2018版高中数学人教版A版必修五学案：§2.3　等差数列的前n项和（一） .docx

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1、学习目标1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个知识点一数列前n项和的概念把a1a2an叫数列an的前n项和，记做Sn则 a1a2a3an1Sn1(n2)思考由Sn与Sn1的表达式可以得出an知识点二等差数列前n项和公式1公式1：若an是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn2公式2：若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Snna1n(n1)d3推导方法：倒序相加法过程：Sna1a2an，Snana

2、n1a1，a1ana2an1ana1，2Snn(a1an)，Sn.4从函数角度认识等差数列的前n项和公式(1)公式的变形Snna1n2(a1)n.(2)从函数角度认识公式当d0时，Sn是项数n的二次函数，且不含常数项；当d0时，Snna1，不是项数n的二次函数(3)结论及其应用已知数列an的前n项和SnAn2BnC，若C0，则数列an为等差数列；若C0，则数列an不是等差数列思考等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a14，则公差d等于()A2 BC1 D3答案A解析S3a1a2a33a26，a22，又a14，d2.知识点三等差数列前n项和的性质1若数列an是公差为d的等差数列，Sn为其前n

3、项和，则数列也是等差数列，且公差为.2若Sm，S2m，S3m分别为等差数列an的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，公差为m2d3设两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，则.4若等差数列的项数为2n，则S2nn(anan1)，S偶S奇nd，.5若等差数列的项数为2n1，则S2n1(2n1)an1，S偶S奇an1，.思考等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和是_答案210解析设an的前3m项和是S，Sm，S2mSm，S3mS2m分别为30，70，S100.由性质知30，70，S100成等差数列27030(S100)

4、，S210.题型一与等差数列Sn有关的基本量的计算例1 在等差数列an中，(1)已知a1，an，Sn5，求n和d；(2)已知a14，S8172，求a8和d.解(1)由题意得，Sn5，解得n15.又a15(151)d，d.n15，d.(2)由已知得S8172，解得a839，又a84(81)d39，d5.a839，d5.反思与感悟a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用跟踪训练1在等差数列an中，(1)已知a610，S55，求a8和S10

5、；(2)已知a3a1540，求S17.解(1)解得a15，d3.a8a62d102316，S1010a1d10(5)59385.(2)S17340.题型二等差数列前n项和性质的应用例2(1)设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于()A13 B35C49 D63(2)等差数列an与bn的前n项和分别是Sn和Tn，已知，则等于()A7 B. C. D.(3)已知数列an的通项公式为an2n1(nN*)，其前n项和为Sn，则数列的前10项的和为_答案(1)C(2)D(3)75解析(1)S7(a1a7)(a2a6)(311)49.(2).(3)Snn(n2)n2，数列是以首项

6、为3，公差为1的等差数列，的前10项和为103175.反思与感悟等差数列前n项和计算的几种思维方法(1)整体思路：利用公式Sn，设法求出整体a1an，再代入求解(2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设SnAn2Bn(A0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设anb(a0)进行计算(3)利用Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列进行求解跟踪训练2(1)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100 B99 C98 D97答案C解析由等差数列性质，知S99a527，得a53，而a108，因此公差d1，a100a1090d98，故选C.(2)已知两个

7、等差数列an与bn的前n(n1)项和分别是Sn和Tn，且SnTn(2n1)(3n2)，求的值解方法一.方法二数列an，bn均为等差数列，SnA1n2B1n，TnA2n2B2n.又，令Sntn(2n1)，Tntn(3n2)，t0，且tR.anSnSn1tn(2n1)t(n1)(2n21)tn(2n1)t(n1)(2n1)t(4n1)(n2)，bnTnTn1tn(3n2)t(n1)(3n5)t(6n5)(n2)，.题型三等差数列前n项和公式在实际中的应用例3某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付

8、150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解设每次交款数额依次为a1，a2，a20，则a1501 0001%60(元)，a250(1 00050)1%59.5(元)，a1050(1 000950)1%55.5(元)，即第10个月应付款55.5元由于an是以60为首项，以0.5为公差的等差数列，所以有S20201 105(元)，即全部付清后实际付款1 1051501 255(元)反思与感悟建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数，并选择相应的公式进行求解跟踪训练3植树节某班20名同学在

9、一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为_米答案2 000解析假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S920201020202 000 米1在等差数列an中，S10120，那么a1a10的值是()A12 B24 C36 D48答案B解析S105(a1a10)120，a1a1024.2在

10、等差数列an中，a2a519，S540，则a10等于()A27 B24 C29 D48答案C解析设等差数列an的首项为a1，公差为d，由已知得解得a1029329.3已知数列an中，aa2a3a89，且an0，则S10等于()A1 B11C13 D15答案D解析易知(a3a8)29.an0，a3a83.S1015.4等差数列an的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为()A5 B6C7 D8答案B解析由题意知a1a2a3a4124，anan1an2an3156，4(a1an)280，a1an70.又S70210，n6.5已知an是等差数列，Sn是其前n项和若a1a3，S510，则a9的值是_答案20解析设等差数列an公差为d，由题意可得：解得则a9a18d48320. 1.推导等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到2等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意结论“若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN*)”，“若mn2p，则anam2ap”的应用