2022年二次函数-因动点产生的相似三角形问题典型例题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载二次函数 - 因动点产生的相似三角形问题【例 1】如图 1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线yax2bx（a0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AOBO2，AOB 120（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且ABC与AOM相似，求点C的坐标图 1 思路点拨1第（ 2）题把求AOM的大小，转化为求BOM的大小2因为BOMABO30，因此点C在点B的右侧时，恰好有ABCAOM3根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论ABC与AOM相似满分解答（1）如图 2，过点A作AHy轴，垂足为H在 RtAOH中，AO2，AOH30，所以A

2、H 1，OH3所以A( 1, 3)因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，设yax(x2) ，代入点A( 1, 3)，可得33a图 2 所以抛物线的表达式为2332 3(2)333yx xxx（2）由2232333(1)3333yxxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习必备欢迎下载得抛物线的顶点M的坐标为3(1,)3所以3tan3BOM所以BOM30所以AOM150（3）由A( 1, 3)、B(2,0) 、M3(1,)3，得3tan3ABO，23AB，2 33OM所以ABO30，3OAOM因此当点C在点B右

3、侧时，ABCAOM150ABC与AOM相似，存在两种情况：如图 3，当3BAOABCOM时，2 3233BABC此时C(4,0) 如图 4，当3BCOABAOM时，332 36BCBA此时C(8,0)图 3 图 4 考点伸展在本题情境下，如果ABC与BOM相似，求点C的坐标如图 5，因为BOM是 30底角的等腰三角形，ABO30，因此ABC也是底角为30的等腰三角形，ABAC，根据对称性，点C的坐标为 ( 4,0) 图 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学习必备欢迎下载【例 2】如图 1，已知抛物线211(1)

4、444byxbx（b是实数且b2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C（1）点B的坐标为 _，点C的坐标为 _（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由图 1 思路点拨1第（ 2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等

5、2联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示3第（ 3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上满分解答（1）B的坐标为 (b, 0)，点C的坐标为 (0, 4b) （2）如图 2，过点P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E，那么PDBPEC因此 PD PE 设点 P的坐标为 (x, x)如图 3，联结 OP 所以S四边形 PCOBS PCOSPBO1152428bxb xbx2b解得165x所以点P的坐标为 (16 16,55) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

6、 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学习必备欢迎下载图 2 图 3 （3）由2111(1)(1)()4444byxbxxxb，得A(1, 0)，OA 1如图 4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么OQCQOA当BAQAQAOA，即2QABA OA时，BQAQOA所以2( )14bb解得84 3b所以符合题意的点Q为( 1,23 )如图 5，以OC为直径的圆与直线x1 交于点Q，那么OQC90。因此OCQQOA当BAQAQAOA时，BQAQOA此时OQB 90所以C、Q、B三点共线因此BOQACOOA，即14bQAb解得4QA此时Q(1,4) 图 4 图 5 考点伸展第（

7、3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而QOA与QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据QOA与QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置如图中，圆与直线x1 的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB4OC矛盾精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学习必备欢迎下载【例 3】如图 1，已知抛物线的方程C1：1(2)()yxxmm (m 0) 与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点

8、B在点C的左侧（1）若抛物线C1 过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（ 1）的条件下，求BCE的面积；（3）在（ 1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BHEH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1 上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由图 1 思路点拨1第（ 3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BHEH最小2第（ 4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作CBFEBC45，或者作BF/EC再用含m的式子表示点F的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程满分解答（1）将M(

9、2, 2)代入1(2)()yxxmm，得124(2)mm解得m4（2）当m4 时，2111(2)(4)2442yxxxx所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE1162622BC OE（3）如图 2，抛物线的对称轴是直线x 1，当H落在线段EC上时，BHEH最小设对称轴与x轴的交点为P，那么HPEOCPCO因此234HP解得32HP所以点H的坐标为3(1, )2（4）如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FFx轴于F由于BCEFBC，所以当CEBCCBBF，即2BCCE BF时，BCEFBC设点F的坐标为1( ,(2)()xxxmm，由FFEOBFCO，得1(2)()22xx

10、mmxm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学习必备欢迎下载解得xm2所以F(m2, 0) 由COBFCEBF，得244mmBFm所以2(4)4mmBFm由2BCCE BF，得222(4)4(2)4mmmmm整理，得0 16此方程无解图 2 图 3 图 4 如图 4，作CBF 45交抛物线于F，过点F作FFx轴于F，由于EBCCBF，所以BEBCBCBF，即2BCBE BF时，BCEBFC在 Rt BFF 中，由FFBF，得1(2)()2xxmxm解得x2m所以F(2,0)m所以 BF 2m2，2(22)BFm由2B

11、CBE BF，得2(2)2 22(22)mm解得22 2m综合、，符合题意的m为22 2考点伸展第（ 4）题也可以这样求BF的长：在求得点F、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习必备欢迎下载【例 4】如图 1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（ 0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图 1 中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2 的

12、梯形O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2) 用含S的代数式表示x2x1，并求出当S=36 时点A1的坐标；（3）在图 1 中，设点D的坐标为 (1 ，3) ，动点P从点B出发，以每秒1 个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x 轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由图 1 图 2

13、 思路点拨1第（ 2）题用含S的代数式表示x2x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2y13通过代数变形就可以了2第（ 3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（ 3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x，解析式为21184yxx，顶点为M（1，18）（2） 梯形O1A1B1C1的面积1212

