轴平行于 z轴,虚行与z轴,当由零增大到 b时,曲线得两半轴缩小至零。

15、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yoz轴得平平行面与相x截轴时,截当痕也就是由双曲b增线大,时可,用曲同线样得两方半法轴讨也论增。大。同 样 用平 行 于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2当a=b时,方程变为3 双叶双曲面xy2z21 a, b, c为正数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结双叶双曲面对称于坐标原a点2 及三b个坐2Z=h 截,截痕为标面c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当时无截痕,当时就是两点（ 0, 0, ） 当时为椭圆当 x=h,或 y=h 截,截痕为双曲线4

16、椭圆抛物面5 双叶抛物面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 二次锥面x2y2z22220 a, b, c为正数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次仍有 双曲抛物面abc由方程所表示得曲面称为双曲抛物面、双曲抛物面又称马鞍面用平面 x t 截此曲面所得截痕 l 为平面 x t 上得抛物线此抛物线开口朝下其项点坐标为当 t 变化时 l 得外形不变位置只作平移而 l 得项点得轨迹 L 为平面 y 0 上得抛物线因此 以 l 为母线 L 为准线母线 l 得项点在准线 L 上滑动 且母线作平行移动这样得到得曲面便就是双曲抛物面仍有三种二次曲面就是以三种二次曲线为准线得柱

17、面依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面一、空间直线得一般方程空间直线 L 可以瞧作就是两个平面1 与2 得交线、假如两个相交平面1 与2 得方程分别为 A1x B1y C1z D 1 0 与 A2 x B2y C2z D 2 0那么直线 L 上得任一点得坐标应同时满意这两个平面得方程即应满意方程组1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反过来 假如点 M 不在直线 L 上 那么它不行能同时在平面1 与2 上 所以它得坐标不满意方程组 1 、 因此 直线 L 可以用方程组 1来表示、 方程组 1叫做空间直线得一般方程、设直线 L 就是平面1 与平面2 得交线平面得方程分别为A1x B1

18、y C1z D 1 0与A2xB2y C2z D 2 0那么点 M 在直线 L 上当且仅当它同时在这两个平面上当且仅当它得坐标同时满意这两个平面方程即满意方程组、因此 直线 L 可以用上述方程组来表示、上述方程组叫做空间直线得一般方程、通过空间始终线 L 得平面有无限多个只要在这无限多个平面中任意选取两个把它们得方程联立起来所得得方程组就表示空间直线L、二、空间直线得对称式方程与参数方程方向向量假如一个非零向量平行于一条已知直线这个向量就叫做这条直线得方向向量、 简单知道直线上任一向量都平行于该直线得方向向量、确定直线得条件当直线 L 上一点 M 0x0 y0 x0与它得一方向向量sm n p

19、为已知时直线 L 得位置就完全确定了、直线方程得确定已知直线 L 通过点 M 0x0 y0 x0且直线得方向向量为sm n p求直线 L 得方程设 M x y z在直线 L 上得任一点那么x x0 y y0 z z0/s从而有这就就是直线L 得方程叫做直线得对称式方程或点向式方程、注当 m n p 中有一个为零例如 m 0而 n p 0 时 这方程组应懂得为当 m n p 中有两个为零例如 m n 0而 p 0 时这方程组应懂得为直线得任一方向向量s 得坐标 m、n、p 叫做这直线得一组方向数而向量 s 得方向余弦叫做该直线得方向余弦、由直线得对称式方程简单导出直线得参数方程、设得方程组、此方

20、程组就就是直线得参数方程、例 1 用对称式方程及参数方程表示直线解 先求直线上得一点、取 x1有解此方程组得 y2 z 0即12 0就就是直线上得一点、再求这直线得方向向量s、 以平面 x yz1 与 2x y 3z 4 得法线向量得向量积作为直线得方向向量s :s ijk 2ij3k 4ij3k、因此 所给直线得对称式方程为、令得所给直线得参数方程为提示 当 x 1 时有此方程组得解为 y2 z 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ijksijk2ij3k1114ij3k213令 有 x 1 4t y2 t z3t三、两直线得夹角两直线得方向向量得夹角 通常指锐角 叫做两直线得

