最新大一高数基本计算小结ppt课件.ppt

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1、v导数微分计算导数微分计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ( )sin(),2kkkuaaxbv导数微分计算导数微分计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例5.5.设设2sin(),yxaxb解解:代入莱布尼茨公式代入莱布尼茨公式 得得(k 1 2 n)(k 3 n)设设 sin(),uaxbv x2 则则2 ,vx 2,v ( )0,kv( )( )()nnyuv求求( ).ny( )(1)(2)(1)2nnnn nuvnuvuv( )sin(),2kkkuaaxbv导数微分计算导数微分计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返

2、回 结束结束 例例5.5.设设2sin(),yxaxb解解:代入莱布尼茨公式代入莱布尼茨公式 得得(k 1 2 n)(k 3 n)设设 sin(),uaxbv x2 则则2 ,vx 2,v ( )0,kv( )( )()nnyuv求求( ).ny( )(1)(2)(1)2nnnn nuvnuvuv2sin()2nna xaxb1(1)2sin2nnnaxaxb2(2)(1)sin2nnn naaxbv导数微分计算导数微分计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例6.6.,1)10(3yxxy求设解解1:代入莱布尼茨公式代入莱布尼茨公式 得得(k 1 2 10) (k

3、4 10)设设 1,1uxv x3 则则( )1!( 1),(1)kkkkux 23,vx 6 ,vx 6,v ( )0,kv(10)(10)()yuv(10)1(9)2(8)3(7)101010uvC uvC uvC uv3211109810!3 10!3 10!10!(1)(1)(1)(1)xxxxxxxv导数微分计算导数微分计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例6.6.,1)10(3yxxy求设解解2:13xxy)10()10(2)10(11) 1(xxxy,111111123xxxxxx1110) 1(!10) 1(x.) 1(!1011xv极限计算极限计

4、算1.1.一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的 4.4.等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理2.2.极限的四则运算法则极限的四则运算法则. .3.3.有界变量与无穷小的乘积也是无穷小有界变量与无穷小的乘积也是无穷小. .常用等价无穷小常用等价无穷小: : 当当 时时0 x 2 sin tan ln(1) 1,11 cos, (1)1.2xxxxxexxxx 计算极限时计算极限时, ,无穷小无穷小在乘除运算中在乘除运算中可以作等价代换可以作等价代换. . 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1.1.一切初等函数在其定义区间内都是连续的一

5、切初等函数在其定义区间内都是连续的 2.2.极限的四则运算法则极限的四则运算法则. .3.3.有界变量与无穷小的乘积也是无穷小有界变量与无穷小的乘积也是无穷小. .4.4.等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理v极限计算极限计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1lnln(lim)lim lnlimvuuvuv1lim(1)lim(1) exp(lim)vuvuuuuvv极限计算极限计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2103sincoslim(1 cos )ln(1)xxxxxx原式原式xxxxx120cossin3lim21)1ln(xx

6、30223分析分析: :例例1. 1. 003sin11limlim cos22xxxxxxv极限计算极限计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0(sincos )lim1tan1 sinxxx exxxx解解: : “0“0根式根式”有理化有理化乘除运算中乘除运算中“非非0 0因子因子”先算出先算出,“0,“0因子因子”作等作等价无穷小代换价无穷小代换 4 洛必达法则洛必达法则v极限计算极限计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0(sincos )lim.1tan1 sinxxx exxxx例例2. 2. 计算计算 0(sincos )li

7、m( 1tan1 sin)tansinxxx exxxxxx0(sincos )2limtan(1 cos )xxx exxxx20sincos4limxxexxx0cossin2limxxexxx02lim(sincos )xxexx21limln(1).xxxx解解: :tttt1)1ln(1lim2020)1ln(limtttt)1 (2lim0ttttttt21lim11021)1(xt 令例例3. 3. 计算计算 21limln(1)xxxxv极限计算极限计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解:1lnlim(1).xxx)(0 例例4. 4. 计算计算

8、1lnln lim(1)xxx1lnlim ln(1)xxxln(1)limlnxxx12(1)lim1xxxxlim2()xxxx12v极限计算极限计算1lnlim(1)xxxe机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ()抓大头抓大头机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 22003300sinsinlimlim()xxxxtdttdtxx220sin2lim3xxxx002sin()2sin2limlim333xxxxxx v极限计算极限计算例例5.5.计算计算 2030sinlim.xxtdtx解解:02sinim|l3xxxv积分计算积分计算2.

