2022年高中高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一 .pdf

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1、高中高一数学必修1 各章知识点总结第一章集合与函数概念一一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明： (1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整

2、体性。3、集合的表示： 如 我校的篮球队员 ，太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法。注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N 正整数集N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于 “ 属于 ” 的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素， 就说 a 属于集合A 记作aA ，相反， a 不属于集合A 记作 aA 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法： 将集合中的元素的公共属性描述出来，写在

3、大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式x-32 的解集是 xR| x-32或x| x-32 4、集合的分类：1有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合例： x|x2= 5二、集合间的基本关系1. “包含 ” 关系 子集注意：有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分，； （2）A 与 B 是同一集合。反之 : 集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合A,记作 A B 或 B A 2“ 相等 ” 关系 (5 5 ，且 55 ，则 5=5)

4、实例：设A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同 ”结论：对于两个集合A 与 B，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时 ,集合 B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B，即： A=B 任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集 :如果 AB, 且 A B 那就说集合A 是集合 B 的真子集， 记作 A B( 或B A) 如果AB, BC ,那么AC

5、 如果 AB 同时BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 AB( 读作 A 交 B)，即 AB=x|x A，且 xB 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：AB(读作 A 并 B)，即 AB=x|x A，或 xB 3、交集与并集的性质：A A = A, A = , A B = B A，AA = A, A = A ,A

6、B = B A. 4、全集与补集（1）补集：设S 是一个集合， A 是 S 的一个子集（即） ，由 S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集 A 的补集（或余集）记作：CSA 即 CSA =x  xS且 xA （2）全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U 来表示。（3）性质： CU(C UA)=A (C UA)A= (CUA) A=U 二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A中的任意一个数x，在集合 B中都有唯一确定的数f(

7、x) 和它对应， 那么就称f ：AB 为从集合A到集合 B的一个函数记作： y=f(x)，xA其中， x 叫做自变量， x 的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意： 2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1) 分式的分母不等于零； (2) 偶次方根的被开方数不小于零； (3) 对数式的真数必须大于零； (4

8、) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（ 6）指数为零底不可以等于零 (6) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页( 又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：（ 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两

9、个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同； 定义域一致 ( 两点必须同时具备 ) ( 见课本 21 页相关例2) 值域补充(1) 、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 . (2). 应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3. 函数图象知识归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (xA)中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x，y) 的集合 C，叫做函数y=f(x

10、),(x A)的图象C上每一点的坐标(x ，y) 均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点 (x ， y) ，均在 C上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象 C一般的是一条光滑的连续曲线( 或直线 ), 也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法A、描点法： 根据函数解析式和定义域，求出x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法（请参考必修4 三角函数）常用变换方法有三种，即

11、平移变换、伸缩变换和对称变换(3) 作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。4快去了解区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5什么叫做映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A B 为从集合 A到集合 B的一个映射。记作“ f ：A B”给定一个集合A到 B的映射， 如果 aA,bB.且元素a 和元素 b 对应， 那么， 我们把元素b叫做元素a 的象，元素

12、a 叫做元素b 的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B及对应法则f 是确定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页的；对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合 B的对应， 它与从 B到 A的对应关系一般是不同的；对于映射f ：AB 来说，则应满足： （）集合A中的每一个元素，在集合 B中都有象，并且象是唯一的；（）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折

13、线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数（参见课本P24-25）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况（1）分段函数是一个函数，

14、不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集补充二：复合函数如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA), 则 y=fg(x)=F(x)，(x A) 称为f 、g 的复合函数。例如 : y=2sinX y=2cos(X2+1) 7函数单调性（1）增函数设函数 y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2， 当 x1x2 时， 都有 f(x1)f(x2)， 那么就说 f(x)在区间 D上是增函数。 区间 D称为 y=f(x)的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x

15、1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数. 区间 D称为 y=f(x)的单调减区间 . 注意： 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当 x1x2 时，总有 f(x1)f(x2) 。（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有( 严格的) 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3). 函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取 x1，x2D，且

