2018版高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数一导学案新人教A版必修4_.doc

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1、1.2.1任意角的三角函数(一)学习目标1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.知识点一任意角的三角函数使锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PMx轴于M，设P(x，y)，|OP|r. 思考1角的正弦、余弦、正切分别等于什么？答案sin ，cos ，tan .思考2对确定的锐角，sin ，cos ，tan 的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案不会.因为

2、三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.思考3在思考1中，当取|OP|1时，sin ，cos ，tan 的值怎样表示？答案 sin y，cos x，tan .梳理(1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.(2)定义在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：y叫做的正弦，记作sin ，即sin y；x叫做的余弦，记作cos ，即cos x；叫做的正切，记作tan ，即tan (x0).对于确定的角，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为

3、自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域思考对于任意角，sin ，cos ，tan 都有意义吗？答案由三角函数的定义可知，对于任意角，sin ，cos 都有意义，而当角的终边在y轴上时，任取一点P，其横坐标x都为0，此时无意义，故tan 无意义.梳理三角函数的定义域函数名定义域正弦函数R余弦函数R正切函数知识点三正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin y，

4、cos x，tan .当为第一象限角时，y0， x0，故sin 0，cos 0，tan 0，同理可得当在其他象限时三角函数值的符号，如图所示.梳理记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.知识点四诱导公式一思考当角分别为30，390，330时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案它们的终边重合.由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等.梳理诱导公式一sin(k2)sin ，cos(k2)cos ，tan(k2)tan ，其中kZ.类型一三角函数定义的应用命题角度1已知角终边上一点坐标求三角函数值例1已知终边上一点P(x，3)(x0)，且cos x，求sin ，tan .解由题意知

5、r|OP|，由三角函数定义得cos .又cos x，x.x0，x1.当x1时，P(1，3)，此时sin ，tan 3.当x1时，P(1，3)，此时sin ，tan 3.反思与感悟(1)已知角终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.在的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r0)，则sin ，cos .当已知的终边上一点求的三角函数值时，用该方法更方便.(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1已知角的终边过点P(3a，4a)(a0)，求2sin

6、 cos 的值.解r5|a|.若a0，则r5a，角在第二象限，sin ，cos ，2sin cos 1.若a0时，rk，是第四象限角，sin ，10sin 103330.(2)当k0，则为第一象限角，r2a，所以sin ，cos ，tan .若a0，则为第三象限角，r2a，所以sin ，cos ，tan .类型二三角函数值符号的判断例3(1)若是第二象限角，则点P(sin ，cos )在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析为第二象限角，sin 0，cos 0，点P在第四象限，故选D.(2)确定下列各三角函数值的符号.sin 182；cos(43)；tan.解182

7、是第三象限角，sin 182是负的，符号是“”.43是第四象限角，cos(43)是正的，符号是“”.是第四象限角，tan是负的，符号是“”.反思与感悟角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.跟踪训练3(1)已知点P(tan ，cos )在第三象限，则是第 象限角.答案二解析由题意知tan 0，cos 0，是第二象限角.(2)判断下列各式的符号.sin 145cos(210)；sin 3cos 4tan 5.解145是第二象限角，sin 1450.210360150，210是

8、第二象限角，cos (210)0，sin 145cos(210)0.3452，sin 30，cos 40，tan 50，sin 3cos 4tan 50.类型三诱导公式一的应用例4求下列各式的值.(1)sin(1 395)cos 1 110cos(1 020)sin 750；(2)sincostan 4.解(1)原式sin(436045)cos(336030)cos(336060)sin(236030)sin 45cos 30cos 60sin 30.(2)原式sincostan(40)sincos0.反思与感悟利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2间的三角函数，也可把大于2的角的三角函数

9、化为0到2间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.跟踪训练4求下列各式的值.(1)costan；(2)sin 810tan 765cos 360.解(1)原式costancostan1.(2)原式sin(902360)tan(452360)cos 360sin 90tan 4511111.1.已知角的终边经过点(4，3)，则cos 等于()A. B.C. D.答案D解析由题意可知x4，y3，r5，所以cos .故选D.2.cos()等于()A. B.C. D.答案C解析cos()cos(2)cos .3.若点P(3，y)是角终边上的一点，且满足y0，cos ，则tan 等于()A. B.C.

10、 D.答案D解析cos ，5，y216，y0，cos 0时，令x24k，y7k，则有r25k，sin ，cos ，tan .当k0时，令x24k，y7k，则有r25k，sin ，cos ，tan .1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.2.角的三角函数值的符号只与角所在象限有关，角所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.3.终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.课时作业一、选择题1.sin(1 380)的值为()A. B.C. D.答案D解析sin(

11、1 380)sin(360460)sin 60.2.已知是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos x，则x的值为()A. B.C. D.答案D解析cos x，x0或2(x25)16，x0或x23，x0(是第二象限角，舍去)或x(舍去)或x.故选D.3.已知sin 0，且tan 0，即需cos ，tan 同号，所以是第一或第二象限角.11.若角的终边与直线y3x重合且sin 0，又P(m，n)是终边上一点，且|OP|，则mn .答案2解析y3x且sin 0，点P(m，n)位于y3x在第三象限的图象上，且m0，n0，cos x0，sin xcos x0，y0；当x为第二象限角时，sin x

12、0，cos x0，sin xcos x0，y2；当x为第三象限角时，sin x0，cos x0，y4；当x为第四象限角时，sin x0，sin xcos x0，y2.故函数y的值域为4，0，2.三、解答题13.化简下列各式：(1)sin cos cos(5)tan ；(2)a2sin 810b2cos 9002abtan 1 125.解(1)原式sin cos cos 110111.(2)原式a2sin 90b2cos 1802abtan(336045)a2b22abtan 45a2b22ab(ab)2.四、探究与拓展14.已知角的终边上有一点P(x，1)(x0)，且tan x，则sin cos .答案0或解析的终边过点P(x，1)(x0)，tan .又tan x，x21，即x1.当x1时，sin ，cos ，因此sin cos 0；当x1时，sin ，cos ，因此sin cos .故sin cos 的值为0或.15.已知，且lg(cos )有意义.(1)试判断角所在的象限；(2)若角的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin 的值.解(1)，sin 0.lg(cos )有意义，cos 0.由得角在第四象限.(2)点M(，m)在单位圆上，()2m21，解得m.又是第四象限角，m0，m.由三角函数定义知，sin .