人教版八年级数学：18.2.3正方形的性质与判定.ppt

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1、,18.2.3正方形的性质与判定,世界数学大会会标,图片欣赏,剪一剪,1、给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如图的正方形孔吗？,正方形,矩形,剪一剪,2、给你一张矩形纸能把它折成一个正方形吗？,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,创设情景,问题:,从这个图形中你想到了什么？,A,B,C,D,情景二,新知探究,A,B,C,D,情景二,新知探究,A,B,C,D,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,C,D,情景二,新

2、知探究,A,B,C,D,A,B,邻边相等的矩形,想一想：正方形是怎样的矩形？,矩形,正方形,新知探究,菱形,正方形,一个角是直角的菱形,想一想：正方形是怎样的菱形？,新知探究,有一个角是直角,有一组邻边相等,回忆,如何在平行四边形的基础上来定义正方形,一、正方形定义,定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形,菱形,矩形,平行四边形,平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系,正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。,正方形的性质=,角：四个角都是直角,图形的对称性：既是轴对称图形,又是中心对称图形.,正方形的性质,特殊的平行四边形特殊的矩形特殊的菱形,二、正方形的

3、性质:,四条边都相等且对边平行;,两条对角线互相垂直平分且相等,并且每一条对角线平分一组对角.,四个角都是直角;,1、边：,2.角:,3.对角线:,(A),(B),(C),(D),4、既是轴对称图形也是中心对称图形,有四条对称轴,对称性,特征,正方形是中心对称图形,对称中心为点O,它也是轴对称图形,有4条对称轴,(1)它具有平行四边形的一切性质,两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分,(2)具有矩形的一切性质,四个角都是直角，对角线相等,(3)具有菱形的一切性质,四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角,(A),(B),(C),(D),归纳：,A,C,D,B,A,C,D

4、,B,A,C,D,B,O,对边平行四边相等,四角是直角,对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角,四边形ABCD是正方形ABCDADBC,AB=BC=CD=AD,四边形ABCD是正方形A=B=C=D=90,四边形ABCD是正方形ACBD,AC=BD,OA=OB=OC=OD,回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列,对边平行且相等,四条边相等,对边平行且四条边相等,对角相等,四个角都是直角,四个角都是直角,对角线互相平分,对角线相等,对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角,对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角,中心对称图形,既是中心对称图形又是轴对称图形,既是中心对称

5、图形又是轴对称图形,既是中心对称图形又是轴对称图形,图形,性质,分类,正方形,类比归纳,你觉得什么样的四边形是正方形呢?(判断一个四边形是正方形有哪些方法？）,正方形的判定方法：,一、以平行四边形、矩形、菱形为基础,定义法,四条边相等，四个角都是直角,对角线互相垂直、平分且相等,二、以四边形为基础：,既是菱形又是矩形的四边形是正方形。,5种判定方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直角,或对角线相等,一组邻边相等,或对角线垂直,一组邻边相等,或对角线垂直,一个角是直角,或对角线相等,一个角是直角且一组邻边相等,平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结,(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个

6、全等的等腰直角三角形（）(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（）(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形（）(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形（）(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形（）,快速反应,判断题:,（6）正方形一定是矩形（）（7）正方形一定是菱形（）（8）菱形一定是正方形（）（9）矩形一定是正方形（）(10)正方形、矩形、菱形都是平行四边形（）,（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴(),(13)四个角都相等的四边形是正方形()(14)四条边都相等的四边形是正方形(),正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A、四个角相等.B、对

7、角线互相垂直平分.C、对角互补.D、对角线相等.,2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A、四条边相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角.D、对角线相等.,B,D,选择题:,3、下列命题正确的是（）A、四个角都相等的四边形是正方形B、四条边都相等的四边形是正方形C、对角线相等的平行四边形是正方形D、对角线互相垂直的矩形是正方形,D,4四个内角都相等的四边形一定是（）A、正方形B、菱形C、矩形D平行四边形,C,5在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是：（）AAOBOCODO，ACBDBADBCACCAOCOBODOABBCDACBD,A,6四个内角都相

8、等，四条边也都相等的四边形一定是：（）A正方形B菱形C矩形D平行四边形,A,1、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周长为cm。,7.5,填空题,2.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB2cm，则AC=,正方形的面积S=_.,2,2,4,6,36,3.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC6cm，面积S=_.则边长AB_cm,4,36,24,2,30,(7),（8),15,10、正方形ABCD中，M为AD中点，MEBD于E，MFAC于F,若ME+MF=8cm，则AC=_.,16cm,5,11、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、

