2019版理科数学一轮复习高考帮试题：选修4-5 不等式选讲（习思用.数学理） .docx

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1、选修4-5不等式选讲考点1不等式的性质1.已知a,b,c均为正数,证明: a2+b2+c2+(1a+1b+1c)263, 并确定a,b,c为何值时,等号成立.考点2绝对值不等式2.设函数f(x)=|x-1|+|x-2|.(1)解不等式f(x)2;(2)求函数g(x)=ln f(x)的值域.3.已知函数f(x)=2|x+a|-|x-1|(a0).(1)若函数f(x)与x轴围成的三角形的面积的最小值为4,求实数a的取值范围;(2)若对任意的xR都有f(x)+20,求实数a的取值范围.4.已知m1,且关于x的不等式m-|x-2|1的解集为0,4.(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b

2、=m,求a2+b2的最小值.5.设函数f(x)=x-2+11-x的最大值为M.(1)求实数M的值;(2)求关于x的不等式|x-2|+|x+22|M的解集.6.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)3的解集;(2)若f(x)|x-4|的解集包含1,2,求实数a的取值范围.考点3证明不等式的基本方法7.已知a0,b0,求证:ab+baa+b.8.已知a,bR,且a+b=1,求证:(a+2)2+(b+2)2252.9.已知a,b,c均为正实数.求证:(1)(a+b)(ab+c2)4abc;(2)若a+b+c=3,则a+1+b+1+c+132.考点4柯西不等式1

3、0.已知x,y是两个不相等的正实数,求证:(x2y+x+y2)(xy2+y+x2)9x2y2.答案1.解法一因为a,b,c均为正数,所以a2+b2+c23(abc)23,因为1a+1b+1c3(abc)-13,所以(1a+1b+1c)29(abc)-23.故a2+b2+c2+(1a+1b+1c)23(abc)23+9(abc)-23.又3(abc)23+9(abc)-23227=63,所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,式和式等号成立.当且仅当3(abc)23=9(abc)-23时,式等号成立,即当a=b=c=314时,原式等号成立.解法二因为a,b,c均为正数,由基本不等式得a2+b22

4、ab,b2+c22bc,c2+a22ac,所以a2+b2+c2ab+bc+ac.同理,1a2+1b2+1c21ab+1bc+1ac.故a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2=a2+b2+c2+1a2+1b2+1c2+2ab+2bc+2acab+bc+ac+3ab+3bc+3ac63.所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,式和式等号成立,当且仅当(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,式等号成立.即当且仅当a=b=c=314时,原不等式等号成立.2.(1)由题意知f(x)=|x-1|+|x-2|=3-2x,x2.当x2,得3-2x2,解得x12,所以x2无解;当x2时,由f(x)2,得2x

5、-32,解得x52,所以x52. 综上,不等式f(x)2的解集为(-,12)(52,+).(2)因为f(x)=|x-1|+|x-2|,则f(x)1,又函数y=ln x在其定义域内为增函数.所以函数g(x)=ln f(x)的值域为0,+).3.(1)由题意可得f(x)=-x-2a-1, x-a,3x+2a-1, -ax0),解得a6-1.(2)由图D 1可知,f(x)min=f(-a)=-a-1.对任意的xR都有f(x)+20,即f(x)min+20,即-a-1+20,解得a1,又a0,所以实数a的取值范围为(0,1.4.(1)m1,不等式m-|x-2|1可化为|x-2|m-1,1-mx-2m-

6、1,即3-mxm+1.不等式m-|x-2|1的解集为0,4,3-m=0,m+1=4,即m=3.(2)由(1)知a+b=3,解法一(利用基本不等式)(a+b)2=a2+b2+2ab(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),a2+b292,a2+b2的最小值为92.解法二(消元法求二次函数的最值)a+b=3,b=3-a,a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2(a-32)2+9292,a2+b2的最小值为92.5.(1)f(x)=x-2+11-x2(x-2)+(11-x)2=32,当且仅当x=132时等号成立.故函数f(x)的最大值M=32.(2)由(1)知M=32.由绝对值三

7、角不等式可得|x-2|+|x+22|(x-2)-(x+22)|=32.所以不等式|x-2|+|x+22|32的解集就是方程|x-2|+|x+22|=32的解.由绝对值的几何意义得,当且仅当-22x2时,|x-2|+|x+22|=32,所以不等式|x-2|+|x+22|M的解集为x|-22x2.6.(1)当a=-3时,f(x)3|x-3|+|x-2|3x2,-2x+53或2x0,b0,所以ab+ba-(a+b)=(a)3+(b)3-(a+b)abab=(a+b)(a-b)2ab0,所以ab+baa+b.解法二(作商比较法)因为a0,b0,所以ab+baa+b=(a)3+(b)3ab(a+b)=(a+b)(a+b-ab)ab(a+b)=a+b-abab=ab+(a-b)2ab1,所以ab+baa+b.8.解法一(放缩法)因为a+b=1,所以(a+2)2+(b+2)22(a+2)+(b+2)22=12(a+b)+42=252(当且仅当a+2=b+2,即a=b=12时,等号成立).解法二(反证法)假设(a+2)2+(b+2)2252,则 a2+b2+4(a+b)+8252.因为a+b=1,则b=1-a,所以a2+(1-a)2+12252.所以(a-12)29x2y2.