2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：1.1 第二课时 分类计数原理与分步计数原理的应用 .doc

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1、第二课时分类计数原理与分步计数原理的应用组数问题例1从0,1,2,3,4,5这些数字中选出4个，能组成多少个无重复数字且能被5整除的四位数？思路点拨能被5整除的数分为末位数字为0及末位数字为5两类精解详析满足条件的四位数可分为两类：第一类是0在末位的，需确定前三位数，分三步完成，第一步：确定首位有5种方法；第二步，确定百位有4种方法；第三步，确定十位有3种方法所以第一类共有54360(个)第二类是5在末位，前三位数也分三步完成第一步确定首位有4种方法，第二步，确定百位有4种方法，第三步确定十位有3种方法第二类共有44348(个)所以，满足条件的四位数共有6048108(个)一点通对于组数问题，

2、一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解1233122311.将1,2,3填入33的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有_种解析：由于33方格中，每行、每列均没有重复数字，因此可从中间斜对角线填起如图中的，当全为1时，有2种(即第一行第2列为2或3，当第二列填2时，第三列只能填3，当第一行填完后，其他行的数字便可确定)，当全为2或3时，分别有2种，共有6种；当分别为1,2,3时，也共有6种，共12种答案：122由0,1,2,3，9十个数字和一个虚数单位可以组

3、成虚数的个数为_解析：复数abi(a，bR)为虚数，则a有10种选法，b有9种选法，根据分步计数原理，共计90种选法答案：903从 1,2,3,4 中选三个数字，组成无重复数字的整数，问：满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位偶数解：(1)三位数有三个数位百位十位个位，故可分三个步骤完成：第一步，排个位，从1,2,3,4 中选 1 个数字，有 4 种方法；第二步，排十位，从剩下的 3 个数字中选 1 个，有 3 种方法；第三步，排百位，可以从剩下的 2 个数字中选 1 个，有 2 种方法根据分步计数原理，共有43224 个满足要求的三位数(2)分三个步骤完成：第一步，排个位，从2,

4、4中选1个，有2种方法；第二步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第三步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法故共有23212个三位偶数.涂色与种植问题例2如图，要给地图A，B，C，D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？思路点拨根据地图的特点确定涂色的顺序，再进行计算，注意分类讨论精解详析按地图A，B，C，D四个区域依次涂色，分四步完成：第一步，涂A区域，有3种选择；第二步，涂B区域，有2种选择；第三步，涂C区域，由于它与A，B区域颜色不同，有1种选择；第四步，涂D区域，由于它与B，C区域颜

5、色不同，有1种选择所以根据分步计数原理，得到不同的涂色方案种数共有32116.一点通给区域涂色(种植)问题的一般思路：为了便于分析问题，先给区域(种植的品种)标上相应序号，然后按涂色(种植)的顺序分步或颜色(种植的品种)当选情况分类，最后利用两个原理计数4.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同种法的种数为_种解析：先种A地有4种，再种B地有3种，若C地与A地种相同的花，则C地有1种D地有3种；若C地与A地种不同花，则C地有2种，D地有2种，即不同种法的种数为N43(1322)84.答案：845.如图所示的阴影部分由

6、方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L型(每次旋转90仍为L型图案)，那么在由45个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是_解析：因为每四个小方格(22型)中有L型图案4个，共有22型小方格12个，所以共有L型图案41248(个)答案：486.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图所示的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？解：当B与D同色时，有4321248种不同的涂色方法； 当B与D不同色时，有4321124种不同的涂色方法故共有482472种不同的涂色方法简单的选择问题例3有四位同学参加三项不同的竞赛(1)每位学生必须参加且只能参加

7、一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？思路点拨(1)分四步，让每一位同学都选择一项竞赛；(2)分三步，每一项竞赛都有一名同学参加精解详析(1)学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于学生无条件限制，所以每位学生均有3个不同的机会要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四步而每位学生均有3个不同机会，所以用分步计数原理可得33333481种不同结果(2)竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个项目可挑选4位不同学生中的一位要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，因此需分三步，用分步计数原理可得4444364种不同