9、BD相交于点O。,若AB=BC，则四边形ABCD是（）若AC=BD，则四边形ABCD是（）若BCD=900，则四边形ABCD是（）若OA=OB，则四边形ABCD是（）若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是（）,菱形,矩形,矩形,矩形,正方形,例1,求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.,第一步:根据题意画出图形第二步:写出已知第三步：写出求证第四步:进行证明,这是一道文字证明题,该怎么做?你会做吗?,已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.,求证:ABO、BCO、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形.,证明:四边形ABCD是正方形,A

10、C=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO.ABO、BCO、CDO、DAO都是等腰直角三角形,并且ABOBCOCDODAO,分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系,垂直可以产生直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.,1.如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？为什么？,解：BE=DE.因为对角线AC所在的直线是正方形ABCD的对称轴，而点E在对称轴上，点B为点D关于AC的对称点，所以BE=DE,练一练,解：四边形ABCD是正方形,AD=AB,DAE=BAE=45,又AE=AE,ADEABE(SAS)

11、,ED=EB,已知：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，M、N在OB和OC上，且MNBC，连结DN、MC，试猜想DN与MC有什么关系？并证明你的猜想。,又MNBCOMN1BCOONM45OMON,1,2,证明：四边形ABCD是正方形OCOD,COD=COB=901BCO45,COMDON(SAS),DNMC,H,3,解：DNMCDNMC,（2）由COMDON得2=3,又3+CMO=90,2+CMO=90,DHM=90,DNMC,例2,已知：如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BMCN。,证明：,OAOMOBON,OMON,OMN13ON

12、M45,又MNAB,12345,OAOBAB=BC,四边形ABCD是正方形,即：AM=BN,ABMBCN,BM=CN,已知：正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DGAE于G，DG交OA于F求证：OE=OF,证明：四边形ABCD是正方形AOE=DOF=90，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）又DGAEEAO+AEO=EDG+AEO=90EAO=FDOAEODFOOE=OF,直角三角形ABC中ACB=90，CD平分ACB交AB于D，DEAC，DFAB。求证：四边形CEDF是正方形。,四边形ABCD是正方形（),DE=DF(),DEAC，DFBC,CD平分ACB,四边形AB

13、CD为矩形(),而ACB=90,DEC=90，DFC=90,证明：DEAC，DFAB,有三个角是直角的四边形是矩形,角平分线的定理,有一组邻边相等的矩形是正方形,例3,已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CEAF于E，交AD于M，求证：MFD45,证明：,DM=DF,RtCDMRtADF(ASA),又CDAD，ADFMDC=Rt,12,CMDAME,ADCAEM90,CEAF四边形ABCD是正方形,MFD45,例4,1、已知：如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD，延长BD交AF于H。求证：(1)ACFDCB(2

14、)BHAF,练一练,2、已知：如图，ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。求证：CEAABG,证明：四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。AEABAGAC1290又EAC1BAC90BACBAG2BAC90BACEACBAGAECABG(SAS)CEAABG,3、在正方形中，点，分别在，上，且.四边形是正方形吗？为什么？,4、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF，探索图中AE与BF的关系。,5、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且CE=AC，AE交CD于F，则求AFC的度数。,6、在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DEAB,

15、DFAC,垂足分别是E,F.1)试说明:DE=DF2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明),如何设计花坛？在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）,请你当设计师,课外拓展：,数一数图中正方形的个数，你发现了什么？,多,多,多,（）个（）个（）个（）个,第n个图中正方形有个,3n-1,长见识,解：四边形ABCD是正方形ABBC2cm，ABC90正方形的四个角都是直角，四条边都相等,练习1、已知：正方形的一条边长为2cm，求这个正方

16、形的周长、对角线长和正方形的面积。,边长AB2cm周长C4AB8cm,练习2、已知：正方形的一条对角线长为4cm,解：四边形ABCD是正方形ABBC，ABC90正方形的四个角都是直角，四条边都相等,1、正方形的面积等于边长的平方。2、正方形的面积等于对角线的平方的一半。3、正方形的周长等于边长的4倍。,在RtABC中，,求:它的边长和面积。,练习3、AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE，EFAC交BC于F.请说明：EC=EF=FB,解：四边形ABCD是正方形B=900,ACB=450AEF=900AB=AEABFAFE(HL）BF=EF又FEC=900,ECF=45EFC

