2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：1.1 第一课时 分类计数原理与分步计数原理 .doc

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1、_1.1两个基本计数原理第一课时分类计数原理与分步计数原理分类计数原理12014南京青奥会期间，一名志愿者从北京赶赴南京为游客提供导游服务，每天有7次航班，5列火车问题1：该志愿者从北京到南京可乘的交通工具可分为几类？提示：两类，即乘飞机、乘火车问题2：这几类方法相同吗？提示：不同问题3：该志愿者从北京到南京共有多少种不同的方法？提示：7512(种)2甲盒中有3个不同的红球，乙盒中有5个不同的白球，某同学要从甲盒或乙盒中摸出一球问题4：不同的摸法有多少种？提示：358(种)3某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为生活委员问题5：不同选法的种数为多少？提示：263450.完成一件事，有n

2、类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.分步计数原理12014南京青奥会期间，一名志愿者从北京赶赴南京为游客提供导游服务，但需在天津停留，已知从北京到天津有7次航班，从天津到南京有5列火车问题1：该志愿者从北京到南京需要经历几个步骤？提示：两个，即从北京到天津、从天津到南京问题2：这几个步骤之间相互有影响吗？提示：没有，第一个步骤采取什么方式完成与第二个步骤采用的方式没有任何关系问题3：该志愿者从北京到南京共有多少种不同的方法？提示：7535 种2若x2,3,5，y6,7,8问题

3、4：能组成的集合x，y的个数为多少？提示：339(个)3某班有男生26人，女生24人，从中选一位男同学和一位女同学担任生活委员问题5：不同的选法的种数为多少？提示：2624624种完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法1分类计数原理中的每一种方法都可以完成这件事情，而分步计数原理的每一个步骤只是完成这件事情的中间环节，不能独立完成这件事情2分类计数原理考虑的是完成这件事情的方法被分成不同的类别，求各类方法之和；而分步计数原理考虑的是完成这件事情的过程被分成不同的步骤，求各步骤

4、方法之积分类计数原理的应用例1某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有29人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人，从中任选1人去献血，共有多少种不同的选法？思路点拨先按血型分类，再求每一类的选法，然后求和精解详析从中选1人去献血的方法共有4类：第一类：从O型血的人中选1人去献血共有29种不同的方法；第二类：从A型血的人中选1人去献血共有7种不同的方法；第三类：从B型血的人中选1人去献血共有9种不同的方法；第四类：从AB型血的人中选1人去献血共有3种不同的方法利用分类计数原理，可得选1人去献血共有2979348种不同的选法一点通利用分类计数原理，首先搞清要完成的“一

5、件事”是什么，其次确定一个合理的分类标准，将完成“这件事”的方法进行分类；然后，对每一类中的方法进行计数，最后由分类计数原理计算总方法数1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出1种种植，不同的种植方法有_种解析：分4种品种种植，根据分类计数原理可知，共有4种不同的种植方法答案：42所有边长均为整数，且最大边长均为11的三角形的个数为_解析：假设另两边长分别为a，b(a，bZ)，不妨设ab11，要构成三角形，必有ab12，因此b6.当b11时，a可取1,2,3，11；当b10时，a可取2,3，10；当b6时，a只能是6.故所有三角形的个数为119753136.答案：363在填写高考志愿表时

6、，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B大学生物学数学化学会计学数学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，因此根据分类计数原理，这名同学可能的专业选择共有549(种).分步计数原理的应用例2要安排一份 5 天的值班表，每天有一个人值班，共有 5 个人，每个人值多天或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，此值班表共有多少种不同的排法？思路点拨该问题是计数问题，完成一件事是排值班表，因而需一天一天的排，用分

7、步计数原理，分步进行精解详析先排第一天，可排5人中任一人，有 5 种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有 4 种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，有 4 种排法；同理，第四、五天各有 4 种排法由分步计数原理可得值班表不同的排法共有：N544441 280 (种)一点通利用分步计数原理解决问题应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事4.用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要“眼睛”(如图A，B所示区域)用相同颜色，则不同的涂色方法共有_种解析：第1步涂眼睛有6种涂法，第2步涂鼻子

8、有6种涂法，第三步涂嘴有6种涂法，所以共有63216种涂法答案：2165现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，若一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为_解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法故共有4312种不同的配法答案：126已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)(a，bM)表示平面上的点，问：(1)点P可表示平面上多少个不同的点？(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？解：(1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确

