最新大一高数下基本概念教学课件.ppt-得力文库

资源描述

《最新大一高数下基本概念教学课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新大一高数下基本概念教学课件.ppt（34页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、大一高数下基本概念大一高数下基本概念第八章第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性机动目录上页下页返回结束多元函数的基本概念多元函数的基本概念整个平面点集 1),(xyx是开集，是最大的开域 , 也是最大的闭域；但非区域 .机动目录上页下页返回结束 11oxy 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域有界域 , 界域界域 .否则称为无无3. n 维空间维空间n 元有序数组),(21nxxx),(21

2、nxxx的全体称为 n 维空间维空间,Rnn 维空间中的每一个元素称为空间中的kx数称为该点的第 k 个坐标坐标 .记作即机动目录上页下页返回结束 RRRRnnkxxxxkn,2, 1,R),(21一个点点, 当所有坐标时，0kx称该元素为 nR中的零元,记作 O .的距离距离记作2222211)()()(),(nnyxyxyxyx中点 a 的邻域邻域为),(21nyyyy与点),(,R),(axxxaUn机动目录上页下页返回结束 ),(R21nnxxxx中的点,),(yxyx或规定为 ),(R21nnxxxx中的点与零元 O 的距离为22221nxxxx.,3, 2,

3、1xxn通常记作时当0Raxaxn满足与定元中的变元. ax 记作nR二、多元函数的概念二、多元函数的概念引例引例: : 圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式,2hrV,(为常数）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappS机动目录上页下页返回结束 hr定义定义1. 设非空点集,RnD DPPfu, )(或点集 D 称为函数的定义域定义域 ; 数集DP,Pfuu)(称为函数的值域值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数2R),(),(Dyxyxfz当

4、n = 3 时, 有三元函数3R),(),(Dzyxzyxfu映射R:Df称为定义在 D 上的 n 元函数元函数 , 记作),(21nxxxfu机动目录上页下页返回结束 xzy例如, 二元函数221yxz定义域为1),(22 yxyx圆域说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面., )sin(,yxz 又如机动目录上页下页返回结束的图形一般为空间曲面 .12R),(yx三元函数 )arcsin(222zyxu定义域为1),(222zyxzyx图形为4R空间中的超曲面.单位闭球xyzo三、多元函数的极限三、多元函数的极限定

5、义定义2. 设 n 元函数,R),(nDPPf点 , ) ,(0PUDP,-)(APf则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若存在常数 A ,对一记作，时的极限当0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有机动目录上页下页返回结束对任意正数 , 总存在正数 ,切例例1. 设)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证：.0),(lim00yxfyx证证:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,0 0),(

6、yxf,022时当yx22yx 222yx , 总有机动目录上页下页返回结束要证例例2. 设0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求证：.0),(lim00yxfyx证：证：0),(yxf故0),(lim00yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 时，当022yxxyyx11sinsin总有 2 要证机动目录上页下页返回结束若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkx

7、yx在点 (0, 0) 的极限.),(yxf故则可以断定函数极限则有21kkk 值不同极限不同值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于,),(000时yxP不存在 .例例3. 讨论函数函数机动目录上页下页返回结束例例4. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而620)cos1 (4limrrr此函数定义域不包括 x , y 轴,222yxr令则62)cos1 (4rr6402limrrr2cos1r22r故22222200)()cos(1limyxyxyxyx机

8、动目录上页下页返回结束仅知其中一个存在,推不出其它二者存在. 二重极限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .例3 目录上页下页返回结束四四、多元函数的连续性多元函数的连续性定义定义3 . 设 n 元函数)(Pf定义在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点如果函数在 D 上各点处都连续

9、, 则称此函数在 D 上,0DP 聚点如果存在否则称为不连续,0P此时称为间断点 .则称 n 元函数机动目录上页下页返回结束连续.连续, 例如例如, 函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0 , 0) 极限不存在, 又如又如, 函数11),(22yxyxf上间断.122 yx 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周机动目录上页下页返回结束结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.定理定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则机动目录上页下页返回结束 ,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm* (4) f (P) 必在D 上一

10、致连续 .;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意，DQ;)(Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略) .11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例5. .求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例6. 求函数的连续域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx机动目录上页下页返回结束 2oyx2内容小结内容小结1. 区域邻域 :, ) ,(0PU) ,(0PU 区域

11、连通的开集空间nR2. 多元函数概念n 元函数),(21nxxxf常用二元函数 (图形一般为空间曲面)三元函数DP)(Pfu nR机动目录上页下页返回结束 APfPP)(lim0,0 ,0 时，当00 PP有)( APf3. 多元函数的极限4. 多元函数的连续性1) 函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续P11 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8P72 题 3; 4机动目录上页下页返回结束思考与练习思考与练习解答提示解答提示:

12、:P11 题 2. ),(),(2yxftytxtf称为二次齐次函数 .P11 题 4.xyxyxyxyxyxyxf2)()(),(P11 题 5(3).定义域 0:yyxDP11 题 5(5).定义域22222:RzyxrD2xy DyxoRxyoDr机动目录上页下页返回结束 P12 题 8.间断点集02),(2 xyyxP72 题 3.定义域104:222yxxyD240422001limlimxkxkyxyxxyx)0,21(),(lim021fyxfyx43ln2P72 题 4. 令 y= k x ，0若令xy 42200limyxyxyx212202limxxxDxy42y

13、x1机动目录上页下页返回结束 , 则可见极限不存在作业作业P11 5 (2), (4), (6) 6 (2), (3), (5), (6) 7，9 , 10第二节目录上页下页返回结束备用题备用题1. 设,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法1 令uyxvxy23vuy 3vuux ),(vuf32)(2vuu32)( vu,2xyu yxv ),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy机动目录上页下页返回结束 1 .设,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法2 令uvyx2vuxy2vy uvx ),(2xyy

14、xf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf机动目录上页下页返回结束 yxyxxx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,12.yxxyxyx)1ln(lim00是否存在？解解：xxy取所以极限不存在.333,0,)1ln(yxyx利用yxxyxyx)1ln(lim00机动目录上页下页返回结束 3. 证明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面连续.证证:,)0 , 0(),(处在yx),(yxf为初等函数 , 故连续.又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函数在全平面连续 .由夹逼准则得机动目录上页下页返回结束

展开阅读全文