14、2(11)3()62xxSxx，由此得到1223sxx由于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学习必备欢迎下载213yy，所以22212211111138484yyxxxx整理，得212111()()384xxxx因此得到2172xxS当S=36 时，212114,2.xxxx解得126,8.xx此时点A1的坐标为（ 6， 3）（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的GAF与GQE，有一个公共角G在GEQ中，GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值

15、在GAF中，GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF这时GAFGQEPQD由于3tan4GAF，tan5DQtPQDQPt，所以345tt解得207t图 3 图 4 考点伸展第（ 3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的事实上，图3 和图 4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学习必备欢迎下载【例 5】如图 1，抛物线经过点A(4 ，0) 、B（1，0)、C（0， 2）

16、三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标,图 1 思路点拨1已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程4把DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A(4，0) 、B（1，0) 两点，设抛

17、物线的解析式为)4)(1(xxay，代入点C的 坐标（0， 2） ， 解得21a 所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212xxxxy（2）设点P的坐标为)4)(1(21,(xxx如图 2，当点P在x轴上方时， 1x4，)4)(1(21xxPM，xAM4如果2COAOPMAM，那么24)4)(1(21xxx解得5x不合题意如果21COAOPMAM，那么214)4)(1(21xxx解得2x此时点P的坐标为（ 2，1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学习必备欢迎下载如图 3，当点P在点A的右侧时，x4，)4)(

18、1(21xxPM，4xAM解方程24)4)(1(21xxx，得5x此时点P的坐标为)2,5(解方程214)4)(1(21xxx，得2x不合题意如图 4，当点P在点B的左侧时，x1，)4)(1(21xxPM，xAM4解方程24)4)(1(21xxx，得3x此时点P的坐标为)14, 3(解方程214)4)(1(21xxx，得0 x此时点P与点O重合，不合题意综上所述，符合条件的点 P的坐标为（ 2，1）或)14,3(或)2,5(图 2 图 3 图 4 （3）如图 5，过点D作x轴的垂线交AC于E直线AC的解析式为221xy设点D的横坐标为m)41 (m，那么点D的坐标为)22521,(2mmm，点

19、E 的坐标为)221,(mm所以)221()22521(2mmmDEmm2212因此4)221(212mmSDACmm424)2(2m当2m时，DCA的面积最大，此时点D的坐标为（ 2，1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页学习必备欢迎下载图 5 图 6 考点伸展第（ 3）题也可以这样解：如图 6，过D点构造矩形OAMN，那么DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去CDN和ADM的面积设点D的横坐标为（m，n）)41 (m，那么42)4(21)2(214)22(21nmmnnmnS由于225212mmn，所以m

20、mS42精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习必备欢迎下载【例 6】如图，抛物线ya(x 1)(x 5)与 x 轴的交点为M 、N直线 ykx b 与 x 轴交于 P(2，0) ，与 y 轴交于 C若 A、B两点在直线y kxb 上，且 AO=BO=，AO BO D为线段 MN的中点， OH为 RtOPC斜边上的高小题 1:OH的长度等于 _；k_，b_；小题 2: 是否存在实数a，使得抛物线ya(x 1)(x 5) 上有一点E，满足以 D、N、E为顶点的三角形与AOB相似 ?若不存在，说明理由；若存在，求所有符

21、合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点( 简要说明理由 ) ；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线 NE与直线 AB的交点 G是否总满足210PGPB，写出探索过程图 1 思路点拨1求等腰直角三角形OAB斜边上的高OH，解直角三角形POH求k、b的值2以DN为边画正方形及对角线，可以体验到，正方形的顶点和对角线的交点中，有符合题意的点E，写出点E的坐标，代入抛物线的解析式就可以求出a3当E在x轴上方时，GNP45，POBPGN，把PB PG转化为14PO PN4当E在x轴下方时，通过估算得到PB PG大于 102满分解答（1）1OH，33k，2 33b（2）

22、由抛物线的解析式(1)(5)ya xx，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页学习必备欢迎下载点M的坐标为( 1,0)，点N的坐标为(5,0)因此MN的中点D的坐标为（ 2，0），DN3因为AOB是等腰直角三角形，如果DNE与AOB相似，那么DNE也是等腰直角三角形如图 2，如果DN为直角边，那么点E的坐标为E1（ 2，3）或E2（2， 3）将E1（2，3）代入(1)(5)ya xx，求得13a此时抛物线的解析式为21145(1)(5)3333yxxxx将E2（2， 3）代入(1)(5)ya xx，求得31a此时抛

23、物线的解析式为353431)5)(1(312xxxxy如果DN为斜边，那么点E的坐标为E311(3,1 )22或E4)211,213(将E311(3,1 )22代入(1)(5)ya xx，求得29a此时抛物线的解析式为222810(1)(5)9999yxxxx将E4)211,213(代入(1)(5)ya xx，求得92a此时抛物线的解析式为9109892)5)(1(922xxxxy图 2 图 3 对于点E为E1（2，3）和E311(3,1 )22，直线NE是相同的，ENP 45又OBP45，PP，所以POBPGN因此2101472PNPOPGPB对于点E为E2（2， 3）和E4)211,213(，直线NE是相同的此时点G在直线5x的右侧，3314PG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习必备欢迎下载又334PB，所以21034143343314PGPB考点伸展在本题情景下，怎样计算PB的长？如图 3，作AFAB交OP于F，那么OBCOAF，OFOC233，PF2233，PA332(23)31223PF，所以31PB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页