初一数学习知识重点归纳.doc

-* 初一数学知识点总结 （初一上学期） 有理数 1、有理数： (1)凡能写成（a、b都是整数且a≠0）形式的数，都是有理数。正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。 （注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数） (2)有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性。 (3)自然数是指0和正整数；a＞0，则a是正数；a＜0，则a是负数；a≥0 ，则a是正数或0（即a是非负数）；a≤0，则a是负数或0（即a是非正数）。 2、数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3、相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0。 (2)注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b； (3)相反数的和为0时，则a+b=0；即a、b互为相反数。 4、绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。 （注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离）。 (2)绝对值可表示为|a|。 (3)|a|是重要的非负数，即|a|≥0。（注意：|a||b|=|ab|）。 5、有理数比大小： （1）正数的绝对值越大，这个数越大； （2）正数永远比0大，负数永远比0小； （3）正数大于一切负数； （4）两个负数比大小，绝对值大的反而小； （5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数＜ 0. 6、互为倒数： 乘积为1的两个数互为倒数。 （注意：0没有倒数；若 a、b≠0，那么的倒数是；倒数是本身的数是1；若ab=1，则a、b互为倒数；若ab=-1，则a、b互为负倒数。 7、有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 （3）一个数与0相加，仍得这个数。 8、有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a 。 （2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。 9、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）。 10、有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同零相乘都得零。 （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定。 11、有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba。 （2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）。 （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac。 12、有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。（注意：零不能做除数） 13、有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数。注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n 。 14、乘方的定义： （1）求相同因式积的运算，叫做乘方。 （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂。 （3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0 ，则a=0，b=0。 （4）底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位。 15、科学记数法： 把一个大于10的数记成a10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法。 16、近似数的精确位： 一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位。 17、有效数字： 从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字。 18、混合运算法则： 先乘方，后乘除，最后加减。注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则。 19、特殊值法： 是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明。 代数初步知识 1、代数式：用运算符号“＋ － ……”连接数及表示数的字母的式子称为代数式。 注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式。 2、列代数式的几个注意事项： （1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“ ” 乘，或省略不写。 （2）数与数相乘，仍应使用“”乘，不用“ ”乘，也不能省略乘号。 （3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a5应写成5a。 （4）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3a写成的形式； （5）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a . 3、几个重要的代数式： （1）a与b的平方差是：a2-b2； a与b差的平方是：（a-b）2。 （2）若a、b、c是正整数，则两位整数是：10a+b；则三位整数是：100a+10b+c。 （3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：5m+n；偶数是：2n，奇数是：2n+1；三个连续整数是：n-1、n、n+1。 （4）若b＞0，则正数是:a2+b ，负数是：-a2-b，非负数是：b2 ，非正数是：-b2 。 整式的加减 1、单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫项式。 2、单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。 3、多项式：几个单项式的和叫多项式。 