2022年整理全国各地中考数学模拟试题分类汇编开放探究型问题 .pdf

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1、开放探究型问题一、选择题1、二、填空题1、 （2012 年山东潍坊二模）老师给出一个函数，甲、乙两位同学各指出了这个函数的一个性质：甲：第一、三象限有它的图象；乙：在每个象限内，y随x的增大而减小 . 请你写出一个满足上述性质的函数 . 答案不唯一2、(2012 年河北一模 ). 长为 1，宽为a的矩形纸片（112a） ，如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作） ；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作） ；如此反复操作下去若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止当n=3时，a的值为答案：3354或3、函数2xyx中

2、，自变量x的取值范围是答案x- 2 且x 0 三、解答题1、 （2012 年浙江金华模拟）已知：点A、B分别在直角坐标系的x、y轴的正半轴上，O是坐标原点， 点C在射线AO上，点D在线段OB上，直线AD与线段BC相交于点P，设ACAO=a，BDDO=b，CPPB=k。18 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页图1yxPDCBAO图2yxPDCBAO（1）如图 1，当a= 1 2，b=1 时，请求出k的值；（2）当a= 1 3，b=1时( 如图 2) ，请求出k的值；当a=3 2，b= 1 5时，k= ；（3）根据

3、以上探索研究，请你解决以下问题：请直接写出用含a，b代数式表示k=； 若点A(8,0) ，点B（0，6） ，C（ 2，0） ，直线AD为：y= 1 2x+4，则k=。答案：（1）k= 1 2； 2分（2）k= 1 3；k= 15 2；4 分（3）k= a b；k= 5 2；4 分2、 （保沙中学2012 二模） 先化简， (1-xx1xx1-x3x2）-（然后从不等组1x52-x422-x3-x的解集中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值答案：解：原式=2x+4 2x3-（答案不唯一）3、 （2012 江苏江阴市澄东一模）( 本题 8 分) 在ABC中，ACB=90，ABC=30，将ABC

4、绕顶点C顺时针旋转，旋转角为（0180） ，得到ABC（1）如图（ 1） ，当ABCB时，设AB与CB相交于点D证明：ACD是等边三角形；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页（2） 如图 （ 2） ， 连接AA、BB， 设ACA 和BCB 的面积分别为SA CA和SBC B 求证：SA CA ：SBC B=1：3；证明：（1）ABCB，B=BC B=30，ACD=60，又A=60，ACD=A=ADC=60，ACD是等边三角形；4分（2）AC=AC，BC=BC，CBCABCAC又ACA=BCB，ACABCB，6 分33

5、30tanBCAC相似比为3:1，SA CA ：SBC B=1：3； 8 分4、 （2012 四川沙湾区调研）如图，在等腰ABCRt中，ACAB，D为斜边BC上的动点，若nCDBD，ADBF交AD于E、AC于F. （1）如图 1，若3n时，则ACAF= ；第 1 题 图 1 A ABB C ABB C 图 2 第 1 题A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页（2）如图 2，若2n时，求证：AEDE32；（3）如图 3，当n= 时，DEAE2. 答案：31（4 分） ；作DGAC，32BCBDCFDG，由（ 1）结论

6、知CFAF（ 8 分） ；4173（12 分）5、(2012 年杭州一模 ) （本小题满分12 分）如图，以ABC的各边为边，在BC的同侧分别作三个正五边形它们分别是正五边形ABFKL、BCJIE、ACHGD，试探究：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（不需证明）（3）四边形ADEF一定存在吗？为什么？答案：（1）正五边形ABFKL、BCJIE， BF=BA，BE=BC又 3108 2 1；FBEABCEFAC， 4 5 正五边形ACHGD，ACDA， EFDA又FAD360BAF 4CAD360361084216 4；EFA 5AFB 5

