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习题一
1. 下列函数是否相等,为什么?
解: (1)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.
(2)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.
(3)不相等.
因为函数的定义域是,而函数的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.
2. 求下列函数的定义域
解: (1)要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是.
(2)要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).
(3)要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是.
(4)要使函数有意义,必须
即
即或,(k为整数).
也即 (k为整数).
所以函数的定义域是, k为整数.
3. 求函数的定义域与值域.
解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当时,可以是不为零的任意实数,此时,可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].
4. 没,求
解: ,
5.设,求.
解:
6. 设,求和.
解:
7. 证明:和互为反函数.
证:由解得,
故函数的反函数是,这与是同一个函数,所以和互为反函数.
8. 求下列函数的反函数及其定义域:
解: (1)由解得,
所以函数的反函数为.
(2)由得,
所以,函数的反函数为.
(3)由解得
所以,函数的反函数为.
(4)由得,又,故.
又由得,
即,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数的反函数为.
9. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:
解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当时,有,当时,有,
故有.即函数有上界.
又因为函数为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数有界.
又由知,当且时,,而
当且时,.
故函数在定义域内不单调.
(2)函数的定义域为(0,+∞),
且,使.
取,则有,
所以函数在定义域内是无界的.
又当时,有
故.
即当时,恒有,所以函数在内单调递增.
10. 判断下列函数的奇偶性:
解: (1)
是偶函数.
(2)
函数是奇函数.
11. 设定义在(-∞,+∞)上,证明:
(1) 为偶函数; (2)为奇函数.
证: (1)设,则,
有
故为偶函数.
(2)设则,
有
故为奇函数.
12. 某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半).
解: 设年销售批数为x, 则准备费为103x;
又每批有产品件,库存数为件,库存费为元.
设总费用为,则.
13. 邮局规定国内的平信,每20g付邮资0.80元,不足20 g按20 g计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y与重量x的关系.
解: 当x能被20整除,即时,邮资;
当x不能被20整除时,即时,由题意知邮资.
综上所述有
其中,分别表示不超过,的最大整数.
14. 已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角=40,如图所示.当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域.
图1-1
解:
从而 .
由得定义域为.
15. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?
解: (1)是由复合而成.
(2)是由复合而成.
(3)是由复合而成.
(4)是由复合而成.
16. 证明:
证: (1)由得
解方程得,
因为,所以,
所以的反函数是
(2)由得,得;
又由得,
所以函数的反函数为
17. 写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:
解: 当时,.
,
当n无限增大时,有三种变化趋势:趋向于,趋向于0,趋向于.
,当n无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.
18. 对下列数列求,并对给定的确定正整数,使对所有,有:
解: ,,要使,只须.取,则当时,必有.
当时,或大于1000的整数.
,,要使
只要即即可.
取,则当时,有.
当时, 或大于108的整数.
19. 根据数列极限的定义证明:
证: ,要使,只要.取,则当n>N时,恒有.故.
(2) ,要使只要,取,则当n>N时,恒有.故.
(3) ,要使,只要,取,则当n>N时,恒有,从而.
(4)因为对于所有的正整数n,有,故,不防设,要使只要取则当时,恒有故.
20. 若,证明,并举反例说明反之不一定成立.
证: ,由极限的定义知,,当时,恒有.
而
,当时,恒有,
由极限的定义知
但这个结论的逆不成立.如但不存在.
21. 利用单调有界准则证明下列数列有极限,并求其极限值:
证: (1),不妨设,则
.
故对所有正整数n有,即数列有上界.
又
显然有,又由得,从而即,
即数列是单调递增的.
由极限的单调有界准则知,数列有极限.
设,则,于是,(不合题意,舍去),.
(2) 因为,且,
所以, 即数列有界
又
由知与同号,
从而可推得与同号,
而
故, 即
所以数列单调递增,由单调有界准则知,的极限存在.
设, 则,
解得 (不合题意,舍去).
所以
22. 用函数极限定义证明:
证:(1),要使
,
只须,取,则当时,必有
,
故.
(2),要使
,
只须,取,则当时,必有
,
故.
(3) ,要使
,
只要取,则
当时,必有,
故.
(4) ,要使
,
只须,取,则
当时,必有
故.
(5) ,要使
,
只要取,则
当时,必有,
故.
23. 求下列极限:
(7)若,求a和b.
解:.
由无穷大与无穷小的关系知, .
24. 解:因为
由已知知,分式的分子与分母的次数相同,且x项的系数之比为,于是
且
解得 .
25. 利用夹逼定理求下列数列的极限:
其中为给定的正常数;
解:
而,当时,
.