16、x11，且 *当 是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数此时，的 次方根用符号表示式子叫做根式（ radical），这里叫做根指数（ radical exponent）， 叫做被开方数（ radicand ）当 是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示正的 次方根与负的次方根可以合并成? （ 0 ） 由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作。注意：当是奇数时，当是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，0 的正分数指数幂等于0， 0 的负分数指数幂没有意义指出： 规定了分数指数幂的意义后

17、，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3实数指数幂的运算性质（1） • ；（2） ；（3） （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中 x 是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a1 0a1 0a2 ,x| x-32 3） 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4） Venn 图: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共

18、 23 页4、集合的分类：(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例： x|x2= 5二、集合间的基本关系1. “ 包含 ” 关系 子集注意：有两种可能（1）A 是 B 的一部分，； （2）A 与 B 是同一集合。反之 : 集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合A,记作 A B 或 B A 2“ 相等 ” 关系： A=B (55 ，且 55 ，则 5=5) 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “ 元素相同则两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集。A A 真子集 :如果 A B,且 A1 B 那就说集合A 是集合

19、B 的真子集，记作A B( 或 B A) 如果A B, B C ,那么 A C 如果 A B 同时B A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。u 有 n 个元素的集合，含有2n 个子集， 2n-1 个真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页定义由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 A B （读作 A交 B ） ，即 A B= x|x A，且 x B 由所有属于集合A 或属

20、于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集记作：A B（读作 A并 B ） ，即 A B =x|x A ，或 x B) 设 S 是一个集合，A 是 S的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S中子集 A 的补集（或余集）S A 记作 ，即CSA= 韦恩图示S A 性质A A=A A =A B=B A A B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页A B B A A=A A =AA B=B A A B A B B (CuA) (CuB) = Cu (A B) (CuA) (CuB) = Cu(

21、A B) A (CuA)=U A (CuA)= 例题：1.下列四组对象，能构成集合的是（）A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数2.集合 a，b，c 的真子集共有个3.若集合 M=y|y=x2- 2x+1,x R,N=x|x0 ，则 M 与 N 的关系是. 4.设集合 A= ，B= ，若 A B，则的取值范围是5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40 人，化学实验做得正确得有31 人，两种实验都做错得有4 人，则这两种实验都做对的有人。6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= . 7.已知集合A=x

22、| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若 BC ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页A C= ，求 m 的值二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称f：AB为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y=f(x) ，xA其中， x 叫做自变量， x 的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的

23、集合f(x)| x A 叫做函数的值域注意：1定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. u 相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致(两点必须同时具备) (见课本 21 页相

24、关例2) 2值域: 先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x A) 中的 x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数y=f(x),(x A)的图象 C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x) ，反过来，以满足y=f(x) 的每一组有序实数对x、y 为坐标的点 (x，y)，均在 C 上 . (2) 画法A、 描点法：B、 图象变换法常用变换方法有三种1

25、) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f： A B为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系） ：A（原象）B（象） ”对于映射 f：AB来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中

26、都有原象。6.分段函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x A),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为 f、g 的复合函数。二函数的性质1.函数的单调性(局部性质 ) （1）增函数设函数 y=f(x) 的定义域为I， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2 时，都有f(x

27、1)f(x2) ，那么就说f(x)在区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间 . 如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1) f(x2) ，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x) 的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x) 在这一区间上具有(严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 . (3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取

28、x1， x2D，且 x1x2；2 作差 f(x1) f(x2) ；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x1) f(x2) 的正负）；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页5 下结论（指出函数f(x) 在给定的区间D 上的单调性） (B)图象法 (从图象上看升降) (C)复合函数的单调性复合函数 fg(x) 的单调性与构成它的函数u=g(x) ， y=f(u) 的单调性密切相关， 其规律：“ 同增异减 ”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 . 8函数

29、的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数f(x) 的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x) ，那么f(x) 就叫做偶函数（2） 奇函数一般地，对于函数f(x) 的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x) ，那么f(x) 就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；2 确定 f(x)与 f(x) 的关系；3 作出相应结论： 若 f( x) = f(x) 或 f( x)f(x) = 0 ， 则 f(x) 是偶函数； 若 f(x) =f(x) 或

