空间向量与立体几何专业题材.doc

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1、.空间向量与立体几何专题利用空间向量解决立体几何中位置关系平行，垂直，角度问题，距离问题（体积），探索性问题等。1.正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，点M是EC中点.（I）求证：BM平面ADEF； （II）求BM 与平面BDE所成角的正弦值.答案及解析：1.（1）设为的中点，因为是的中点，因此，所以四边形是平行四边形，-4分因为-6分（2）因为点是中点，所以.， -7分正方形与梯形所在平面互相垂直，因为，且与相交于D, 到面的距离 -8分. 又是直角三角形，则-9分设到面的距离，.-10分，-11分所以所成角的正弦值为-12分2.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,底

2、面ABC侧面AA1B1B,为CC1的中点,.(1)证明：AB1平面A1OP.(2)若M是棱AC上一点,且满足,求二面角的余弦值.答案及解析：2.解：(1)取 的中点 ，连接 ，易证 为平行四边形，从而 .由底面 侧面 ，底面 侧面 ， ，底面，所以侧面 ，即 侧面 ，又 侧面 ，所以 ，又侧面 为菱形，所以 ，从而 平面 ，因为 平面 ，所以 .(2)由(1)知， ， ，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .因为侧面 是边长为2的菱形，且 ，所以 ，得 .设 ，得 ，所以 ，所以 .而 .所以 ，解得 . 所以 ， ， .设平面 的法向量 ，由 得 ，取 .而侧面 的一个法向量.设二面角

3、 的大小为 .则 3.如图，在RtABC中，点E、F分别在线段AB和AC上，且，将AEF沿EF折起到PEF的位置，使得二面角的大小为60.（）求证：；（）当点E为线段AB的靠近B点的三等分点时，求PC与平面PEF所成角的正弦值.答案及解析：3.证明：（）,翻折后垂直关系没变，仍有（）是二面角P-EF-B的平面角，又PE=2,BE=1,由余弦定理得PB=,两两垂直.以B为原点，BC所在直线为X轴，BE所在直线为Y轴，建立如图直角坐标系.则P(0,0,),C(3,0,0),E(0,1,0),F(2,1,0).设平面PEF的法向量由可得.故PC与平面PEF所成的角的正弦值为.4.如图，在圆锥PO中，

4、已知，O的直径AB=2，点C在底面圆周上，且，D为AC的中点（）证明：OD平面PBC；（）证明：平面PAC平面POD；（）求二面角A-PC-O的正弦值.答案及解析：4.证明 ：（）D为AC的中点，O为O的圆心,则, 2分平面，平面， 4分平面。 5分证明：（），是的中点，.又底面底面， 7分,平面，平面, 9分平面,平面平面； 10分（）由（）知，平面平面，在平面中，过作于，则平面。过作,垂足为,连结，则由三垂线定理得,是二面角的平面角.12分在中， ,在中,可求得,在中,.即二面角的正弦值为 15分5.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，且AC，BD交于点O

5、，E是PB上任意一点（1）求证：；（2）若E为PB的中点，且二面角A-PB-D的余弦值为，求EC与平面PAB所成角的正弦值5.（1）因为DP平面ABCD，所以DPAC，因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC，又BDPD=D，AC平面PBD，因为DE平面PBD，ACDE （4分）（2）连接OE，在PBD中，EOPD，所以EO平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， （5分）设PD=t，则A（1，0，0），B（0，0），C（1，0，0），E（0，0，），P（0，t）设平面PAB的一个法向量为（x，y，z），则 ，令，得，平面PBD的法向量（1，

6、0，0），因为二面角APBD的余弦值为，所以 ，所以或（舍）， （9分）则 ，EC与平面PAB所成角的正弦值为6.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，点M，E分别是PA，PD的中点（I）求证：CE平面PAB；（II）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DM所成角最小时，求线段BQ的长答案及解析：6.() 证明：连接，因为点，分别是，的中点，所以，/，所以/，所以四边形为平行四边形，所以/3分又因为平面，平面，所以/平面 4分 () 解：如图，以为坐标原点建立空间坐标系，则，5分所以，设， 6分又，所以7分设， 则， 所以，当且仅当，即时，取得最大值，

7、 即直线与所成角取得最小值，此时10分7.如图,在梯形ABCD中,。,平面ACEF平面ABCD,四边形ACEF是矩形,.。(1)求证: BC平面ACEF；。 (2)求二面角B-EF-D的余弦值.7.（1）在梯形ABCD中，,。四边形ABCD是等腰梯形，且 又 平面平面，交线为，平面 （2）由(1)知,以点为原点，所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则,， 在平面中， 设其法向量为，则，令，则. 故平面的一个法向量为.在平面中， 设其法向量为，则，令，则. 故平面的一个法向量为. 由, 知二面角的余弦值为. 8.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，侧面BCC1B1底面ABC.()若M，N分别

8、是AB，A1C的中点，求证：MN平面BCC1B1；()若三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60，问在线段A1C1上是否存在一点P，使得平面B1CP平面ACC1A1?若存在，求C1P与PA1的比值，若不存在，说明理由8.解：(1)证明：连接AC1，BC1，则AC1A1CN，ANNC1，因为AMMB，所以MNBC1.又BC1平面BCC1B1，所以MN平面BCC1B1.(2)作B1OBC于O点，连接AO，因为平面BCC1B1底面ABC，所以B1O平面ABC，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0,0)，C(1,0,0)，B1(0,

9、0，)由，可求出A1(1，)，C1(2,0，)，设点P(x，y，z)，.则P (+1，)，(，)，(1,0，)设平面B1CP的法向量为n1(x1，y1，z1)，由得令z11，解得n1(，1).同理可求出平面ACC1A1的法向量n2(，1，1)由平面B1CP平面ACC1A1，得n1n20，即310，解得3，所以A1C13A1P，从而C1PPA12.9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA平面ABCD，点M，N分别为BC， PA的中点，且，.（1）证明：MN平面PCD；（2）设直线AC与平面PBC所成角为，当在内变化时，求二面角P-BC-A的取值范围.9.(1)取PD得中点

10、Q,连接NQ,CQ,因为点M,N分别为BC,PA的中点，(2)连接PM,因为,点M为BC的中点，则，以AB,AC,AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0),M(),P()，设平面PBC的一个法向量为=(x,y,z),则由，可取,.10.直三棱柱ABC-A1B1C1中，.（1）若，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）若二面角B1 - A1C1-D的大小为60，求实数的值.10.解：分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系.则，（1）当时，为的中点，所以为的中点，所以，设平面的法向量为，又，所以直线与平面所成角的正弦值为.（2），设平面的法向量为，则，所以.又平面的一个法向量为，由题意得，所以，解得或（不合题意，舍去），所以实数的值为.