(2)记
则有
即
而
故
即 .
(3)
即
而
故 .
(4)
而
故 .
26. 通过恒等变形求下列极限:
解:
而 而
(14)令则当时,.
所以(利用(13)题的结果).
(16)令, 则
而 所以
27. 利用重要极限,求下列极限:
解:
(6)令,则当时,.
28. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限:
解:(1)令,则
于是:
即 即 即.
(2)令,则
于是
即 即 故
即 .
(3)令,则
于是
即 从而 故
即 .
(4)令,则
于是:
即
即.
29. 当时,与相比,哪个是高阶无穷小量?
解:
∴当时,是比高阶的无穷小量.
30. 当时,无穷小量与是否同阶?是否等价?
解:
∴当时,是与同阶的无穷小.
∴当时,是与等价的无穷小.
31. 利用或等价无穷小量求下列极限:
解:(1)因为当时,
所以
(4)因为当时,,所以
(5)因为当时,所以
.
(7)因为当时,,所以
(8)因为当时,所以
.
(9)因为当时,,所以
(10)因为当时,,所以
(11)因为当时,所以
(12)因为当时,所以
(13)因为
而当时,
故
又当x→0进,所以
(14)因为当时,
故
所以
32. 求下列函数在指定点处的左、右极限,并说明在该点处函数的极限是否存在?
在处;
在处.
解:
因为
所以不存在.
(2)
因为不存在,所以不存在.
33. 研究下列函数的连续性,并画出图形:
解:(1)由初等函数的连续性知,在(0,1),(1,2)内连续,
又
而,在处连续,
又,由,知在处右连续,
综上所述,函数在[0,2)内连续. 函数图形如下:
图1-2
(2) 由初等函数的连续性知在内连续,又由
知不存在,于是在处不连续.
又由
及知,从而在x=1处连续,
综上所述,函数在及内连续,在处间断.函数图形如下:
图1-3
(3)∵当x<0时,
当x=0时,
当x>0时,
由初等函数的连续性知在内连续,
又由
知不存在,从而在处间断.综上所述,函数在内连续,在处间断.图形如下:
图1-4
(4)当|x|=1时,
当|x|<1时,
当|x|>1时,
即
由初等函数的连续性知在(-∞,-1),(-1,1),(1,+∞)内均连续,又由
知不存在,从而在处不连续.
又由
知不存在,从而在处不连续.
综上所述,在(-∞,-1),(-1,1),(1,+∞)内连续,在处间断.
图形如下:
图1-5
34. 下列函数在指定点处间断,说明它们属于哪一类间断点,如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义,使它连续:
解:
是函数的可去间断点.因为函数在x=1处无定义,若补充定义,则函数在x=1处连续;x=2是无穷间断点.
当时,.
为可去间断点,分别补充定义f(0)=1,,可使函数在x=0,及处连续.();
为无穷间断点
(3)∵当时,呈振荡无极限,
∴x=0是函数的振荡间断点.(第二类间断点).
(4)
∴x=1是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.)
35. 当x=0时,下列函数无定义,试定义的值,使其在x=0处连续:
解:
∴补充定义可使函数在x=0处连续.
∴补充定义可使函数在x=0处连续.
∴补充定义可使函数在x=0处连续.
∴补充定义可使函数在x=0处连续.
36. 怎样选取a, b的值,使f(x)在(-∞,+∞)上连续?
解:(1)在上显然连续,而
且,
∴当,即时,在处连续,所以,当时,在上连续.
(2)在内显然连续.而
∴当,即时,在处连续,因而在上连续.
37. 试证:方程至少有一个小于1的正根.
证:令,则在[0,1]上连续,且,由零点定理,使即
即方程有一个小于1的正根.
38. 试证:方程至少有一个不超过的正根,其中.
证:令,则在上连续,
且 ,
若,则就是方程的根.
若,则由零点定理得.
,使即即,即是方程的根,综上所述,方程至少有一个不超过的正根.
39. 设在上连续,且,证明:方程在[0,a]内至少有一根.
证:令,由在上连续知,在上连续,且
若则都是方程的根,
若,则,由零点定理知,至少,使,
即,即是方程的根,
综上所述,方程在内至少有一根.
40.设在上连续,且,证明:至少存在一点,使.
证:令,则在上连续,且
若,则若,则,若,则,由零点定理,至少存在一点,使即.
综上所述,至少存在一点,使.
41. 若在上连续,,证明:在中必有,使
.
证: 由题设知在上连续,则在上有最大值M和最小值m,于是
,
由介值定理知,必有,使
.
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