7、36；CECECE图3图2图1FFFABBABADDD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页FADEFA216 4 536180，EFDA，四边形ADEF是平行四边形； - （2）当BAC=126，且AC=215AB（或AC=2ABcos36） 时，四边形ADEF是正方形；（3）当BAC=36时，点D、A、F在同一直线上，以A,D,E,F为顶点的四边形不存在6、 (2012 年江阴模拟 ) 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2 倍，我们称这种三角形为倍角三角形 如图 28-1 ， 倍角ABC中，A=2B， A、 B

8、、 C的对边分别记为a,b,c，倍角三角形的三边a,b,c有什么关系呢？让我们一起来探索（图 28-1）（图 28-2）（图 28-3 ）（图 28-4）（1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究. 请你结合图形填空：（2）如图 28-4 ，对于一般的倍角ABC，若CAB=2CBA，CAB、CBA、C的对边分别记为a、b、c，a、b、c三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图28-4 给出的辅助线提示加以证明答案：三角形角的已知量abbca图 28-2 A=2B=90图 28-3 A=2B=60三角形角的已知量abbcacabCABcbaABCbcaBACcbacDBAC精选学习资料 - - -

9、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页每空 1 分共 4 分（2）cbaab， （2 分）证明正确（ 4 分）7、 （2012 江苏江阴华士片九年级下期中检测，26，10 分）如图，抛物线abxaxy32经过A（1，0） 、C（0，3）两点，与x轴交于另一点B. （1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，1m）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D的坐标 . （3）在（ 2）的条件下，连结BD，问在x轴上是否存在点P，使CBDPCB，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由. -1-3CBAOxy图 28-2 A=2B=9

10、022图 28-3 A=2B=6033精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页22468510-1-3CBAOP1xyDDP2答案：8、(2012 浙江绍兴县3 阶段 ) 已知： 在平面直角坐标系中，抛物线32xaxy（0a）交 x 轴于 A 、 B两点，交y 轴于点 C，且对称轴为直线2x. 求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；若点 P(0,t)是 y 轴上的一个动点，请进行如下探究：探究一：如图1，设 PAD的面积为S，令 W t S，当 0t 4 时， W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t 的值；如果没有，

11、说明理由；探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与RtAOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由 ( 本小题满分14 分）解 ： （ 1 ） 抛 物 线23yaxx第 24题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页（0a）的对称轴为直线2x122a，14a，2134yxx 3 分( 2 4)D， 1 分（2）探究一：当04t时，W有最大值抛物线2134yxx交x轴于AB、两点，交y轴于点C，( 6 0)A，(2 0)B，(0 3)C，63OAOC，当04t时，作DMy轴于M，则24DMOM，(

12、0)Pt，4OPtMPOMOPt，PADAOPDMPOADMSSSS梯形111()222DMOA OMOA OPDM MP111(26)462(4)222tt122t 3 分2(122 )2(3)18Wttt当3t时，W有最大值，18W最大值 2 分探究二：存在分三种情况：当190PDA时，作DEx轴于E，则2490OEDEDEA，624AEOAOEDE45DAEADE，24 2ADDE，y x O C B A D M P1 E y x O C B A D M P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页11904545

13、PDEPDAADEDMy轴，OAy轴，DMOA，90MDEDEA，11904545MDPMDEPDE12PMDM，122 2PDDM此时13 24OCOAPDAD，又因为190AOCPDA，1RtRtADPAOC，11422OPOMPM，1(0 2)P，当190PDA时，存在点1P，使1RtRtADPAOC，此时1P点的坐标为（ 0，2） 2 分当290P AD时，则245P AO，26 2cos45OAP A，26 226P AOA4 23ADOC，2P AADOCOA2P AD与AOC不相似，此时点2P不存在 2 分当390AP D时，以AD为直径作1O，则1O的半径222ADr，圆心1O

