资源描述
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1. 解: (1)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.
(2)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.
(3)不相等.
因为函数的定义域是,而函数的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.
2. 解: (1)要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是.
(2)要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).
(3)要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是.
(4)要使函数有意义,必须
即
即或,(k为整数).
也即 (k为整数).
所以函数的定义域是, k为整数.
3.解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当时,可以是不为零的任意实数,此时,可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].
4. 解: ,
5.解:
6.解:
7. 证:由解得,
故函数的反函数是,这与是同一个函数,所以和互为反函数.
8. 解: (1)由解得,
所以函数的反函数为.
(2)由得,
所以,函数的反函数为.
(3)由解得
所以,函数的反函数为.
(4)由得,又,故.
又由得,
即,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数的反函数为.
9. 解: (1)
是偶函数.
(2)
函数是奇函数.
10. 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当时,有,当时,有,
故有.即函数有上界.
又因为函数为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数有界.
又由知,当且时,,而
当且时,.
故函数在定义域内不单调.
(2)函数的定义域为(0,+∞),
且,使.
取,则有,
所以函数在定义域内是无界的.
又当时,有
故.
即当时,恒有,所以函数在内单调递增.
11. 解: (1)是由复合而成.
(2)是由复合而成.
(3)是由复合而成.
(4)是由复合而成.
12.证: (1)设,则,
有
故为偶函数.
(2)设则,
有
故为奇函数.
13.解: 设年销售批数为x, 则准备费为103x;
又每批有产品件,库存数为件,库存费为元.
设总费用为,则.
14. 解: 当x能被20整除,即时,邮资;
当x不能被20整除时,即时,由题意知邮资.
综上所述有
其中,分别表示不超过,的最大整数.
15. 证: (1)由得
解方程得,
因为,所以,
所以的反函数是
(2)由得,得;
又由得,
所以函数的反函数为
16. 解:
从而 .
由得定义域为.
17. 解: 当时,.
,
当n无限增大时,有三种变化趋势:趋向于,趋向于0,趋向于.
,当n无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.
18. 解: ,,要使,只须.取,则当时,必有.
当时,或大于1000的整数.
,,要使
只要即即可.
取,则当时,有.
当时, 或大于108的整数.
19. 证: ,要使,只要.取,则当n>N时,恒有.故.
(2) ,要使只要,取,则当n>N时,恒有.故.
(3) ,要使,只要,取,则当n>N时,恒有,从而.
(4)因为对于所有的正整数n,有,故,不防设,要使只要取则当时,恒有故.
20.证: ,由极限的定义知,,当时,恒有.
而
,当时,恒有,
由极限的定义知
但这个结论的逆不成立.如但不存在.
21. 解:
而,当时,
.
(2)记
则有
即
而
故
即 .
(3)
即
而
故 .
(4)
而
故 .
22. 证: (1),不妨设,则
.
故对所有正整数n有,即数列有上界.
又
显然有,又由得,从而即,
即数列是单调递增的.
由极限的单调有界准则知,数列有极限.
设,则,于是,(不合题意,舍去),.
(2) 因为,且,
所以, 即数列有界
又
由知与同号,
从而可推得与同号,
而
故, 即
所以数列单调递增,由单调有界准则知,的极限存在.
设, 则,
解得 (不合题意,舍去).
所以
23. 证:(1),要使
,
只须,取,则当时,必有
,
故.
(2),要使
,
只须,取,则当时,必有
,
故.
(3) ,要使
,
只要取,则
当时,必有,
故.
(4) ,要使
,
只须,取,则
当时,必有
故.
(5) ,要使
,
只要取,则
当时,必有,
故 .
24. 解:.
由无穷大与无穷小的关系知, .
(7)因为
由已知知,分式的分子与分母的次数相同,且x项的系数之比为,于是
且
解得 .
25.解:
而 而
(14)令则当时,.
所以(利用(13)题的结果).
(16)令, 则
而 所以
26. 解:
∴当时,是比高阶的无穷小量.
27.解:
∴当时,是与同阶的无穷小.
∴当时,是与等价的无穷小.
28. 解:(1)因为当时,
所以
(4)因为当时,,所以
(5)因为当时,所以
.
(7)因为当时,,所以
(8)因为当时,所以
.
(9)因为当时,,所以
(10)因为当时,,所以
(11)因为当时,所以
(12)因为当时,所以
(13)因为
而当时,
故
又当x→0进,所以
(14)因为当时,
故
所以
29. 解:
(6)令,则当时,.
30. 解:(1)令,则
于是:
即 即 即.
(2)令,则
于是
即 即 故
即 .
(3)令,则
于是
即 从而 故
即 .
(4)令,则
于是:
即
即.
31.解:
因为
所以不存在.
(2)
因为不存在,所以不存在.
32. 解:(1)由初等函数的连续性知,在(0,1),(1,2)内连续,
又
而,在处连续,
又,由,知在处右连续,
综上所述,函数在[0,2)内连续. 函数图形如下:
图1-2
(2) 由初等函数的连续性知在内连续,又由
知不存在,于是在处不连续.
又由
及知,从而在x=1处连续,
综上所述,函数在及内连续,在处间断.函数图形如下:
图1-3
(3)∵当x<0时,
当x=0时,
当x>0时,
由初等函数的连续性知在内连续,
又由
知不存在,从而在处间断.综上所述,函数在内连续,在处间断.图形如下:
图1-4
(4)当|x|=1时,
当|x|<1时,
当|x|>1时,
即
由初等函数的连续性知在(-∞,-1),(-1,1),(1,+∞)内均连续,又由
知不存在,从而在处不连续.
又由
知不存在,从而在处不连续.
综上所述,在(-∞,-1),(-1,1),(1,+∞)内连续,在处间断.
图形如下:
图1-5
33. 解:
是函数的可去间断点.因为函数在x=1处无定义,若补充定义,则函数在x=1处连续;x=2是无穷间断点.
当时,.
为可去间断点,分别补充定义f(0)=1,,可使函数在x=0,及处连续.();
为无穷间断点
(3)∵当时,呈振荡无极限,
∴x=0是函数的振荡间断点.(第二类间断点).
(4)
∴x=1是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.)
34. 解:
∴补充定义可使函数在x=0处连续.
∴补充定义可使函数在x=0处连续.
∴补充定义可使函数在x=0处连续.
∴补充定义可使函数在x=0处连续.
35. 解:(1)在上显然连续,而
且,
∴当,即时,在处连续,所以,当时,在上连续.
(2)在内显然连续.而
∴当,即时,在处连续,因而在上连续.
36. 证:令,则在[0,1]上连续,且,由零点定理,使即
即方程有一个小于1的正根.
37.证:令,则在上连续,
且 ,
若,则就是方程的根.
若,则由零点定理得.
,使即即,即是方程的根,综上所述,方程至少有一个不超过的正根.
38. 证:令,由在上连续知,在上连续,且
若则都是方程的根,
若,则,由零点定理知,至少,使,
即,即是方程的根,
综上所述,方程在内至少有一根.
39.证:令,则在上连续,且
若,则若,则,若,则,由零点定理,至少存在一点,使即.
综上所述,至少存在一点,使.
. .
40证:已知在上连续,则在上有最大值M和最小值m,于是
,
由介值定理知,必有,使
.
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