30、f(x)f(x) = 0 ，则 f(x) 是奇函数注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由f(-x)f(x)=0 或 f(x) f(-x)=1 来判定 ; (3)利用定理，或借助函数的图象判定. 9、函数的解析表达式（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式

31、的主要方法有：1) 凑配法2) 待定系数法3) 换元法4) 消参法10函数最大（小）值（定义见课本p36 页）1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）值3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数 y=f(x) 在区间 a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x) 在 x=b处有最大值f(b) ；如果函数 y=f(x) 在区间 a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x) 在 x=b处有最小值f(b) ；例题：1.求下列函数的定义域：2.设函数的定义域为，则函数的定义域为 _ _ 3.若函数的定义域为，则函数的定义域

32、是4.函数，若，则 = 5.求下列函数的值域：(3) (4) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页6.已知函数，求函数， 的解析式7.已知函数满足 ，则= 。8.设 是 R 上的奇函数，且当时, ,则当时 = 在 R 上的解析式为9.求下列函数的单调区间：10.判断函数的单调性并证明你的结论11.设函数判断它的奇偶性并且求证：高一数学必修 1 知识点123412nxAxBABABAnA（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（ ）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（ ）集合的分类：按集合中元素的个

33、数多少分为：有限集、无限集、空集（ ）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即 是 的子集。、若集合 中有 个元素，则集合 的子集有个，注关系集合集合与集合00(2 -1)23, ,.4/nAAA B CABBCACABABxBxAABABABABABx xAxBAAAAABBAAB真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则 是 的真子集。集合相等：且定义：且交集性质：，运算,/()( )( )-()/()()()()()()UUUUUUUUA ABBABA

34、BABx xAxBAAAAAABBAABAABBABABCard ABCard ACard BCard ABC Ax xUxAAC AAC AAUCC AACABC AC B，定义：或并集性质：，定义：且补集 性质：，()()()UUUCABC AC B1、1若集合22( ,)0 ,( ,)0,Mx yxyNx yxyxR yR，则有（） AAMNMBMNNCMNMDMN2、 若集合|6,Ax xxN，|Bx x是非质数，CAB，则C的非空子集的个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页数为。153、设集合32Axx,

35、2121Bxkxk, 且AB，则实数k的取值范围是。112k4、已知221 ,21Ay yxxBy yx，则AB_。|0y y5、设22240,2(1)10Ax xxBx xaxa, 其中xR, 如果ABB，求实数a的取值范围。函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页,ABAxByfBABx yxfyyxy映射定义：设， 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合 的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于 在

36、某个范围内的每一个确定的值，定义按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。那么就是 的函数。记作函数及其表示函数,()()(),1212()()(),12a ba xxbfxfxfxa ba bfxfxfxa ba ba近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。定义域函数的三要素值域对应法则解析法函数的表示方法列表法图象法单调性函数的基本性质传统定义：在区间上，若如，则在上递增 ,是递增区间；如，则在上递减 ,是的递减区间。导数定义：在区间()1()2()()00,() 0(),() 0(),yfxIMx IfxxIfxMMy fxbfxfxa ba bfxfxa ba b最大值：设函数的

37、定义域为 ，如果存在实数满足：（ ）对于任意的，都有（ ）存在，使得。则称是函数的最大最值最上，若，则在上递增 ,是递增区间；如则在上递减 ,是的递减区间。()1()2()()00(1)()(),()( 2)()(),()yfxINx IfxxIfxNNy fxfxfxxDfxfxfx xDfx小值：设函数的定义域为 ，如果存在实数满足：（ ）对于任意的，都有（ ）存在，使得。则称是函数的最小定义域 ，则叫做奇函数，其图象关于原点对称。奇偶性定义域，则叫做偶函数，其图()()()(0)()()1,()112yfxfx TfxTfxTTfxyy xa xyfx aa象关于 轴对称。奇偶函数的定义