14、到y轴的距离4ddr，1O与y轴相离不存在点3P，使390AP D 1 分综上所述，只存在一点(0 2)P，使RtADP与RtAOC相似（其它方法可参照此答案给分）9、(2012 宁德市一摸 ) 在数学“综合与实践”课中，陈老师要求同学们制作一张直角梯形纸片ABCD，要求梯形的上底AD=3cm ，下底BC=5cm 探索：当直角梯形ABCD的高AB是多少厘米时，将该梯形沿某一直线剪成两部分后，能拼成一个既不重叠又无空隙的特殊几何图形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页（1） 如图 1， 小颖过腰CD的中点E作EFBC于

15、F， 沿EF将梯形剪切后， 拼成正方形 求小颖所制作的直角梯形的高AB是多少厘米？（2）如图 2，小亮过点B作BMCD于M，沿BM将梯形剪切后，拼成直角三角形请在答题卡的相应位置补全拼后的一种直角三角形草图，并求小亮所制作的直角梯形的高AB是多少厘米？（3）探索当直角梯形的高AB是多少厘米时，将该梯形沿某一直线剪成两部分后，能拼成一个不是正方形的菱形 请在答题卡的相应位置画出两种不同剪切、 拼图方法的草图，并直接写出原直角梯形的高AB解： （1）由拼图可知DGECFE，（ADE+GDE=180，DEG+DEF=180，点G是AD与FE延长线的交点学生未证不予扣分）由拼图得，若四边形ABFG是正

16、方形，设DG为xAG=BF=AB 即xx53解得：1xAB=AG=3+1=4 3 分（2）拼法 1：按如图2-1 方式拼接， 5 分由拼图可知GADBMC，（GAD+BAD=180，GDA+ADC=180，点G是BA与CD延长线的交点学生未证不予扣分）解法一：GD=BC=5，由勾股定理可得：435G2222ADDGABM=AG=4GAD=GMB=90，G=G GADGMB MBADGBGD，即435GB图 2 ACDB MC EDBA图 1 FAMDG ADFBEC图 1 G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页解

17、得：320GB384320AB解法二：CM=AD=3，由勾股定理可得：422CMBCBM作DEBC于E，得EC=2 BMC=DEC=90tanC=ECDECMBM234DE38DEAB拼法 2： 按如图 2-2 方式拼接，由拼图可知HMDBMC（HMD+BMD=180，HDM+ADC=180，点H是AD与BM延长线的交点学生未证不予扣分）则HD=BC=5，HM=BMHMD=A=90由 cosH=DHMHBHAH得528MHMH，解得：52HMBH=2HM=45由勾股定理可得：48)54(2222AHBHAB（ 3）按如图3-1 方式拼接成一个菱形则梯形高76AB; 按如图 3-2 方式拼接成一

18、个菱形则梯形高32AB. （学生完成一种做法即得满分）DAB C图 3-1 GFEHAMDCBH 图 2-2 A N O D C B M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页10、如图，已知点A( -3，5) 在抛物线y=12x2+c的图象上，点P从抛物线的顶点Q出发，沿y轴以每秒1 个单位的速度向正方向运动，连结AP并延长，交抛物线于点B，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为C、D，连结AQ、BQ(1) 求抛物线的解析式；(2) 当A、Q、B三点构成以AQ为直角边的直角三角形时，求点P离开点Q多少时间？(3) 试探

19、索当AP、AC、BP、BD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）时，点P离开点Q的时刻答案：解：（1）把A（- 3，5）代入得： 5=129+c， 1c=12 2（2）若AQBQ，过点Q作MNy轴，可证AMQQNBAM=AC-MC=92，MQ=3，23BNMQNQAM设B（3k，2k+12） ，代入抛物线解析式得：k=49，即B（43，2518） 3直线AB的解析式为：5562yxA C D O B P y x Q A C D O B P y x Q M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 1

20、7 页yx123-1-2DCBAo-3 -2-132132-1OP=52，PQ=2 4若AQAB，ACPQ，可证AMQQAP，又由勾股定理得AQ=3 132PQ=2132AQAM 6对应的时刻t为： 2 或132（3）若AC=BD，AP=BP，此时点A与点B关于y轴对称，OP=AC=5，PQ=412 8若AC=AP，设P（0，y） ，则： 9+(y-5)2=25，解之得，y=1，即OP=1PQ=12 9此时，直线AP解析式为：413yx与抛物线的交点B为（13，59） ，PB=12569819=BD 10 满足条件的时刻为：12和 41211、如图所示，放在直角坐标系中的正方形ABCD的边长为