9、 2. 定积分关于积分区间的可加性定积分关于积分区间的可加性( )d( )d( )dbcbaacf xxf xxf xx1. 1. 设设 F(x) 为为 f(x) 的一个原函数的一个原函数, 则则( )d( )fxxFxC 若若 f(x) 连续连续, 则有则有 Newton Leibniz 公式公式( )d( )bbaafxxFx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3. 3. 分项法分项法( (积分的线性性质积分的线性性质) )化所给不定积分为化所给不定积分为常见的积分类型常见的积分类型之和之和 xxgkxxfkxxgkxfkd)(d)(d)()(21214. 4. 第

10、一类换元法第一类换元法( (凑微分法凑微分法) )( )( )( )dd( )xxfxfxxv积分计算积分计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;1)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxefx;sec)(tan. 72xdxxf.1)(arctan. 82dxxxf 常常 见见 的的 凑凑 微微 分分 类类 型型v积分计算积分计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5. 5. 第二类换元法第二类换元法( (积分变量代换法积分变量代换

11、法) )d( )( )d(f xftxtt 设设 f 连续连续, , x = (t) 单调可导单调可导, ,则有则有 若若 a= (a a), b= (b b), 则有则有( ) ( )d( )dbaxtftxftbav积分计算积分计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5. 5. 第二类换元法第二类换元法( (积分变量代换法积分变量代换法) )常用的变量代换常用的变量代换: :2 2）简单根式代换）简单根式代换,ndcxbaxt .baetkx v积分计算积分计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 积分时积分时, , 三角代换和三角代换和根式代

12、换应优先考虑根式代换应优先考虑5. 5. 第二类换元法第二类换元法( (积分变量代换法积分变量代换法) )常用的变量代换常用的变量代换: :3 3）倒代换）倒代换tx1 4 4）万能代换）万能代换2tanxu ,12d2duux ,12sin2uux 2211cosuux 分母次数较高分母次数较高,宜使用宜使用倒代换倒代换.v积分计算积分计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 分部积分基本题型分部积分基本题型: :6. 6. 分部积分法分部积分法 uvuvvuddv积分计算积分计算分部积分公式分部积分公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 7.

13、7. 对称区间上的积分对称区间上的积分v积分计算积分计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 222(sinsin)xxx2222sinsinxx xx奇奇函函数数237. 7. 对称区间上的积分对称区间上的积分v积分计算积分计算解解: : 1220arctan() arctandxxIxexex 1arctanarctan(0)2xxx120d2xx6机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 8. 8. 一个定积分等式的运用一个定积分等式的运用v积分计算积分计算例例3 3. . 计算计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 40l

14、n(1tan )d .Ixx解解: : 40ln1 tan()d4Ixx40tantan4ln1d1tantan4xxx402lnd1tanxxln24Iln28I8. 8. 一个定积分等式的运用一个定积分等式的运用v积分计算积分计算思考题思考题 计算下列定积分：计算下列定积分：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解: : , 1 xet令令),1ln(2 tx则则例例4. 4. 求求 .d1 xexexx,d12d2tttx xexexxd1 ttttttd12)1()1ln(222 ttd)1ln(22 ttttttd122)1ln(222 ttttd)111(4)1ln(222Ctttt arctan44)1ln(22.1arctan41412Ceeexxxx v积分计算积分计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例5. 5. 计算计算 .d)ln(ln12 xxxx解解: : xxxxd)ln(ln122(1)(lnln)d()xxxxxx xxxxxxxdln1d)ln(12 )ln1d(lnd)ln(12xxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxd)11()ln(1lnd)ln(122xxxln .C v积分计算积分计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 34 结束语结束语