9、定b的值，也有6种不同方法根据分步计数原理，得到平面上点P的个数为6636.(2)确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成：第一步确定a的值，由于a0，所以有2种不同方法由分步计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为326.两个计数原理的综合应用例3有一项活动，需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？(3)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？思路点拨(1)从老师、男、女同学中选 1人，用分类计数原理(2)从老师、男、女同学中各选1人，用分步计数原理(3)分类计数原理与分步计数

10、原理的综合精解详析(1)有三类选人的方法：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法由分类计数原理，共有38516种选法(2)分三步选人：第一步选老师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法由分步计数原理，共有385120种选法(3)可分两类，每一类又分两步第一类：选一名老师再选一名男同学，有3824种选法；第二类：选一名老师再选一名女同学，共有3515种选法由分类计数原理，共有241539种选法一点通用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准在“分类”时要

11、做到“不重不漏”，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性7若直线方程AxBy0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的直线共有_条解析：解决这件事分两类完成：第1类，当A或B中有一个为0时，表示直线为y0或x0，共2条；第2类，当A，B都不为0时，直线AxBy0被确定需分两步完成第1步，确定A的值，有4种不同的方法；第2步，确定B的值，有3种不同的方法由分步计数原理，共可确定4312(条)直线所以由分类计数原理，方程所表示的不同直线共有21214(条)答案：148从5名医生和8名护士中选出1名医生和1名护士组成一个两人医疗组，共有_

12、种不同的选法解析：完成这件事需分两步：第一步，从5名医生中选一名，有5种不同的选法；第二步，从8名护士中选一名，有8种不同的选法，故共有5840种不同的选法答案：409某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息(1)若小明的爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？解：(1)小明的爸爸选凳子可以分两类：第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法根据分类计数原理，小明的爸爸共有8614种坐法(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面共8614个凳子中选一个坐

13、下，共有14种坐法；第二步，小明的爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，(小明坐下后，空闲凳子数变成13)共13种坐法由分类计数原理，小明与爸爸分别就坐共有1413182种坐法1利用分类计数原理解题的步骤(1)分类：理解题意，确定分类标准，做到不重不漏；(2)计数：求出每一类中的方法数；(3)结论：将每一类中的方法数相加得最终结果2利用分步计数原理解题的步骤(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果对应课时跟踪训练(一)一、填空题1一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方

14、法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法有_解析：由分类计数原理知，有358种不同的选法答案：82有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有_种解析：分四步完成：第一步：第1位教师有3种选法；第二步：由第一步教师监考班的数学老师选有3种选法；第三步：第3位教师有1种选法；第四步：第4位教师有1种选法共有33119种监考的方法答案：933名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、游泳课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有_种解析：第1名学生有4种选报方法；第2、3名学生也各有4种选报方法，因此，根据分步计数原理，不同的报名种数有

15、44464.答案：644某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有_种(用数字作答)解析：分两类，第一棒是丙有12432148(种)；第一棒是甲、乙中一人有21432148(种)，根据分类计数原理得：共有方案484896(种)答案：965从集合A1,2,3,4中任取2个数作为二次函数yx2bxc的系数b，c，且bc，则可构成_个不同的二次函数解析：分成两个步骤完成：第一步选出b，有4种方法；第二步选出c，由于bc，则有3种方法根据分步计数原理得：共有4312个不同的二次函数

16、答案：12二、解答题6从集合1,2,3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列有多少个？解：当公比为2时，等比数列可为1,2,4；2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；当公比为时，等比数列可为4,6,9.同时，4,2,1；8,4,2；9,3,1和9,6,4也是等比数列，共8个7已知a3,4,6，b1,2,7,8，r8,9，则方程(xa)2(yb)2r2可表示多少个不同的圆？解：按a，b，r取值顺序分步考虑：第一步：a从3,4,6中任取一个数，有3种取法；第二步：b从1,2,7,8中任取一个数，有4种取法；第三步：r从8、9中任取一个数，有2种取法；由分步计

17、数原理知，表示的不同圆有N34224(个)8书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书(1)从中任取一本，有多少种不同的取法？(2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？解：(1)从书架上任取一本书，有两类方法：第一类方法是从上层取一本数学书，有6种方法；第二类方法是从下层取一本语文书，有5种方法根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是6511.答：从书架上任取一本书，有11种不同的取法(2)从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种取法；第二步取一本语文书，有5种取法根据分步计数原理，得到不同的取法的种数是6530.答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的取法