21、4，现做如下实验：转盘被划分为三个相同的扇形，并分别标有数字1，2，3，先后转动两次转盘，转盘停止后，指针所指的数字作为直角坐标系中M点的坐标（第一次作横坐标，第二次作纵坐标），指针如果指在界线上，则重新转动转盘（1）请你用树状图或列表的方法，求M点落在正方形ABCD面上（含内部与边界）的概率（2）将正方形ABCD进行怎样的平移，可使M点落在正方形ABCD面上（含内部与边界）的概率恰好等于23？答案：解：（1）用树状图表示为：A C D O B P y x Q M -123-123-12332-1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13

22、 页，共 17 页M点 的 坐 标 有9 种 ， 且 落 在 正 方 形ABCD面 上 （ 含 内 部 与 边 界 ） 的 有4 种 ， 即)2,2(),1,2(),2, 1(),1,1(，故P（M点落在正方形ABCD面上（含内部与边界） ）= 94；（2）将正方形ABCD向上平移1 个单位或向右平移1 个单位，可使M点落在正方形ABCD面上（含内部与边界）的概率恰好等于23. （求出一种情况得2 分，两种都求出得4 分）12. （2012 北京市东城区）在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长

23、为1） ，再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图 1 所示这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积（1）请你将ABC的面积直接填写在横线上_；思维拓展：（2）我们把上述求ABC面积的方法叫做构图法若ABC三边的长分别为2a、13a、17a（0a） ，请利用图2 的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的ABC，并求出它的面积填写在横线上_；探索创新：（3）若ABC中有两边的长分别为2a、10a（0a） ，且ABC的面积为22a，试运用构图法在图 3 的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的ABC( 全等的三角形视为同一种情况)

24、，并求出它的第三条边长填写在横线上_（本小题满分5 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页解： （1）ABC的面积为72； 1 分（ 2）ABC的面积为252a；3 分（3）图中三角形为符合题意的三角形 . 5 分13 （2012 北京市怀柔区）探究：（1）如图1，在正方形ABCD中， E、F 分别是BC 、CD上的点，且 EAF 45，试判断BE 、DF与 EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图 2，若把 (1) 问中的条件变为“在四边形ABCD 中， AB AD ，BD180，E、F分别是

25、边BC、CD上的点，且 EAF=21BAD ”，则（ 1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（ 2）问中，若将 AEF 绕点 A逆时针旋转，当点分别E、F 运动到 BC 、CD延长线上时，如图3 所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页（图 3）（1）通过观察可知，EF= BEDF.1分（2）结论 EF= BEDF仍然成立（如图2）. 2 分证明 : 将ADF绕点 A顺时针旋转，使AD与 AB重合

26、，得到ABF，ADF ABF，1=2，AF=AF，BF=DF. ABF=D又 EAF=21BAD ，即 4=2+3.4=1+3.又 ABC D180，ABFAB E=180，即：F、B 、E共线 . 在AEF与AEF1中， AF=AF，4=1+3， AE=AE AEF AEF中，3分EF=EF，又 EF=BEBF, 即： EF= BEDF. 4分（3）发生变化 . EF 、BE 、DF之间的关系是EF= BEDF. 5分证明：将 ADF 绕点 A顺时针旋转，使AD与 AB重合，点F落在 BC上点F处，得到 ABF，如图 3 所示 . ADF ABF，B AF=DAF ， AF=AF，BF=DF. 又 EAF=21BAD ，且B AF=DAFFAE= FA E. 在FAE与 FA E 中 AF=AF，FAE= FA E, AE=AE, FAE FA E. 6分EF=EF，又BE= BFEF，EF=BEBF. （图 2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页即 EF= BEDF.7分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页