2018版高中数学人教版A版必修五学案：§2.2　等差数列（二） .docx

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1、学习目标1.能根据等差数列的定义推导出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题知识点一等差数列与一次函数1等差数列的图象等差数列的通项公式ana1(n1)ddn(a1d)，当d0时，an是关于n的常数函数；当d0时，an是关于n的一次函数，点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，且是这条直线上的一列孤立的点2公差d与斜率等差数列an的图象是一条直线上的孤立的点，而这条直线的斜率即为公差d，即d(n2，nN*)知识点二推广的等差数列的通项公式已知等差数列an中任意两项am，an，则anam(nm)d.(mn)思考已知等差数列an中的am和an，如何求d?答案由an的通项公式得an

2、a1(n1)d，ama1(m1)d，两式相减得anam(nm)d，d.知识点三等差数列的性质1若an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为2d的等差数列(k为常数，kN*)panqbn公差为pdqd的等差数列(p，q为常数)2.等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1ana2an1a3an2.3下标性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq特别的，若mn2p(m，n，pN*)，则有aman2ap思考等

3、差数列an中，若a57，a919，则a2a12_，a7_答案a2a12a5a926a713题型一等差数列的性质及应用例1(1)已知等差数列an中，a2a6a101，求a4a8.(2)设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，求a11a12a13的值解(1)方法一根据等差数列的通项公式，得a2a6a10(a1d)(a15d)(a19d)3a115d.由题意知，3a115d1，即a15d.a4a82a110d2(a15d).方法二根据等差数列性质a2a10a4a82a6.由a2a6a101，得3a61，解得a6，a4a82a6.(2)an是公差为正数的等差数列，设公差为d

4、(d0)，a1a32a2，a1a2a3153a2，a25，又a1a2a380，a1a3(5d)(5d)16d3或d3(舍去)，a12a210d35，a11a12a133a12105.反思与感悟解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列an的性质：若mnpq2w，则amanapaq2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差基本量的关系完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想跟踪训练1在等差数列an中：(1)若a35，则a12a4_；(2)若a1a2a324，a18a19a2078，则a1a20等于_答案(1)15(2)18解析(1)a12

5、a4a1(a3a5)(a1a5)a32a3a33a315.(2)由已知可得(a1a2a3)(a18a19a20)2478(a1a20)(a2a19)(a3a18)54a1a2018.题型二等差数列项的设法及求解例2已知四个数构成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列解设四个数为a3d，ad，ad，a3d，则又因为是递增数列，所以d0，所以解得a，d，此等差数列为1，2，5，8或8，5，2，1.反思与感悟三个数或四个数成等差数列的设法当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，可设出首项a1和公差d列方程组求解，此时计算量稍大，也可采用对称的设法，

6、三个数时，设ad，a，ad；四个数时，设a3d，ad，ad，a3d，利用和为定值，先求出其中某个未知量跟踪训练2已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数解方法一设这三个数为a，b，c，则由题意得解得a4，b6，c8.这三个数为4，6，8.方法二设这三个数为ad，a，ad，由已知可得由得a6，代入得d2，该数列是递增的，d2舍去，这三个数为4，6，8.题型三等差数列的综合问题例3已知数列an中，a1，an2(n2，nN*)，数列bn满足bn(nN*)(1)求证：数列bn是等差数列，并写出bn的通项公式；(2)求数列an的通项公式及数列an中的最大项与最小项

7、解(1)因为an2(n2，nN*)，所以an1，所以1，即1.因为bn，所以bnbn11(n2，nN*)又a1，b1，所以数列bn是以b1为首项，1为公差的等差数列故bn(n1)1n(nN*)(2)由(1)得an11，当n3时，数列an是递减数列，且an1.又a1，a22，a3，所以在数列an中，最大项为a3，最小项为a22.反思与感悟解决数列综合问题的方法策略(1)结合等差数列的性质或利用等差中项(2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程(组)或不等式(组)(3)利用函数或不等式的有关方法解决跟踪训练3设等差数列an的公差为d.若数列2a1an为递减数列，则()Ad0Ca1

8、d0答案C解析设bn2a1an，则bn12a1an1，由于2a1an是递减数列，则bnbn1，即2a1an2a1an1.y2x是单调增函数，a1ana1an1，a1ana1(and)0，a1(anand)0，即a1(d)0，a1d0.题型四等差数列的实际应用例4某公司2009年经销一种数码产品，获利200万元，从2010年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解记2009年为第一年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，则每年获利构成等差数列an，且当an0时，该

9、公司经销此产品将亏损设第n年的利润为an，因为a1200，公差d20，所以ana1(n1)d22020n.由题意知数列an为递减数列，令an0，即an22020n11，即从第12年起，也就是从2020年开始，该公司经销此产品将亏损反思与感悟解决等差数列实际应用问题的方法策略(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；判型，即判断该数列是否为等差数列；求解，即求出该问题的数学解；还原，即将所求结果还原到实际问题中(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题跟踪训练4九章算术“竹

10、九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A1升 B.升C.升 D.升答案B解析设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列an，其首项为a1，公差为d，由条件得即解得所以a5a14d.例5首项为24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围为_错解方法一由a100得249d0，d.方法二由得d3.答案d0”的同时还表明“a90”这一条件正解依题意得即d3.答案0 Ba2a1010Ca3a990 Da5151答案C解析a1a2a1010，又a1a101a2a100a3a992a51，a510a3a99.4

11、下列是关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列； p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为()Ap1，p2 Bp3，p4Cp2，p3 Dp1，p4答案D解析ana1(n1)ddna1d，因为d0，所以p1正确；an3nd4dna1d，因4d0，所以是递增数列，p4正确，故选D.5在等差数列an中，已知a12a8a1596，则2a9a10_答案24解析a12a8a154a896，a824.2a9a10a10a8a10a824. 1.在等差数列an中，当mn时，d为公差计算公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为aman(mn)d.2等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列3等差数列an中，若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN*)，特别地，若mn2p，则anam2ap.4在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量