21、夹角、设直线 L 1 与 L2 得方向向量分别为s1 m1n1p1与 s2 m2n2p2那么 L1 与 L2 得夹角就就是与两者中得锐角 因此、 依据两向量得夹角得余弦公式直线 L1 与 L 2 得夹角可由来确定、从两向量垂直、平行得充分必要条件立刻推得以下结论设有两直线 L1L2就L 1L 2m1m2 n1n2 p1 p2 0L 1L 2、例 2 求直线 L 1:与 L2:得夹角、解 两直线得方向向量分别为s114 1与 s2221、 设两直线得夹角为就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos|1122 44212 2221 221 |121222可编辑资料 - - - 欢迎下

22、载精品名师归纳总结所以、四、直线与平面得夹角当直线与平面不垂直时直线与它在平面上得投影直线得夹角称为直线与平面得夹角当直线与平面垂直时规定直线与平面得夹角为设直线得方向向量s m np平面得法线向量为n ABC直线与平面得夹角为那么 因此、 按两向量夹角余弦得坐标表示式有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin|AmBnCp|、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A2B 2C 2m2n2p 2由于直线与平面垂直相当于直线得方向向量与平面得法线向量平行所以 直线与平面垂直相当于、由于直线与平面平行或直线在平面上相当于直线得方向向量与平面得法线向量垂直所以 直线与平面平行

23、或直线在平面上相当于Am Bn Cp0、设直线 L 得方向向量为 m n p平面 得法线向量为 A B C就LL/ /Am Bn Cp 0、例 3 求过点 12 4且与平面 2x 3y z 4 0 垂直得直线得方程、解 平面得法线向量 23 1 可以作为所求直线得方向向量、由此可得所求直线得方程为、五、杂例例 4 求与两平面 x 4z 3 与 2x y 5z 1 得交线平行且过点 3 2 5得直线得方程、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 平面 x 4z 3 与 2x y 5z 1 得交线得方向向量就就是所求直线得方向向量s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于s

24、i4k 2iijk j5k1042154i3 jk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以所求直线得方程为、例 5 求直线与平面2x y z 6 0 得交点、解 所给直线得参数方程为x 2 ty3 tz 4 2t代入平面方程中得22 t 3 t 4 2t 6 0、解上列方程得 t1、 将 t1 代入直线得参数方程得所求交点得坐标为x 1y 2z 2、例 6 求过点 2 1 3且与直线垂直相交得直线得方程、解 过点 2 1 3与直线垂直得平面为3x 2 2y 1 z 3 0即 3x 2yz 5直线与平面 3x 2y z 5 得交点坐标为、以点 2 1 3 为起点 以点为终点得向量为可

25、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 22, 131,773376 2,71, 4 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所求直线得方程为、例 6求过点 2 1 2 且与直线垂直相交得直线得方程、解 过已知点与已知直线相垂直得平面得方程为x 2 y 1 2z 20即 x y 2z 7此平面与已知直线得交点为1 2 2所求直线得方向向量为s 1 2 22 1 2 1 1 0所求直线得方程为即提示 求平面 x y 2z 7 与直线得交点直线得参数方程为x 2 t y 3t z 4 2t代入平面方程得2 t 3 t 24 2t 7解得 t1代入直线得参数方程得x 1 y 2 z

26、 2平面束设直线 L 得一般方程为其中系数 A1、B1、 C1 与 A2、B2、C2 不成比例、 考虑三元一次方程A1x B1y C1z D1A2xB2 y C2z D2 0即A1A2xB1B2y C1C1z D 1D 2 0其中 为任意常数、由于系数 A1、B1、C1 与 A2、B2、C2 不成比例所以对于任何一个值 上述方程得系数不全为零从而它表示一个平面、对于不同得值 所对应得平面也不同而且这些平面都通过直线L也就就是说这个方程表示通过直线L 得一族平面、另一方面任何通过直线L 得平面也肯定包含在上述通过L 得平面族中、通过定直线得全部平面得全体称为平面束、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方程 A1x B1yC1z D 1A2x B2y C2z D2 0 就就是通过直线 L 得平面束方程、例 7 求直线在平面 xy z 0 上得投影直线得方程、解 设过直线得平面束得方程为x y z 1x yz 1 0即1x1y 1 z 1 0其中 为待定得常数、这平面与平面xyz0 垂直得条件就是1 1 1 1 1 1 0即1、将1 代入平面束方程得投影平面得方程为2y2z 2 0即y z 1 0、所以投影直线得方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载