17、=45,EC=EF（等角对等边）BF=EF=EC,练习4、在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PEAB，PFBC，垂足分别是点E、F.求证：DP=EF,证明：,连接PB,又PEAB，PFBC,四边形ABCD是正方形,ABC=90,AD=AB,DAP=BAP=45,PEB=PFB=90,四边形PECF是矩形,PB=EF,又AP=AP,ADPABP(SAS),PD=PB,PD=EF,练习5、已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB2cm，如图(2)。,求：AC的长及正方形的面积S。,E,F,G,矩形EFCG的周长。,练习6、已知：如图矩形ABCD,对角线AC、BD相交于点O，

18、AE平分BAD交BC于点E，连接OE，若EAO=150，求BOE的度数。,练习7、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。,A,B,C,D,M,N,练习8、已知，如图在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN垂足为点E，,求证：四边形ADCE是矩形。,当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形，说明理由。,练习9、如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与CEFG是正方形，连接BG、DE,（1）观察、猜想BG与DE之间的大小关系，并说明理由。,（2）正方形CEFG在绕点C旋转过程

19、中，BG与DE之间的关系是否仍然成立。,练习10、如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM，且交CBE的平分线于点N。,（1）求证：MD=MN,（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其它条件不变，问结论MD=MN是否仍然成立。,F,P,练习11、如图，四边形ABCD.DEFG都是正方形，连接AE.CG。（1）求证：AE=CG（2）观察图形，猜想AE与CG的位置关系，并证明你的猜想。,(1)证ADECDG(SAS),(2)AECG,思考题：如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋

20、转，在旋转的过程中.,探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于MN，试判断线段AM于BN之间的关系.,探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由。,探究四：如图，有两个大小不等的两个正方形，其中小正方形的面积是大正方形面积的一半，若阴影部分的面积为8，则小正方形的边长为多少？,探究三:若正方形OEFG继续旋转时，AM与BN之间的关系是否还成立？,构建与证明,O,B,A,已知：如图，分别延长等腰直角三角形OAB的两条直角边AO和BO，使AO=OC，BO=OD求证：四边形ABCD是正方形。,四条边都相等,一组邻边相等,对角线互相垂直,对角线互相平分,一组对边平行且相等

21、,两组对边分别平行或相等,三个角都是直角,一个角是直角,对角线相等,一组邻边相等,作业,12、13、15,四边形,2、,再见！,成功就是99%的血汗，加上1%的灵感。-爱迪生,在科学上从没有平坦的大道，只有不畏艰险勇于攀登的人，才能达到光辉的顶点-马克思,练习3、AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE，EFAC交BC于F，求证：EC=EF=FB,A,B,C,D,E,F,证明：四边形ABCD是正方形B=900ACB=450AEF=900AB=AEABFAEF（HL）BF=EF又FEC=900EFC=450EC=EF（等角对等边）BF=EF=EC,已知:如图在正方形ABCD中，

22、点P是对角线AC上一点，PEAB，PFBC，垂足分别是点E、F.求证：DP=EF,2、如图所示是一块在电脑屏幕上出现矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，若中间最小的一个正方形边长为1，你能求这矩形色块的面积吗？,课外拓展：,四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点O,(1)求AOB,OAB的度数,8,解：四边形ABCD是正方形ACBDAOB=900BAC=DACOAB=450,(2)若AC=4，则正方形边长;正方形的面积是,4,(3)正方形的面积64cm，则对角线交点到正方形一边的距离,1、在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道

23、路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）,课外拓展：,小结,已知：如图正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O。,求证：ABOBCOCDOADO,例1、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。,3如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，,分析：要证明BMCN，大家观察图形可以考虑证哪两个三角形全等?,MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，,求证：BMCN。,你能完成证明吗?,ABBC，1245条件够吗？,还需要的条件是AMBN,ABMBCN,你所要证明的两个三角形已经满足了哪些条件?,由正方形可以得到的条件有：,4已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD

24、延长线上一点，CEAF于E，交AD于M，求证：MFD45,分析：欲证MFD45，由于MDF是直角三角形,只须证MDF是等腰三角形,即只要证_=_,要证MDFD，大家只须证得哪两个三角形全等?,试一试看能不能完成证明?,CMDADF,几种特殊四边形的性质,对边平行且相等,对边平行且相等,对边平行四边相等,对边平行四边相等,对角相等邻角互补,四个角都是直角,对角相等邻角互补,四个角都是直角,对角线互相平分,对角线相等且互相平分,对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角,对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角,中心对称图形,轴对称图形中心对称图形,轴对称图形中心对称图形,轴对称图形中心对称图形,