38、域关于原点对称周期性：在函数的定义域上恒有的常数 则叫做周期函数，为周期；的最小正值叫做的最小正周期，简称周期（ ）描点连线法：列表、描点、连线向左平移个单位：向右平移 个平移变换函数图象的画法（ ）变换法,()11,()11,()1110111/()11)01)1yy xa xy fx abxx yb yy bfxbxx yb yy bfxxwwwxwxy fwxyAA单位：向上平移 个单位：向下平移 个单位：横坐标变换：把各点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），即伸缩变换纵坐标变换：把各点的纵坐标伸长（或缩短（到/()1221010(,)2(2)0000221010

39、221010(2)0011112(00221010Ayy Ay fxx xxxxxxyyyfxxy yyyyyx xxxxxx xy fxxy yyyx xxxy yyyfyyyyyy原来的 倍（横坐标不变），即关于点对称：关于直线对称：对称变换关于直线对称：)11()1xx xy xyfxyy关于直线对称：典型示例：1判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页3)5)(3(1xxxy，52xy；111xxy，) 1)(1(2xxy；xxf)(，2)(xxg；343( )f xx

40、x，3( )1F xxx；21)52()(xxf，52)(2xxf。A 、B 、C D 、2、 设)10(),6()10( ,2)(xxffxxxf则)5(f的值为（）A10B11C12D133、设函数.)().0(1),0(121)(aafxxxxxf若则实数a的取值范围是。4、已知函数2( )23(0)f xaxaxb a在1,3有最大值5和最小值2，求a、b的值。5、函数222(03)( )6 ( 20)xxxf xxxx的值域是（）ARB9,C8,1D9,17、若函数234yxx的定义域为0,m,值域为2544，则m的取值范围是（）A4,0B32，4C332，D32，）8、设函数( )

41、23,(2)( )f xxg xf x，则( )g x的表达式是（）A21xB21xC23xD27x9、已知2211()11xxfxx，则( )f x的解析式为（）A21xxB212xxC212xxD21xx10、已知)0(1)(,21)(22xxxxgfxxg，那么)21(f等于（）11、函数)23(,32)(xxcxxf满足,)(xxff则常数c等于（）A3B3C33或D35或12、已知,a b为常数，若22( )43,()1024,fxxxf axbxx则求ba5的值。13、已知0, 10, 1)(xxxf，则不等式(2)(2)5xxfx的解集是。14、已知函数定义域是，则的定义域是（）

42、AB. C. D. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页15、设函数的定义域为，则函数的定义域为_。16、已知函数)(xfy的图象关于直线1x对称，且当),0(x时，有,1)(xxf则当)2,(x时，)(xf的解析式为 （）Ax1B21xC21xD21x,(0,)()(0,)()(0,0,)(01)1lomnananmnaarsrsaaaarsQrsrsaaarsQrrsabababrQxyaaax根式：为根指数，为被开方数分数指数幂指数的运算指数函数性质定义：一般地把函数且叫做指数函数。指数函数性质：见表对数：基

43、本初等函数对数的运算对数函数g,log()loglog;logloglog;loglog; (0,1,0,0)loglog(01)1log(,0,1,logcacNaNaMNMNaaaMMNaaaNnMnMaaMNaayx aaabba ca cba为底数，为真数性质换底公式：定义：一般地把函数且叫做对数函对数函数性质：见表且yxx幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，是自变量，是常数。性质：见表2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页,( )0( )( ) , ( )( )( ) ,( ,),( )0,( )0( )

44、0yf xf xxyf xyf xa bf af byf xa bca bf ccf xf x零点：对于函数（ ）我们把使的实数 叫做函数的零点。定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有零点与根的关系那么，函数在区间内有零点。即存在使得这个程的根。（反之不成立）关系：方程函数与方程函数的应用( )( )(1) ,( )( )0,(2)( ,);(3)( )( )0,( )( )0,( ,)0( )( )0,0yf xyf xxa bf af ba bcf cf ccf af cbcxa bf cf bacx有实数根函数有零点函数的图象与轴有交确定区间验证给定精确度；求区间的中点计算；二分法求方程的近似解若则 就是函数的零点；若则令（此时零点）；若则令（此时零点( ,)(4)-,();2c babab）；判断是否达到精确度：即若则得到零点的近似值 或否则重复几类不同的增长函数模型函数模型及其应用 用已知函数模型解决问题建立实际问题的函数模型精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页