8、结果一点通解答此题，每位学生选定竞赛或每项竞赛选定学生对完成整个事件的影响至关重要，否则容易把两问结果混淆，其原因是对题意的理解不清，对事情完成的方式有错误的认识7保持例题条件不变，若每位学生只能参加一项竞赛，且每项竞赛只许一位学生参加，则有_种不同结果解析：第一个项目可挑选4位学生中的一位，有4种不同的选法；第二个项目可从剩余的3位学生中选一位，有3种不同的选法；第三个项目可从剩余的2位学生中选一位，有2种不同的选法故共有43224种不同结果答案：248(1)8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？(2)将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？(3)3位旅客到4个

9、旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？解：(1)分三步，每位同学取书一本，第1,2,3个同学分别有8,7,6种取法，因而由分步计数原理，不同分法共有N876336(种)(2)完成这件事情可以分作四步，第一步，投第一封信，可以在3个邮筒中任选一个，因此有3种投法；第二步，投第二封信，同样有3种投法；第三步，投第三封信，也同样有3种投法；第四步，投第四封信，仍然有3种投法由分步计数原理，可得出不同的投法共有N333381种(3)分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方法，因而不同的方法共有N44464种两个计数原理在解决实际问题时常采用的方法对应课时跟踪训练(二)一、填空题1用1,2,3,4可组成_个三位

10、数解析：组成三位数这件事可分为三步完成：第一步，确定百位，共有4种选择方法；第二步，确定十位，共有4种选择方法；第三步，确定个位，共有4种选择方法，由分步计数原理可知，可组成44464个三位数答案：642若在登录某网站时弹出一个4位的验证码：XXXX(如2a8t)，第一位和第三位分别为0到9这10个数字中的一个，第二位和第四位分别为a到z这26个英文字母中的一个，则这样的验证码共有_个解析：要完成这件事可分四步：第一步，确定验证码的第一位，共有10种方法；第二步，确定验证码的第二位，共有26种方法；第三步，确定验证码的第三位，共有10种方法；第四步，确定验证码的第四位，共有26种方法由分步计数

11、原理可得，这样的验证码共有1026102667 600个答案：67 6003集合Px,1，Qy,1,2，其中x，y1,2,3，9，且PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是_解析：当x2时，xy，点的个数为177；当x2时，xy，点的个数为717，则共有14个点答案：144某人有3个不同的电子邮箱，他要发5封电子邮件，不同发送方法的种数为_解析：每封电子邮件都有3种不同的发法，由分类计数原理可得，共有35种不同的发送方法答案：355.如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有_种解析：从A开始，

12、有6种方法，B有5种，C有4种，D，A同色1种，D，A不同色3种，故不同涂法有654(13)480(种)答案：480二、解答题6某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择由分类计数原理，共有56415种选法(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，

13、从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择由分步计数原理，共有564120种选法(3)分三类：高一、高二各一人，共有5630种选法；高一、高三各一人，共有5420种选法；高二、高三各一人，共有6424种选法；由分类计数原理，共有30202474种选法7用0,1，9这十个数字，可以组成多少个(1)三位整数？(2)无重复数字的三位整数？(3)小于500的无重复数字的三位整数？解：由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑(1)百位的数字有9种选择，十位和个位的数字都各有10种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有91010900 个(2)由于数字不可重复，可知百位的数

14、字有9种选择，十位的数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有998648个(3)百位只有4种选择，十位可有9种选择，个位数字有8种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有498288个8编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻(有公共边)的盒子中，求不同的放法有多少种解：根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步计数原理得，有3216种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步计数原理得，有3216种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E，有6种不同的放法，根据分步计数原理得，有332118种不同的放法综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有661830种