最新高中数学第四讲数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式同步检测含解析新人 .docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -4.2用数学归纳法证明不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、挑选题1. 用数学归纳法证明不等式：11n1n2113（ n2n241， nN），在证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nk1这一步时，需要证明的不等式是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k1k22kk11k1312k111k2k32kk12k1312kA11B C D1132412 k112k112k1132413241132k224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： D

2、解 析 ： 解 答 ： 当 nk1 时 ， 那 不 等 式 左 边 的 式 子 中 的 n 都 换 成 k1 ， 得 到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11k2k3112k2k11132k224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：此题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是依据111n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 用数学归纳法证明不等式等式左边需增加（）1L L232n 1 2nN，其次步由k 到 k+1 时不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111可编辑资料 - -

3、 - 欢迎下载精品名师归纳总结AB.2k2 k 112k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C.111D.11L L1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 1k 1kk 1k 1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21222答案： D21222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 解答： 由题意， n=k 时，最终一项为12k 1， n=k+1 时，最终一项为12k由 n=k 变到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

4、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结n=k+1 时，左边增加了2k - （ 2k-1 +1） +1=2k-1 项，即为11L L1应选 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 k 112 k 122k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：此题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是依据依据数学归纳法证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的步骤分析运算即可113. 用数学归纳法证明n1n2是（）1132n24时，由 k 到 k+1，不等式左端的变化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1

5、/ 18学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 增加12k1项B.增加12k1和两项12k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C.增加1 2k和112 k两项且削减21一项D.以上结论均错k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

6、归纳总结答案： C解析： 解答： n=k 时，左边 =1+1k1k211+.+1，kk1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n=k 时，左边 =k+11k+12k1k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11=+k1k+.+211-kkk1+12k1+12k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应选 C分析：此题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是依据观看不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结“11n1n21132n241左边的各项，他们都是以n开头，以112 n项终止，可编辑资料

7、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结共 n 项，当由 n=k 到 n=k+1 时，项数也由k 变到 k+1 时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 用数学归纳法证明：“111L1nn1,nN * ”时，由nk k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结232n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 2k 1答案： CB 2k1C 2kD 2k1可编辑资料

8、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 解答： 由于用数学归纳法证明：“111L1n n1, nN * ”时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结232 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 nkk1 不等式成立，等式左边有2k1，因此推证nk1时，左边应2k 11，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此应当增加的项数是2k ，选 C分析：此题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是依据数学归纳法证明不等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式的方法分析运算即可5. 用数学归纳法证明111L1n（ nN , n1 ）时，第一步应

9、验证不等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式（）1232n111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 12211C 1323B 1223111D 13234可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 / 18学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： B解析：

10、解答： 数学归纳法中， 一般情形下第一步验证n1 时的情形。 由于此题中要求n1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以第一步验证n2的情形，而221 3 ，所以此时验证不等式111232 ，应选 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：此题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是依据数学归纳法证明不等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式的步骤分析运算即可6. 用数学归纳法证明不等式111K1127 nN 成立，其 n 的初始值至少可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应为 242

11、n 164可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 7B 8C 9D 10答案： B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11241112n2n1255127可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 解答： 由于 1K n 112122n 1，当 n8 时，左边 =12864可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：此题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是依据数学归纳法证明不等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式分析运算即可7. 利用数学归纳法证明不等式111L1nn24的过程中， 由 n k 推导 n k可编辑资料 -

12、- - 欢迎下载精品名师归纳总结1 时，不等式的左边增加的式子是 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：2k12k21111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 解答： 不等式的左边增加的式子是12k12k2 k12k，故12 k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结填.2 k12k2分析：此题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是依据数学归纳法证明不等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 / 18学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - -可编

13、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -式的步骤分析运算即可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、解答题n14.用数学归纳法证明等式1+2+3+（ n+3） =3 n24) nN * 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：证明： 当 n=1 时，左边 =1+2+3+4=10，右边 = 1左边 =右边314102可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 n=k 时等式成立，即1+2+

14、3+（ k+3） = k3 k2k43 k4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么 n=k+1 时，等式左边 =1+2+3+（k+3 ） +（k+4 ） =2+（ k+4）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= k4 k25) 等式成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上 1+2+3+（ n+3） =n3 n24 nN *成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：分析：此题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是依据第一步验证当 n=

15、n0 时命题成立， 其次步假设当n=k 时命题成立， 那么再证明当n=k+1 时命题也成立 此题解题的关键是利用其次步假设中结论证明当n=k+1 时成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15、用数学归纳法证明不等式111231 2n n nN *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：证明： 当 n=1 时，左边 =1，右边 =2， n=1 不等式成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11假设当n=k（k2）时成立，即12312k kkN *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么当 n=k+

16、1 时，左边 =1122224k +4k 4k +4k+1，可得 2k113kk2k1，12k1k1k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即：2k12k1k1k1k12 k 2k1k12k2k12k1 这就是说n=k+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时不等式也成立综上可知不等式对全部的n N*解析：分析：此题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是依据第一步验证当 n=n0 时命题成立， 其次步假设当n=k 时命题成立， 那么再证明当n=k+1 时命题也成立 此题解题的关键是利用其次步假设中结论证明当n=k+1 时成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

17、名师归纳总结16. 如 xi0i1,2,3, n ，观看以下不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 / 18学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x11x2 x114, x1x2x21x3 x111x2x39,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

18、 - 欢迎下载精品名师归纳总结请你推测 x1x211xn x1x 21 满意的不等式，并用数学归纳法加以证明.x n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 解答： 满意的不等式为 x1x211xn x1x21 n 2 n xn2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明如下：当n=2 时，猜想成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设当n=k 时，猜想成立，即x1x211xk x1x21 k 2 ，xk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么

19、 n=k+1 时 xxxx 1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx12kk 112xkxk 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1x2xk xxx x1x2xk xxk 11xxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12kk 112k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21k2 x1x2xk xxk 1 111 1k 2xxx2k1 k12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 112k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就当 n=k+1 时猜想

20、也成立，依据可得猜想对任意的nnN ,且n2 都成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 分析： 此题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是依据数学归纳法证明不等式结合所给不等式分析运算证明即可17. 观看以下各不等式：113 ,2221115 ,2 232322211117 ,23442222111119 ,23455可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）由上述不等式，归纳出一个与正整数n n 2有关的一般性结论。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 解：（ 1）观看上述各不等式，得到与正整数n 有关的一般不等式为可编辑资料

21、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111L12n1, nN *, 且 n2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222234nn（2）用数学归纳法证明你得到的结论 答案： 以下用数学归纳法证明这个不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7 / 18学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -证明：当n=2 时，由题设可知，不等式明显成立.假设当n=k 时，不等式成

22、立，即1111L12k1,2222234kk那么，当n=k+1 时，有1111L112k11222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结234k k1kk1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2k11kk k121 11kkk1212 k11 .k1k1所以当 n=k+1 时，不等式也成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据和，可知不等式对任何nN * 且 n2 都成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 分析：此题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是依据1）由上述不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等式，归纳出表达式的左侧的关系与右侧分子与分母的特点写出一个正整数有关的一般性结论。 （ 2）利用数学归纳法证明步骤，直接证明即可.nN * ， n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结18. 设 fnn11n ，其中 n 为正整数n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归