4、多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意：（若a、b、c、p、q是常数）ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式。 5、整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式。 6、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。 7、合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变。 8、去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号。 9、整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并。 10、多项式的升幂和降幂排列： 把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列。 一元一次方程 1、等式与等量：用“=”号连接而成的式子叫等式。注意：“等量就能代入”。 2、等式的性质： 等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式。 3、方程：含未知数的等式，叫方程。 4、方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”。 5、移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1。 6、一元一次方程： 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。 7、一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）。 8、一元一次方程的最简形式： ax=b（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）。 9、一元一次方程解法的一般步骤： 整理方程 — 去分母 — 去括号 — 移项 — 合并同类项 — 系数化为1 —（检验方程的解）。 10．列一元一次方程解应用题： （1）读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”。 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套等”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程。 （2）画图分析法：多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础。 11、列方程解应用题的常用公式： （1）行程问题：距离=速度时间 （2）工程问题：工作量=工效工时 （3）比率问题：部分=全体比率 （4）顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； （5）商品价格问题：售价=定价折；利润=售价-成本， ； （6）周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a， S正方形=a2，S环形=π(R2-r2),V长方体=abc ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥= πR2h。 （初一下学期） 二元一次方程组 1、二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数项的次数是1，这样的方程是二元一次方程。 （注意：一般说二元一次方程有无数个解） 2、二元一次方程组：两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组。 3、二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程，左右两边都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解。注意：一般说二元一次方程组只有唯一解（即公共解）。 4、二元一次方程组的解法： （1）代入消元法 （2）加减消元法 （3）注意：判断如何解简单是关键。 5、二元一次方程组的应用： （1）对于一个应用题设出的未知数越多，列方程组可能容易一些，但解方程组可能比较麻烦，反之则“难列易解”。 （2）对于方程组，若方程个数与未知数个数相等时，一般可求出未知数的值。 （3）对于方程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值，但总可以求出任何两个未知数的关系。 一元一次不等式（组） 1、不等式：用不等号“＞”“＜”“≤”“≥”“≠”，把两个代数式连接起来的式子叫不等式。 2、不等式的基本性质： 不等式的基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变。 3、不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解；不等式所有解的集合，叫做这个不等式的解集。 4、一元一次不等式： 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于零的不等式，叫做一元一次不等式；它的标准形式是ax+b＞0或ax+b＜0 ，(a≠0)。 5、一元一次不等式的解法： 一元一次不等式的解法与解一元一次方程的解法类似，但一定要注意不等式性质3的应用。 （注意：在数轴上表示不等式的解集时，要注意空圈和实点） 6、一元一次不等式组： 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 注意：ab＞0 或； ab＜0 或； ab=0 a=0或b=0； a=m 。 7、一元一次不等式组的解集与解法： 所有这些一元一次不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集；解一元一次不等式时，应分别求出这个不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定这个不等式组的解集。 8、一元一次不等式组的解集的四种类型：设 a＞b 9、几个重要的判断： ，, 整式的乘除 1、同底数幂的乘法： aman=am+n ，底数不变，指数相加。 2、幂的乘方与积的乘方： (am)n=amn ，底数不变，指数相乘；(ab)n=anbn ，积的乘方等于各因式乘方的积。 3、单项式的乘法： 系数相乘，相同字母相乘，只在一个因式中含有的字母，连同指数写在积里。 4、单项式与多项式的乘法： m(a+b+c)=ma+mb+mc ，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 5、多项式的乘法： (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd ，先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 6、乘法公式： （1）平方差公式：(a+b)(a-b)= a2-b2，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。 （2）完全平方公式： ① (a+b)2=a2+2ab+b2, 两个数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍。 ② (a-b)2=a2-2ab+b2 , 两个数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。 ③ (a+b-c)2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc 7、配方： （1）若二次三项式x2+px+q是完全平方式,则有关系式：。 （2）二次三项式ax2+bx+c经过配方，总可以变为a(x-h)2+k的形式，利用a(x-h)2+k ①可以判断ax2+bx+c值的符号。 ②当x=h时，可求出ax2+bx+c的最大（或最小）值k。 （3）注意：。 8、同底数幂的除法：aman=am-n ，底数不变，指数相减。 9、零指数与负指数公式: （1）a0=1 (a≠0)； a-n=,(a≠0). 注意：00，0-2无意义。 （2）有了负指数，可用科学记数法记录小于1的数，例如：0.0000201=2.0110-5 。 10、单项式除以单项式: 系数相除，相同字母相除，只在被除式中含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。 11、多项式除以单项式：先用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。 12、多项式除以多项式： 先因式分解后约分或竖式相除；注意：被除式-余式=除式商式。 13、整式混合运算： 先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内。 线段、角、相交线与平行线 1、角平分线的定义： 一条射线把一个角分成两个相等的部分，这条射线叫角的平分线.（如图） 几何表达式举例： (1) ∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC (2) ∵∠AOC=∠BOC ∴OC是∠AOB的平分线 2、线段中点的定义： 点C把线段AB分成两条相等的线段，点C叫线段中点.(如图) 几何表达式举例： (1) ∵C是AB中点 ∴ AC = BC (2) ∵AC = BC ∴C是AB中点 3、等量公理：(如图) （1）等量加等量和相等；（2）等量减等量差相等； （3）等量的等倍量相等；（4）等量的等分量相等. （1） （2） （3） （4） 几何表达式举例： (1) ∵AC=DB ∴AC+CD=DB+CD 即AD=BC (2) ∵∠AOC=∠DOB ∴∠AOC-∠BOC=∠DOB-∠BOC 即∠AOB=∠DOC (3) ∵∠BOC=∠GFM 又∵∠AOB=2∠BOC ∠EFG=2∠GFM ∴∠AOB=∠EFG (4) ∵AC=AB ，EG=EF 又∵AB=EF ∴AC=EG 4、等量代换： 几何表达式举例： ∵a=c b=c ∴a=b 几何表达式举例： ∵a=c b=d 又∵c=d ∴a=b 几何表达式举例： ∵a=c+d b=c+d ∴a=b 5、补角重要性质： 同角或等角的补角相等.(如图) 几何表达式举例： ∵∠1+∠3=180 ∠2+∠4=180 又∵∠3=∠4 ∴∠1=∠2 6、余角重要性质： 同角或等角的余角相等.(如图) 几何表达式举例： ∵∠1+∠3=90 ∠2+∠4=90 又∵∠3=∠4 ∴∠1=∠2 7、对顶角性质定理： 对顶角相等.(如图) 几何表达式举例： ∵∠AOC=∠DOB ∴ …………… 8、两条直线垂直的定义： 两条直线相交成四个角，有一个角是直角，这两条直线互相垂直.(如图) 几何表达式举例： (1) ∵AB、CD互相垂直 ∴∠COB=90 (2) ∵∠COB=90 ∴AB、CD互相垂直 9、三直线平行定理： 两条直线都和第三条直线平行，那么，这两条直线也平行.(如图) 几何表达式举例： ∵AB∥EF 又∵CD∥EF ∴AB∥CD 10、平行线判定定理： 两条直线被第三条直线所截： （1）若同位角相等，两条直线平行；(如图) （2）若内错角相等，两条直线平行；(如图) （3）若同旁内角互补，两条直线平行.(如图) 几何表达式举例： (1) ∵∠GEB=∠EFD ∴ AB∥CD (2) ∵∠AEF=∠DFE ∴ AB∥CD (3) ∵∠BEF+∠DFE=180 ∴ AB∥CD 11、平行线性质定理： （1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；(如图) （2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；(如图) （3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.(如图) 几何表达式举例： (1) ∵AB∥CD ∴∠GEB=∠EFD (2) ∵AB∥CD ∴∠AEF=∠DFE (3) ∵AB∥CD ∴∠BEF+∠DFE=180 几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明） 几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题） 一、基本概念： 直线、射线、线段、角、直角、平角、周角、锐角、钝角、互为补角、互为余角、邻补角、两点间的距离、相交线、平行线、垂线段、垂足、对顶角、延长线与反向延长线、同位角、内错角、同旁内角、点到直线的距离、平行线间的距离、命题、真命题、假命题、定义、公理、定理、推论、证明。 二、定理： 1、直线公理：过两点有且只有一条直线。 2、线段公理：两点之间线段最短。 3、有关垂线的定理: （1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。 4、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 三、公式： 直角=90，平角=180，周角=360，1=60′，1′=60″。 四、常识： 1、定义有双向性，定理没有。 2、直线不能延长；射线不能正向延长，但能反向延长；线段能双向延长。 3、命题可以写为“如果………那么………”的形式，“如果………”是命题的条件，“那么………” 是命题的结论。 4、几何画图要画一般图形，以免给题目附加没有的条件，造成误解。 5、数射线、线段、角的个数时，应该按顺序数，或分类数。 6、几何论证题可以运用“分析综合法”、“方程分析法”、“代入分析法”、“图形观察法”四种方法分析。 7、方向角： （1） （2） 8、比例尺：比例尺1:m中，1表示图上距离，m表示实际距离，若图上1厘米，表示实际距离m厘米。 9、几何题的证明要用“论证法”，论证要求规范、严密、有依据；证明的依据是学过的定义、公理、定理和推论。